Analog Electronics · Interactive Lecture

从信号到闭环

信号与信号量 · 运算放大器 · 反馈与典型电路

会算一个放大倍数，更要知道：这个倍数是在哪个频率、带多大负载、多大摆幅下测到的？把哪些前提去掉以后，它就不再成立？

本科基础 × 工程判断 8 处随堂诊断 3 个交互实验 5 个设计典例 12 道课后题

示范讲义 · 第 2 册 · LaTeX 排版版 · 双电源 ±15 V 或单电源 +5 V · 低频小信号为主 · 2026.09

00 / START WITH A QUESTION

一条 0.5 mV 的曲线，怎样变成 2 V？

心电电极之间的差模信号只有 0.5–5 mV，还混着几十毫伏的工频干扰；而示波器要看清楚波形，至少需要 1 V 以上的摆幅，ADC 也只有在接近满量程时才用得出它标称的位数。

情境 A · 放大

把 0.5 mV 变成 2 V，需要约 4000 倍增益

如果真用一级把 4000 倍做足，会同时发生三件事：输出摆幅可能超出电源轨道而被削平；有用信号与干扰一起被放大，输入端 10 mV 的工频干扰直接顶到 40 V；放大器的可用带宽被压缩到几千赫兹以下。增益从来不是单独一个数。

情境 B · 分工

为什么教科书总是先放一级、再放一级？

把 4000 倍拆成 20×20×10，每一级只承担一段任务：第一级用高输入阻抗和低噪声拿下原始信号，第二级承担主要增益，第三级做滤波与驱动。每加一级，就多出一组必须核算的接口参数——输入电阻、输出电阻、带宽、噪声。

三次学习的安排

第一次：把信号说清楚。完成概览与信号量；建立“幅值—有效值—频谱—失真”四套描述，动手做信号实验室。
第二次：把器件变成模型。推导虚短与虚断各自的来源，理解负反馈如何决定闭环增益，操作“开环增益有限时虚短还成立吗”实验。
第三次：把模型变成电路。完成反相、同相、加法、差分、积分五种组态与五个设计典例，操作反相放大器实验，最后做课后题并回看统一答案。

先修：复数相量表示、一阶 RC 电路的稳态与暂态、戴维南等效、分压与分流公式。三极管的内部导电机理与器件级噪声模型属于半导体物理，本册只在需要时引用其外部特性。

单位约定：本册电压以 V 计，电流以 A 计，频率以 Hz 计，增益以倍数或 dB 计；分贝一律标明是幅值量还是功率量。

01 / MAP

先看清“模电”到底在学什么

模拟电子技术处理的不是一个孤立公式，而是一条从物理量到可用电信号的完整链路；每个层次都有自己的问题，也都有自己的边界。

层次	回答的问题	本册位置	最容易混淆的地方
器件层	二极管、三极管、MOSFET 如何导电与受控？	只作前提，不展开	把器件当成理想开关或理想受控源
单元层	怎样给器件加直流偏置，单级增益怎么算？	只给结论与接口参数	把直流工作点与交流增益混成一个数
电路层	反馈如何定住增益？带宽从哪里来？	本册主线（第 03–04 节）	只算增益，不问稳定性和限幅
系统层	噪声、电源、地线、接口怎样决定成败？	第 05 节与典例	认为公式算对就一定能做出来

本册的知识骨架

对象 / 概念	回答的问题	不可越过的边界
信号与信号量	用什么数字描述一个信号的大小？	峰值、峰峰值、有效值之间不能互推，除非已知波形
运算放大器	一个高增益差动放大器能做什么？	开环几乎不可用；所有简化都依赖负反馈闭环
负反馈	为什么闭环增益由两只电阻之比决定？	环路增益下降时，虚短与“与器件无关”同时失效
频率响应	增益能维持到多高的频率？	增益带宽积近似恒定，增益与带宽不可兼得
输入输出阻抗	两个电路之间能不能对接？	负载效应与源内阻分压会改变实际增益
限幅与摆率	输出能摆多大、能变多快？	电源轨道与压摆率都是硬约束，不是精度问题

符号与层级约定

符号约定：瞬时量用小写 v、i，直流分量或有效值用大写 V、I；交流分量记 v_ac 或 Δv；相量用大写字母加下角标表示。电压增益记 A_v=v_o/v_i，是电压比，不是功率比。

符号陷阱：本册中 β 专指反馈网络的反馈系数（反馈电压与输出电压之比），不是三极管共射电流放大倍数 β_F；同理 A_OL 是开环电压增益，f_c 是闭环 −3 dB 带宽。同一个符号在不同教材里含义不同，看到式子必须先确认符号表。

层级标记：“主线”适合课程考核；“方法进阶”需要少量频域与稳定性知识；“工程窗口”用于建立实际设计的判断，不作为未讲先考的内容。

02 / SIGNAL & MEASURES

信号与信号量：先把“大小”说清楚

在问“这个信号多大”之前，必须先回答：指的是峰值、峰峰值、有效值，还是平均值？这四个数只有在波形已知时才可能互相换算。

2.1 模拟与数字：这是描述方式的分界，不是物理的分界

模拟信号在时间和幅值上都连续；数字信号在两方面都离散。判断依据不是波形像不像方波，而是我们约定用哪一套规则去解读它：一根导线上只有 0 V 与 3.3 V 两个电平的“数字信号”，被当作电压随时间变化来测量时，仍然是模拟波形。

这条界线之所以重要，是因为两类问题的处理方式完全不同。数字电路关心的是噪声容限、建立保持时间与逻辑阈值；模拟电路关心的是连续性、动态范围与线性度。真实系统里两者必然在某个边界相遇：ADC 的输入端就是一个模拟端口，DAC 的输出端也是。

2.2 一个正弦信号需要几个数才描述完

$x(t)=X_m\sin(\omega t+\varphi),\qquad \omega=2\pi f$

X_m 是振幅（峰值）；φ 是初相；f 为频率（Hz），ω 为角频率（rad/s）。

其中角频率 $\omega=2\pi f$ 。三个数——振幅、频率、初相——只够描述一个纯粹的单频正弦。真实信号很少是纯正弦，于是还需要一组统计量来描述“能量的多少”与“偏离理想的程度”。

$X_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T}x^2(t)\,\mathrm dt}$

定义对周期信号成立；第二式 X_rms=X_m/√2 只对纯正弦成立，方波、三角波各有不同系数。

$X_{\mathrm{rms}}$ 的物理意义是：与这个交流信号在同一个电阻上产生相同平均功率的直流值。这个定义对周期信号普遍成立；而把它简化成“峰值除以 √2”的，只对纯正弦且不含直流偏置的信号成立。

$X_{\mathrm{pp}}=2X_m,\qquad \bar{x}=\frac{1}{T}\int_0^{T}x(t)\,\mathrm dt$

峰峰值描述摆幅，平均值描述直流成分。纯正弦的平均值为零，半波或带偏置信号则不为零。

理想波形（零均值、无直流偏置）	有效值与峰值之比 X_rms/X_m	常见来源
正弦	1/√2 ≈ 0.707	工频、纯音、载波
全波整流正弦	1/√2 ≈ 0.707	整流后的纹波（略有近似）
半波整流正弦	1/2 = 0.500	单二极管整流
对称双极性方波	1.000	开关驱动、时钟
对称三角波、锯齿波	1/√3 ≈ 0.577	扫描、PWM 近似

这张表只在“理想波形、零均值”的条件下成立；一旦叠加直流分量或存在削顶，比值就会改变。

2.3 直流与交流为什么要分开算

$x(t)=X_{\mathrm{DC}}+x_{\mathrm{ac}}(t),\qquad X_{\mathrm{rms}}=\sqrt{X_{\mathrm{DC}}^2+X_{\mathrm{ac,rms}}^2}$

交流与直流分量正交分解。第二式要求两分量互不相关，此时总有效值平方等于各自平方和。

把一个信号拆成直流与交流两部分，不只是记号上的方便。电路对这两部分的“态度”常常不同：电容对直流开路、对交流近似短路；偏置网络只对直流起作用；而增益只定义在交流分量上。信号的正交分解之所以能让平方相加，是因为两个分量在一个周期内的乘积平均为零。

常见错误：把“加了 2.5 V 偏置”当成“信号变大了”。偏置抬高的是平均值与峰值位置，不改变交流分量的峰峰值与有效值。用万用表直流档和真有效值档分别测量同一节点，得到的是两个不同的量。

2.4 增益与分贝：20lg 和 10lg 不能互换

$L=20\lg\frac{A_2}{A_1}\ \mathrm{dB}\qquad(\text{amplitude}),\qquad L=10\lg\frac{P_2}{P_1}\ \mathrm{dB}\qquad(\text{power})$

幅值量用 20lg，功率量用 10lg。同一物理量的两种写法不可混用；20lg 与 10lg 之差正是平方关系带来的。

两者之差不是约定俗成，而是因为功率正比于幅值的平方：10·lg(A²) = 20·lg A。把电压比写成 10lg，会把 6 dB 说成 3 dB；同一个数字在两种量纲下含义相差一倍。

$A_v=A_1A_2\cdots A_n,\qquad 20\lg A_v=\sum_{k=1}^{n}20\lg A_k$

级联增益相乘，取分贝后相加。这正是分贝在工程上方便的原因，也是各级带宽需要统一核算的原因。

反过来，由分贝值求倍数用 $10^{L/20}$ 。级联时乘除变加减，这是分贝在工程上最实用的地方：一条四级链路的增益可以在纸上直接相加。−3 dB 对应幅值降到 0.707 倍、功率降到一半；工程上“带宽”默认就指 −3 dB 带宽，而不是增益降到零的频率。

2.5 信号“不干净”的三种方式

放大器的实际输出与理想放大结果之间的差别，通常归入三类，处理手段也完全不同。

失真（非线性）：由传输特性的弯曲或限幅引起，会在输出中生成输入里不存在的新频率成分——谐波与交调分量。它可以用 $\mathrm{THD}$ 这类指标量化，而且随幅度增大而迅速恶化。

$\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{\sum_{n\ge2}V_n^2}}{V_1}\times100\%$

V₁ 是基波幅值，V_n 是各次谐波幅值。THD 只统计谐波，不统计噪声，因此它不能代替信噪比。

THD 只统计谐波，不统计噪声；一个 THD 很低的电路仍然可能噪声很大。
噪声（随机）：与输入无关，输入为零时依然存在。它决定了一个信号链能够分辨的最小信号，用信噪比描述。

$\mathrm{SNR}=10\lg\frac{P_s}{P_n},\qquad \mathrm{DR}=20\lg\frac{V_{\max}}{V_{\min}}$

信噪比是功率比，动态范围是可分辨幅值之比。二者定义不同，不能互相替代。

SNR 是功率比，动态范围是可分辨的两个幅值之比；二者定义不同，不能互相替代。
干扰（外部耦合）：有明确频率结构和来源，如 50 Hz 工频、开关电源的开关频率。它可以被统计地写进噪声，但更有效的做法是找到耦合路径：共模耦合用差分输入抑制，容性耦合用屏蔽与短线。

2.6 频域：同一信号的另一种等价表达

$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\bigr]$

周期信号的傅里叶级数。频域描述与波形描述是同一信号的两种等价表达，不是两次测量。

任何满足条件的周期信号都可以分解成直流加一系列谐波。时域波形与频谱不是两次测量，而是同一信号的两种写法：知道其一，原则上就能得到另一个。频域描述的价值在于，线性电路对每个频率成分的作用可以分别计算后再叠加。

2.7 被忽略的第三个参数：阻抗

$v_o=A_{v,oc}\,\frac{R_L}{R_L+R_o},\qquad v_i=\frac{R_i}{R_i+R_s}\,e_s$

R_o 是放大器输出电阻，R_s 是信号源内阻。空载增益与带载增益不是同一个量，比较时必须说明负载条件。

一个放大器有三个“电阻”必须记住：输入电阻 R_i、输出电阻 R_o、以及被驱动的负载 R_L。增益公式默认的是空载电压增益 A_voc；一旦接上负载，实际增益按分压比下降。同样，信号源内阻 R_s 与输入电阻分压，使“到达放大器输入端的电压”小于“信号源的开路电压”。

只要 $R_o\ll R_L$ ，带载增益就接近空载增益；这就是电压跟随器存在的理由之一。

这也正是前面情境中“拆成多级”的真正理由：不是增益不够，而是每一级的输入输出阻抗都需要被重新匹配。测量时也要注意：用示波器探针去量一个高阻节点，探头的输入电容与电阻本身就成了负载。

随堂 1 · 某信号的峰峰值为 4 V，能据此确定它的有效值吗？ A. 能，等于 2 V B. 能，等于 1.414 V C. 不能，还必须知道波形形状与是否存在直流分量 D. 不能，因为缺少频率信息文末解析 ↗

随堂 2 · 电压增益由 1 提高到 100，用分贝表示是多少？ A. 40 dB B. 20 dB C. 100 dB D. 10 dB 文末解析 ↗

交互实验 01 · 三副面孔

同一条波形，为什么用四个数都说不完？

信号取 x(t)=V_DC+A·sin(2πt/T)+dA·sin(4πt/T)。上图画两个周期并标出峰峰值，下图给出各频率分量的幅值谱。拖动时先预测哪一个读数会先变。

峰值 A 二次谐波占比 d 直流偏置 V_DC

纵轴范围固定为 ±8.5 V，以便幅值变化直接可见。有效值用闭式公式计算，峰峰值与平均值在一个周期上数值求得；d 同时就是该信号的 THD（只有二次谐波时成立）。

打印版说明：本实验证明峰值、峰峰值、有效值、平均值四个量互相不能唯一换算；纯正弦才有 X_rms=X_m/√2。

随堂 7 · 某放大器空载输出 2.00 V，接上 8 Ω 负载后输出 1.60 V。它的输出电阻约为多少？ A. 0.4 Ω B. 2 Ω C. 8 Ω D. 缺少负载电流，无法判断文末解析 ↗

03 / OPERATIONAL AMPLIFIER

运算放大器：两条假设，各有各的前提

“虚短”和“虚断”几乎是模电最常被引用的一句话，但它们的前提并不相同，失效的次序也不同。

3.1 从器件到模型

$v_o=A_{OL}\,(v_+-v_-)$

开环传输模型。A_OL 是开环差模增益，典型 10⁵–10⁷，且随频率下降。

运算放大器本质上是一个增益极高、输入电阻极大、输出电阻极小的差动放大器。“差动”意味着它只对两个输入端的电压差敏感，这一点在抑制共模干扰时是决定性的。

$v_o=\begin{cases}+V_{sat}, & v_d>\dfrac{V_{sat}}{A_{OL}},\\[7pt] A_{OL}v_d, & \lvert v_d\rvert\le\dfrac{V_{sat}}{A_{OL}},\\[7pt] -V_{sat}, & v_d<-\dfrac{V_{sat}}{A_{OL}}.\end{cases}$

把 v_d=v₊−v₋ 代入。A_OL=10⁵、V_sat=13 V 时线性区只有 ±130 μV，这就是“开环不能用”的定量原因。

把最后一式整理一下就会发现：输出被限制在 ±V_sat 以内，所以线性区宽度只有 2V_sat/A_OL。取 $A_{OL}=10^{5}$ 、 $\pm V_{sat}$ =±13 V，线性区只有 ±130 μV——这就是“开环不能用”的定量原因，也是必须引入负反馈的原因。

3.2 两条假设的来路不同

$i_+=i_-=0\qquad(\text{virtual open}),\qquad v_+=v_-\qquad(\text{virtual short})$

虚断来自理想运放输入电阻无穷大；虚短来自理想增益无穷大。虚短排在后面，因而它依赖的前提更多。

虚断来自输入端的高阻抗：理想情况下 $R_i\to\infty$ ，所以两个输入端都不吸入电流。它只依赖输入级，与电路接法无关，因此几乎总是成立的（真实运放有 $\mathrm{pA}$ 到 nA 量级的偏置电流 $I_B$ ，只在极高阻抗节点上才需要计入）。

虚短来自开环增益无穷大：当输出 v_o 是有限值而 A_OL→∞ 时，差模电压必然趋于零。它依赖两件事：电路必须处于负反馈闭环（否则输出会跑到饱和，此时两输入端电压差很大），以及输出仍在线性区内。

常见错误：把虚短用在正反馈电路或已经饱和的电路上。比较器、振荡器都是运放电路，但它们的输入端不等电位——不是公式错了，是前提不成立。可以记住一句判断顺序：先看是否负反馈闭环，再看输出是否还线性，最后才允许写 v₊=v₋。

3.3 负反馈：把增益交给电阻比

$A_f=\frac{A}{1+A\beta},\qquad \beta=\frac{R_1}{R_1+R_f}$

A 为开环增益，β 为反馈系数，Aβ 为环路增益。此式对同相与反相组态都成立，只是 A_f 的参考量不同。

$A_f=\frac{1}{\beta}\cdot\frac{A\beta}{1+A\beta}\qquad\Longrightarrow\qquad \lim_{A\beta\to\infty}A_f=\frac{1}{\beta}$

把闭环增益拆成“理想值 × 修正因子”。环路增益越大，闭环增益越接近 1/β，也越不依赖器件参数。

第二种写法才是负反馈思想的关键：闭环增益等于“理想值 $1/\beta$ ”乘上一个修正因子。环路增益 $A\beta$ 越大，修正因子越接近 1，闭环增益就越不依赖运放本身的参数——这才解释了为什么不同型号的运放接成同样的电阻网络，增益几乎一样。

代价也随之而来：修正因子的分母 1+Aβ 随频率下降，所以增益的平坦区是有限的；而 A 随频率下降的速率由运放内部补偿决定，闭环一旦被要求提供高增益，可用带宽就按同一比例变窄。

3.4 差模、共模与共模抑制比

$v_d=v_+-v_-,\quad v_{cm}=\frac{v_++v_-}{2},\qquad \mathrm{CMRR}=20\lg\left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|\ \mathrm{dB}$

任何两输入电压都可唯一分解为差模与共模之和。共模抑制比越高，共模干扰在输出端留下的份额越小。

任何一对输入端电压都可以唯一地分解成一个差模分量与一个共模分量之和。放大器对差模的增益记为 A_d，对共模的增益记为 A_cm；两者之比就是共模抑制比。它之所以重要，是因为需要放大的往往只有毫伏级的差模信号，而共同出现在两根导线上的工频干扰可能是伏级的共模信号。

注意： $\mathrm{CMRR}$ 用 20lg（幅值比）。理想运放的 A_cm=0，实际运放常见 80–120 dB；但一旦外部电阻不匹配，整块电路的共模抑制比会远低于运放自身指标。

3.5 真实运放的五个偏差

理想模型之外，工程上必须记住五类非理想量，它们都会直接变成输出误差或波形缺陷。

非理想量	物理来源	典型量级	在本节的后果
输入失调电压 V_os	输入级晶体管不匹配	μV（精密）至 mV（通用）	被 (1+R_f/R₁) 放大成输出直流误差
输入偏置电流 I_B	输入级基极或栅极电流	fA 至 μA 量级	流过外部电阻产生额外失调；双极型与 FET 输入差异巨大
输入失调电流与漂移	两输入端 I_B 不等及其温漂	由数据手册给出	决定长期稳定性，比初始失调更难补偿
噪声电压/电流密度	器件热噪声与闪烁噪声	nV/√Hz 量级	决定能分辨的最小信号，不能用校准消除
共模与电源抑制不足	内部电路不完全对称	80–120 dB	电源纹波与共模干扰串到输出

$V_{o,\mathrm{err}}\approx\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)\left(V_{os}+I_BR_{eq}\right),\qquad R_{eq}=R_1\parallel R_f$

R_eq 取两输入端外接等效电阻。此估计适用于两输入端直流电阻已经配平的场合。

这个估计式适用于两个输入端的直流等效电阻已经配平的场合。它给出的是量级而不是精确值，但足以回答一个实际问题：±15 V 供电、增益 100 的放大级中，一只 $V_{os}$ =5 mV 的通用运放会在输出端留下约 0.5 V 的直流偏移——对交流耦合的场合勉强可用，对直流耦合的场合则必须先调零或换精密运放。

3.6 两条独立的频率限制

$\lvert A_v\rvert\,f_c=\mathrm{GBW}\qquad\Longrightarrow\qquad f_c=\frac{\mathrm{GBW}}{\lvert A_v\rvert}$

增益带宽积近似为常数。把增益做高，闭环带宽就按同一倍数变窄。

$\mathrm{SR}=\max\left|\frac{\mathrm dv_o}{\mathrm dt}\right|,\qquad f_{\mathrm{FPBW}}=\frac{\mathrm{SR}}{2\pi V_{om}}$

压摆率限制的是大信号速度，与增益带宽积限制的小信号带宽是两个独立机制，都会让输出波形失真。

其中压摆率 $\mathrm{SR}$ 由运放内部电路的电流能力决定。增益带宽积限制的是小信号：在 1 MHz 的 GBW 下接成 −100 倍，闭环带宽只剩 10 kHz，任何高于 10 kHz 的成分都被衰减并相移。压摆率限制的是大信号：输出幅度越大，需要的最大变化速率越高。前者是线性衰减，后者会造成斜顶失真，二者必须分别核算。

全功率带宽 f_FPBW 就是这两个约束的交点：低于它，压摆率还够用；高于它，即使信号频率远低于 GBW 折算出的带宽，输出也已经被“变不快”削成了三角波。

交互实验 02 · 前提的代价

开环增益有限时，“虚短”还成立吗？

把运放接成同相放大器，理想闭环增益为 1+R_f/R₁，对应反馈系数 β 恰好等于该理想增益的倒数。下图曲线是实际闭环增益与理想值之比，横轴为开环增益的对数。

理想闭环增益 1/β 开环增益 A_OL

横轴取自 log₁₀ A_OL，因此滑块在 2–6 之间等价于 10²–10⁶。曲线在低 A_OL 端明显低于 1，说明此时“闭环增益由电阻比决定”已经不成立。

打印版说明：A_cl=A_OL/(1+A_OLβ)，相对误差约等于 1/(A_OLβ)。取 A_OL=10⁵、1/β=10，误差约 0.01%，虚短残差约 10 μV。

随堂 3 · 理想运放“虚短”成立的直接前提是什么？ A. 输入电阻无穷大 B. 开环增益无穷大，且电路处于负反馈闭环、输出仍在线性区 C. 输出电阻为零 D. 正负电源完全对称文末解析 ↗

随堂 4 · 某运放的 GBW 为 1 MHz，接成增益绝对值 100 的放大器，小信号 −3 dB 带宽约为多少？ A. 1 MHz B. 10 kHz C. 100 kHz D. 100 Hz 文末解析 ↗

随堂 8 · 一只 ±15 V 供电的运放，输出稳定停在 +13.2 V 不再变化。此时两个输入端的电压关系是？ A. 一定近似相等，虚短仍然成立 B. 不一定相等；输出已经饱和，虚短的前提不成立 C. 差值一定等于 13.2 V/A_OL D. 差值一定为零，因为输入端不取电流文末解析 ↗

04 / OP-AMP CIRCUITS

运放电路工具箱：先问“哪个电阻”，再问“哪个条件”

同一颗运放接成不同外围网络，就得到不同的功能。五个线性组态的规定动作是：先写出虚地与虚断，再列节点方程，最后核对阻抗与前提。

4.1 五种线性组态一览

组态	增益	输入电阻	相位	典型用途	最容易出错的地方
反相	−R_f/R₁	R₁（低）	反相 180°	电平反相、求和、虚拟地	输入电阻就等于 R₁，接高内阻源会被分压
同相	1+R_f/R₁	极高（运放决定）	同相	高阻传感器缓冲	输入信号同时是共模电压，受共模输入范围限制
电压跟随	1	极高	同相	阻抗变换、级间隔离	直接驱动容性负载容易振荡，需串隔离电阻
反相加法	−ΣR_f/R_k	各路 R_k（低）	反相	加权求和、DAC 后处理	各路之间靠虚地隔离，但输入电阻都很低
差分	(R_f/R₁)(v₂−v₁)	R₁+R₃（低）	—	抑制共模、电流检测	括号里的电阻匹配条件比增益公式更容易被忽略

4.2 两种基本组态与一个退化情形

$A_v=\frac{v_o}{v_i}=-\frac{R_f}{R_1},\qquad R_{in}=R_1$

反相组态：负号表示相位反转 180°；输入电阻等于 R₁，因此不能靠加大 R₁ 追求高输入阻抗。

反相组态的关键是“虚地”：负反馈把反相端拉到了与同相端相同的电位，而同相端接地，所以反相端电位也近似为零。输入电流只能经由 R₁ 流入、经 R_f 流出，两只电阻上的电流相同，增益就是它们的比值。代价是输入电阻等于 R₁：想提高增益就要减小 R₁，输入电阻随之下降。

$A_v=\frac{v_o}{v_i}=1+\frac{R_f}{R_1}$

同相组态：增益恒大于 1，输入电阻由运放本身决定（可达 10⁸ Ω 以上）。

$A_v=1,\qquad R_{in}\to\infty,\qquad R_o\to 0$

电压跟随器用增益换输入输出隔离，是最常用的缓冲级，也多用于阻抗变换。

同相组态把反馈引入反相端、信号送入同相端，增益恒大于 1，且输入电阻由运放本身决定。当 R_f=0、R₁ 开路时，增益退化为 1，就是电压跟随器——它不做放大，只做阻抗变换。

4.3 加法和差分：把电阻网络当系数

$v_o=-R_f\left(\frac{v_1}{R_1}+\frac{v_2}{R_2}+\frac{v_3}{R_3}\right)$

反相加法器。当三个输入电阻相等时输出为三者之和的反相，加权系数由各支路电阻比决定。

$v_o=\frac{R_f}{R_1}(v_2-v_1)\qquad(R_3=R_1,\ R_4=R_f)$

差分放大器。括号内的电阻匹配条件一旦被破坏，共模抑制比就急剧下降，这个条件比增益公式本身更容易出错。

加法器的各路输入都接到同一个虚地点，因此相互之间不干扰，加权系数直接由电阻比决定。差分放大器则多了一条约束：只有两对电阻同时匹配，共模增益才近似为零。这条匹配条件属于结论的一部分，不能只写增益式。

交互实验 03 · 标称值、实际值与极限

同一个增益，为什么换了频率就不一样？

下面电路是反相组态，运放参数取 GBW=1 MHz、±V_sat=±13 V、压摆率 20 V/μs。图中同时画出输入（青色，左轴）与输出（橙色，右轴），两者量程不同、分别标注。先把 R1 选 10 kΩ、Rf 选 100 kΩ（增益 −10），再把频率推高。

R1（输入电阻，决定输入阻抗） Rf（反馈电阻，决定增益）输入峰值频率

输出按一阶闭环响应计算：|A_v(f)|=|A_v0|/√(1+(f/f_c)²)，额外相移 −arctan(f/f_c)；超过 ±V_sat 的部分按硬限幅裁平，不伪造平滑过渡。压摆率只用告警指出，不改变曲线形状。

打印版说明：标称增益由电阻比决定，实际增益还取决于频率（带宽）与摆幅（限幅、压摆率）。三者必须分别核算。

4.4 让运放做运算：积分与微分

$v_o(t)=-\frac{1}{R_1C}\int_0^{t}v_i(\tau)\,\mathrm d\tau+v_o(0)$

理想积分器没有直流负反馈回路，实际电路中必须并联大电阻以限制直流增益，否则失调电压会积到饱和。

$v_o(t)=-R_fC\,\frac{\mathrm dv_i(t)}{\mathrm dt}$

理想微分器对高频噪声的增益随频率线性上升，工程上必须串联小电阻并并联小电容限制高频增益。

把反馈元件从电阻换成电容，就得到积分器；把输入元件换成电容，就得到微分器。两种电路的传递函数互为倒数关系：积分器对低频增益大、对高频增益小；微分器恰好相反，因此它对高频噪声的放大会线性增长，工程上必须串联小电阻限制最高增益。

必须记住的补充元件：理想积分器没有直流反馈通路，直流增益无穷大，任何输入失调电压或偏置电流都会被持续积分直到输出饱和。实际电路一定要在电容两端并联一只大电阻 $R_f$ （并在输入端或反馈端加限制元件），把直流增益限定为 −R_f/R₁，同时引入低频转折 $f_c=1/(2\pi R C)$ 。这一步不是“可选优化”，而是电路能否工作的前提。

4.5 非线性用法：比较器与迟滞

$V_{T\pm}=\pm\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}$

反相输入迟滞比较器的阈值。分压网络接在输出与同相输入端之间，正反馈使输出在两种饱和态之间锁定。

式中 $V_T$ 为翻转阈值。去掉负反馈、改用正反馈或干脆开环，运放就变成比较器：输出只有两个状态。正反馈（迟滞）的作用是给比较阈值加一个“宽度”：输出翻转后阈值会向相反方向移动，因此叠加在输入上的噪声只要小于迟滞宽度，就不会引起反复翻转。这是把“抗干扰”直接做进电路层面的典型手法。

迟滞的代价是精度：阈值不再是一个点，而是一段区间，输出翻转时刻会滞后于输入穿越参考点的时刻。

4.6 单电源与工程细节

$v_o=V_{DC}+A_v\,v_{ac},\qquad V_{DC}=\frac{V_{CC}}{2}$

单电源偏置的逻辑：先把静默点抬到电源中点，放大后再用隔直电容把直流搬回零。

单电源供电时，交流信号无法直接放大：负半周没有对应的输出摆幅。做法是先用分压网络造一个“虚拟中点”作为静默参考，放大后再用隔直电容把直流搬回零。这一步几乎出现在所有单电源模拟前端里（麦克风前置、传感器调理、音频放大）。

偏置网络必须去耦：分压电阻通常取几十千欧，等效源阻抗高，需要并联电容把噪声旁路掉。
输入端要加限幅保护：信号超出电源范围时，多余电流会经内部保护二极管流向电源轨，可能损坏器件或干扰其他电路。
电源去耦就近放置：每个运放的电源引脚旁放 0.1 μF 陶瓷电容，位置比容值更关键。
未使用的运放不要悬空：接成跟随器并把输入接到合适电位，避免输出自激。

典例 1

反相放大器：一次完整的六项核算

R₁=10 kΩ，R_f=100 kΩ，输入 0.1 V 峰值、1 kHz 正弦；运放 GBW=1 MHz，开环增益 10⁵，失调电压 5 mV，双电源 ±15 V（±V_sat≈13 V），负载 10 kΩ。求标称增益、输入电阻、闭环带宽、实际输出峰值、输出直流误差与限幅余量。

展开分析与推导

① 标称增益：A_v=−R_f/R₁=−10，即 20.0 dB。负号表示反相。

② 输入电阻：反相组态的输入电阻就等于 R₁=10 kΩ。这一步没有近似。

③ 闭环带宽：f_c=GBW/|A_v|=1 MHz/10=100 kHz。

④ 1 kHz 处的实际增益：频率比 f/f_c=0.01，幅度修正因子 1/√(1+0.0001)≈0.99995，附加相移 −0.57°。输出峰值 9.9995×0.1≈1.00 V，远低于 13 V，不限幅。

$V_{o,\mathrm{err}}\approx\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)\left(V_{os}+I_BR_{eq}\right),\qquad R_{eq}=R_1\parallel R_f$

R_eq 取两输入端外接等效电阻。此估计适用于两输入端直流电阻已经配平的场合。

⑤ 输出直流误差：(1+R_f/R₁)·V_os=11×5 mV≈55 mV。对交流耦合的负载无害，但若输出要直流耦合到 ADC，这 55 mV 会直接占掉量程。

⑥ 限幅余量：要摆到 ±13 V 需要输入 ±1.3 V；摆率要求 2πfV_o，在 13 V、1 kHz 时仅 0.082 V/μs。

典例 2

同相放大器：增益之外的共模问题

R₁=1 kΩ，R_f=9 kΩ，输入 0.5 V 峰值正弦，双电源 ±15 V。求增益与输出摆幅；判断它能否直接用于单电源 $\pm5\ \mathrm V$ 供电。

展开分析与推导

增益：A_v=1+9=10，输出 5 V 峰值。这个数字本身没有问题。

共模视角：同相组态把信号直接送到同相端，因此输入端的共模电压就等于信号本身（0.5 V 峰值）。在 ±15 V 供电下这远在共模输入范围之内，问题不大；但它意味着信号与共模干扰走的是同一条路径。

换成单电源 +5 V：输出不可能出现负半周，而信号的负半周需要 −5 V。同时输入端共模电位接近 0 V，低于多数运放的共模输入下限（通常比负电源高 1.5–2 V）。两个约束都指向同一个结论：必须抬偏置并隔直。

典例 3

差分放大器：匹配条件比增益更重要

R₁=R₃=10 kΩ，R_f=R₄=100 kΩ，两输入分别为 v₁=5.00 V、v₂=5.02 V。求输出，并估计 R₃ 偏差 +1% 时的影响。

展开分析与推导

分解：差模 v_d=0.02 V，共模 v_cm=5.01 V。理想匹配时输出只响应差模：

v_o=(100/10)×0.02=0.20 V。

失配估计：共模抑制能力由四只电阻的相对匹配决定。以 1% 的失配作量级估计，等效共模抑制约 1/(2×0.01)≈50 倍（约 34 dB）。此时 5.01 V 的共模会在输出端留下约 5.01/50≈0.10 V 的误差——与有用信号 0.20 V 同量级。

这个量级估计说明一件事：用 1% 精度的分立电阻做差分放大，在共模很大（这里是 5 V）的场合基本不可用。这不是运放不够好，而是外围网络决定的上限。

典例 4

积分器：斜率、饱和时间与直流隐患

R₁=100 kΩ，C=10 nF，输入在 t=0 由 0 跳变到 −1 V 的阶跃，输出初值为 0，输出限幅 ±13 V。求输出表达式与斜率、达到饱和所需时间；再求输入改为 ±1 V、1 kHz 方波时的输出波形。

展开分析与推导

时间常数与积分系数：R₁C=100 kΩ×10 nF=1 ms，故 1/(R₁C)=1000 s⁻¹。

$v_o(t)=-\frac{1}{R_1C}\int_0^{t}v_i(\tau)\,\mathrm d\tau+v_o(0)$

理想积分器没有直流负反馈回路，实际电路中必须并联大电阻以限制直流增益，否则失调电压会积到饱和。

阶跃响应：v_o(t)=−1000·(−1)·t=+1000t V，即斜率 +1 V/ms。

饱和时间：13 V÷1000 V/s=13 ms。也就是说，一个 1 V 的直流阶跃会在 13 ms 后让输出顶到电源轨——积分器对直流几乎是“无限增益”。

方波输入：半周期 0.5 ms 内输出变化 1000×0.5 ms=0.5 V，且每半周方向反转，得到峰峰值 0.5 V 的三角波。输入幅度不变时，输出幅度与频率成反比：频率翻倍，三角波幅度减半。

典例 5

单电源交流放大级：把静默点抬到电源中点

单电源 +5 V，要求放大 100 Hz–10 kHz 的交流信号，增益 −10，输入 0.05 V 峰值，负载 10 kΩ。请给出拓扑与关键元件取值。

展开分析与推导

拓扑：反相组态，R₁=10 kΩ、R_f=100 kΩ 得到 −10；同相端不用接地，而是用两只 100 kΩ 电阻分压得到 2.5 V 的“虚拟中点”，反相端因此也被抬到 2.5 V。

隔直与高通转折：输入串隔直电容 C_in，与 R₁ 构成一阶高通，转折 f=1/(2πR₁C_in)。要求它至少比最低工作频率低一个数量级，即 ≤10 Hz：C_in≥1/(2π×10×10 kΩ)≈1.6 μF，取标准值 2.2 μF。输出端同样加隔直电容，与负载构成高通，其转折要按 R_L 重算。

输出摆幅核对：输出 0.5 V 峰值，围绕 2.5 V 摆动，需要运放在 2.0–3.0 V 区间工作。普通运放在 +5 V 单电源下输出摆幅可能只剩 1–3 V 区间，必须选轨到轨输出型号，并确认负载 10 kΩ 时的摆幅指标。

随堂 5 · 同相放大器把 R_f 换成 0 Ω、R₁ 开路后，电路变成什么？ A. 反相放大器 B. 电压跟随器 C. 比较器 D. 积分器文末解析 ↗

随堂 6 · 反相放大器标称增益 −10，实测 −9.9。最可能的原因是什么？ A. 虚短不再成立，必须改用虚断重新推导 B. 电源电压不足，输出已经进入饱和 C. 两只电阻的公差，加上有限的环路增益与测量误差 D. 负载太重，输出电阻分压造成了 1% 损失文末解析 ↗

05 / THINK DEEPER

深度思考：把“为什么”问到恰当的位置

这里的目的不是用宏大名词结束问题，而是区分：定义、模型推论、工程约定，以及仍然可以追问的前提。

5.1 “虚短”到底是近似，还是模型里的一条结论？

先想：如果把同一只运放的电源从 ±15 V 降到 ±5 V，虚短还成立吗？如果恒成立，那它是运放的性质；如果会失效，那它依赖的又是什么？

再问：把虚短写进正反馈电路，或者写进一个输出已经顶到电源轨的电路，解出来的“答案”为什么和示波器上看到的完全不同？

沿“模型层 → 电路条件 → 稳定性”继续

虚短的推导链是：输出 v_o 有限，而 A_OL→∞，于是差模电压 → 0。它不是关于运放端子的物理定律，而是理想模型内部的一条推论。因此它的成立依赖于三个外部条件：

电路处于负反馈闭环。正反馈时误差被放大而非抑制，输出会离开线性区。
输出仍在线性区内。一旦饱和，v_d 可以任意大，虚短彻底失效。
所求的解是稳定的工作点。存在多个解时，要判断电路实际停在哪一个。

电源电压下降本身不破坏虚短（它属于模型层），但它降低了 ±V_sat，让第 2 条更容易被违反。这就解释了为什么“换了电源以后公式不对了”——不是公式错了，是前提变了。

更精细的模型：保留有限的 A_OL，则虚短被替换成 $v_d=v_o/A_{OL}$ ，闭环增益的修正因子是 1/(1+Aβ)。交互实验 02 画的正是这条修正曲线。

仍然可问：既然虚短只是近似，为什么不全用有限增益模型算？因为当 Aβ≈9×10³ 时，这项误差只有 0.01%，远小于 1% 的电阻公差。保留它反而会把注意力从主要误差源上引开。选择哪个模型的标准是误差量级比较，而不是谁更“精确”。

5.2 负反馈是“以增益换保真”吗？

先想：如果负反馈的作用只是把增益降下来，那它为什么不是一种“被迫接受的损失”，反而成了几乎所有放大器的标准结构？

从灵敏度看负反馈真正买到的东西

对闭环增益式求对数微分，可以得到相对灵敏度的关系：开环增益的相对变化 (ΔA/A) 被压缩成原来的 1/(1+ $A\beta$ )。这意味着温度漂移、器件离散、老化带来的增益变化被同等比例地抑制。

这才是负反馈的本质：它把“增益的准确性”从有源器件的参数中解放出来，转交给无源元件——电阻和电容的温度系数可以做到 ppm 级，而晶体管的跨导随温度变化可达每摄氏度千分之几。所以负反馈不是“牺牲”，而是用可控的、便宜的量（电阻比）替换不可控的量（器件参数）。

但它买不到全部：非线性失真的改善同样按 (1+Aβ) 压缩，前提是失真发生在环路内部且电路仍在线性工作。如果失真是输出级限幅或压摆率不足造成的，输出已经不再随输入变化，负反馈没有任何“比较误差”的余地——此时增大环路增益完全无效，只能改电源、改运放或降低摆幅要求。

仍然可问：既然正反馈会破坏虚短，为什么振荡器反而要用它？因为振荡器的目标就是让系统失去稳定：把闭环极点移到右半平面，同时在环路增益等于 1、相移 180° 的频率上建立稳态振幅。正反馈在这里不是错误，而是设计目标。

5.3 分贝的两个系数，是约定还是发现？

先想：同一个电压比，写成 20lg 和 10lg 会差一倍。既然是人定的单位，为什么不是随便定一个？

拆开“幅值量”与“功率量”

分贝最初用于描述功率比与线路损耗，定义是 10lg(P₂/P₁)。随后人们发现，在阻抗相同的条件下功率正比于幅值平方，于是对电压、电流这类“场量”可以写成 20lg。这两个系数之间的关系是恒等式而不是新约定：10·lg(A²)=20·lg A。

麻烦出在把“幅值”当成任意变量的时候。分贝之所以好用，是因为乘除变加减；一旦某个量在物理上是平方非线性的（例如亮度、声强与主观响度），用 20lg 就失去了物理意义。所以工程手册里凡是出现 dB，都应当能回答一个问题：它是哪两个同类量的比？写不出这句话，那个 dB 数字就没有意义。

连带的一个推论：−3 dB 的来源是 10lg(1/2)=−3.0103 dB。所谓“3 dB 带宽”严格说是“半功率点带宽”。对一阶系统，它同时对应幅值降到 0.707 倍；对高阶系统，两者不再重合，必须说明用哪一个定义。

5.4 理想模型什么时候必须被放弃？

先想：算出的结果和实测差 1%，应该先怀疑公式，还是先怀疑元件？

建立误差预算，而不是追求“更准的公式”

以典例 1 的反相放大器（增益 −10）为例，把各项误差列成一张量级表：

误差来源	典型量级	对增益/输出的影响
两只电阻各自 1% 公差	1%（典型金属膜）	增益误差约 2% 量级
有限环路增益 $A_{OL}$	$A\beta$ ≈9×10³	增益误差约 0.011%
输入失调电压	5 mV（通用型）	输出直流偏移 55 mV，不改变交流增益
输入偏置电流 × 源阻抗	80 nA × 10 kΩ	约 0.8 mV 等效输入偏移
电阻热噪声	由阻值与带宽决定	决定噪声底，不能靠校准消除

结论很直接：1% 的偏差几乎一定来自电阻，而不是运放。误差预算的价值就在这里——它告诉你什么时候可以放心用理想模型（本例），以及什么时候必须换模型（增益极高、频率接近带宽、或要求 0.01% 级精度时）。

仍然可问：误差预算本身依赖对器件参数分布的假设。数据手册给出的到底是极值、保证值还是典型值？这决定了预算是“设计保证”还是“期望估计”。这个问题在批量生产里比公式本身重要得多。

5.5 模拟电路会被数字取代吗？ · 前沿窗口

先想：既然 ADC、数字滤波与 DSP 如此强大，为什么每一颗混合信号芯片里仍然保留着大量模拟单元？

把“接口层”和“处理层”分开看

物理世界是连续的。任何传感器的输出都是连续量，任何执行器都需要连续驱动；在 ADC 之前的放大、抗混叠滤波与驱动，以及 DAC 之后的平滑、重建与功率输出，都是模拟功能。数字处理的精度上限，部分地由它前面那个模拟前端的动态范围与噪声底决定——ADC 的位数再多，也救不回被前端噪声淹没的信号。

另一层原因是：“数字信号”在导线里就是模拟波形。随着数据率上升，反射、串扰、传输线损耗重新成为主导问题，高速数字设计在本质上回到了模拟领域。这也是模电“难”的一部分来源：它总在处理边界情况，而边界情况无法用离散枚举解决。

可检验的追问：与其笼统地问“会不会被取代”，不如问具体指标——在给定带宽、动态范围、功耗与成本约束下，哪一部分用模拟实现更划算？偏置、保护、基准源这些功能正在被集成化与数字化校准，但“与物理世界接口”这一层在可预见范围内仍然是模拟的。

5.6 “运算放大器”这个名字从哪里来？ · 工程窗口

先想：为什么叫“运算”放大器，而不是“放大”放大器？

从模拟计算机到今天的通用积木

20 世纪 40 年代的分立元件时代，高增益直流放大器的主要用途是在模拟计算机中完成加、减、积分、微分——也就是“运算”。后来的集成运放不再用于模拟计算机，但“由无源网络规定功能、运放只提供高增益与虚地”的设计思想完整保留了下来：外围电阻与电容的形状决定了运算类型。

这段历史给出一条实用判断：当你无法用一句话说清某个运放电路“对输入做了什么样的运算”，通常说明还没有把外围网络看清楚。这个判据比背公式更有用。

仍然可问：直接用物理器件完成运算在今天还有意义吗？在极低延迟、极低功耗的场景（连续时间滤波器、模拟前端神经网络）中仍有竞争力；而在精度、可编程性与可复现性上，数字计算占优。选择哪种，取决于对哪一项的容忍度更低。

06 / PRACTICE

课后习题：会算，也要说得清条件

12 题，建议先完成 H01–H08；H09–H12 用于方法进阶与研究型讨论。以下不展示答案，参考解答统一放在最后。

难度：基础＝巩固定义；综合＝组织模型与多步核算；进阶＝边界、反例或跨学科思考。数值题取 g 无关量，电阻与电容取标准值；除特别说明外，运放按理想模型加限幅 ±13 V 处理，GBW=1 MHz。开放题按论证质量判断，不设置唯一立场。

概念 / 基础 · H01

判断并逐条解释：① 模拟信号就是连续变化的电压信号；② 数字信号在导线中传输时是模拟波形；③ 一个信号的有效值一定小于它的峰值；④ 只要知道频率，就能由峰峰值算出有效值。

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计算 / 基础 · H02

某正弦电压振幅 1.5 V、频率 1 kHz、初相 −45°，无直流偏置。写出 x(t) 的表达式，并求周期、角频率、有效值与峰峰值 $X_{\mathrm{pp}}$ 。

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计算 / 基础 · H03

半波整流正弦（振幅 X_m，无直流偏置）的有效值与平均值分别是多少？为什么不能直接用 1/√2 换算？

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计算 / 基础 · H04

某级放大器电压增益为 −20 dB。若输入有效值为 0.50 V，输出有效值为多少？输出与输入的相位关系如何？

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计算 / 综合 · H05

三级放大器级联，增益分别为 12 dB、−6 dB、20 dB，输入为 10 mV 峰值。求总增益（dB 与倍数）与输出峰值。若三级的 −3 dB 带宽分别为 100 kHz、10 kHz、500 kHz，级联后的带宽主要由哪一级决定？为什么不能简单把三个带宽相加或相乘？

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计算 / 综合 · H06

反相放大器 R₁=2.2 kΩ、R_f=47 kΩ，输入 25 mV 峰值正弦，运放 GBW=1 MHz、±V_sat=±13 V。求标称增益、输入电阻、闭环带宽、1 kHz 处的输出峰值，并判断是否会限幅。

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计算 / 综合 · H07

同相放大器 R₁=1 kΩ、R_f=9 kΩ，输入为 0.4 V 峰值正弦，供电 ±15 V。求增益、输出峰值、输出所需的最小摆幅余量；并说明为什么该电路对输入共模范围的要求比反相组态更严格。

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设计 / 综合 · H08

用一只理想运放和若干电阻实现 v_o=−(2v₁+3v₂)。若取 R_f=60 kΩ，求各输入电阻；再说明如何只用一只运放得到 v_o=+2v₁（需要额外器件时说出是什么，并指出它的代价）。

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方法 / 进阶 · H09

差分放大器 R₁=R₃=10 kΩ、R_f=R₄=100 kΩ，两输入为 5.00 V 与 5.02 V。① 求理想输出并写出差模与共模分量；② 若 R₃ 存在 +1% 偏差，估计输出中由共模引起的误差量级；③ 给出两种改善方案并说明各自代价。

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方法 / 进阶 · H10

积分器 R₁=100 kΩ、C=10 nF，输入在 t=0 由 0 跳变到 +1 V（注意符号），输出初值为 0，限幅 ±13 V。① 写出输出表达式与斜率；② 多少毫秒后输出达到 −13 V；③ 输入改为 ±1 V、2 kHz 方波时输出波形与峰峰值为多少；④ 为什么实际电路必须在电容两端并联大电阻，并说明它带来的代价。

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概念 / 进阶 · H11

“增益带宽积恒定”这句话的完整含义是什么？如果要求一个增益 1000、带宽 100 kHz 的放大级，用 GBW=1 MHz 的运放能不能实现？如果不能，有哪几条可行的工程路径？

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研究型开放题 / 进阶 · H12

从“信号量—模型—反馈—阻抗”四个角度，写 300–600 字回答：为什么“理论算对”不等于“电路做得出来”？文中必须包含一个可检验的量化指标和一个明确的适用范围。

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07 / FURTHER READING

延伸阅读与适用范围

正文为独立组织的教学推导。下列资料提供对应概念的进一步阅读，不要求初学者一次读完；教材类只列书目，链接类给出可访问的官方入口。

教材与手册（无链接，按需查阅）

童诗白、华成英《模拟电子技术基础》（高等教育出版社）：中文主线教材，器件与单元电路最完整，适合配套课堂进度。
A. Sedra, K. Smith, Microelectronic Circuits：运放与反馈的系统论述，第 1–2 章对应本册第 03–04 节，频率响应与稳定性章节是后续内容。
B. Razavi, Fundamentals of Microelectronics 与 Design of Analog CMOS Integrated Circuits：前者承接电路层，后者进入器件与电流源层级，需要半导体物理基础。
W. Jung, Op Amp Applications Handbook（Newnes/Elsevier）：以“工程失败模式”为主线，讲振荡、容性负载、去耦与噪声，是课本与实做之间的桥。

可访问的在线资料

MIT OpenCourseWare 6.002 · Circuits and Electronics：从集总电路抽象到放大器与一阶、二阶网络，含完整视频与讲义，适合补齐阻抗与频域基础。
TI Precision Labs · Op Amps：以短视频与练习组织，涵盖失调、偏置电流、噪声、带宽与稳定性，配套器件级数据手册解读，适合作为本册第 03 节的补充。
Analog Devices · Linear Circuit Design Handbook：整书各章可免费下载，覆盖运放、无源器件、滤波、电源与 PCB 设计问题。
Basic Linear Design · Chapter 1: The Op Amp：直接从器件参数与规格表入手讲运放，可作为“为什么要看数据手册”的入门读物。

资料链接核对日期：2026-09-14。正文与交互实验完全离线，不需要网络；只有主动点击参考链接时才会访问外部网站。所有实验都是理想模型：未模拟器件击穿、电源纹波、温漂、寄生参数与测量噪声。数值题中的运放参数取典型值，不对应任何具体型号。

08 / ANSWER KEY

统一答案与反思

先回看自己写下的推理，再展开对应答案。错在条件、模型前提或阻抗上，比一次算术失误更值得记录。

随堂 1 · C

峰峰值只说明摆幅，不说明形状与直流分量。同样 4 V 峰峰值：对称方波的有效值是 2 V，正弦是 1.414 V，三角波约 1.155 V。若再叠加直流偏置，有效值还会进一步升高。频率确实与有效值无关，但那不是充分条件——缺少的是波形。

随堂 2 · A

电压是幅值量，用 20lg。20lg100 = 40 dB。若误用 10lg 会得到 20 dB——这正是把 6 dB 说成 3 dB 的同一个错误。另外注意"从 1 到 100"是比值 100，不是 99。

随堂 3 · B

虚断来自输入电阻无穷大（只依赖输入级），虚短来自开环增益无穷大并且电路处于负反馈闭环、输出仍在线性区。正反馈或饱和时两个输入端可以相差任意大。输出电阻与电源对称性都不影响虚短。判断顺序：先看是否负反馈闭环，再看输出是否线性，最后才写 v₊=v₋。

随堂 4 · B

由 |A_v|·f_c=GBW 得 f_c=1 MHz/100=10 kHz。增益的符号（反相或同相）不影响这个带宽。

随堂 5 · B

增益 1+R_f/R₁=1+0=1。反馈把全部输出电压送回反相端，反相端跟随同相端，因此是单位增益缓冲。注意 R₁ 开路时不能理解为"除以无穷大得到 0 增益"——开路意味着这一支路没有电流，同相组态退化为跟随器。

随堂 6 · C

先做误差量级比较。设环路增益 Aβ≈9×10³，有限增益带来的误差只有约 0.011%；闭环输出电阻约 R_o/(1+Aβ)，取开环输出电阻几十欧姆也只有毫欧级，负载效应远小于 1%。而两只 1% 电阻造成的增益偏差就是 2% 量级。1% 的实测偏差，先怀疑电阻而非运放。

随堂 7 · B

由分压关系 1.60=2.00×8/(8+R_o) 得 8+R_o=10，故 R_o≈2 Ω。这个实验说明"增益"必须说明负载条件：空载增益与带载增益不是同一个数。

随堂 8 · B

输出稳定停在 +13.2 V 说明运放已经饱和，工作在非线性区。 $v_d=v_o/A_{OL}$ 是线性区内的推论，饱和时不再成立，两个输入端电压差可以很大。虚断（输入不取电流）仍然成立，但它推不出虚短——这两条假设的前提本来就不同。

H01 · 概念 / 基础

① 有歧义：模拟信号也可以是电流、电荷、温度等非电压量；"连续变化"应指幅值连续，与时间是否连续是两件事（采样保持前的信号在时间上也可被看作离散近似）。② 正确：数字电平在导线里就是模拟波形，只是被约定解读为两个状态。③ 取决于"峰值"的含义：若指全波形的最大绝对值，则有效值总不超过它（因为均方值不超过最大值平方）；若指不含直流的振幅，则错误——例如 x(t)=3+2sin(ωt)，振幅 2 V，而有效值等于 √(3²+2²/2)≈3.32 V，反而更大。④ 错误：频率与有效值无关；换算需要波形形状与直流分量。

H02 · 计算 / 基础

x(t)=1.5 sin(2π×1000t−45°) V。周期 T=1 ms；角频率 ω=2π×10³≈6.28×10³ rad/s；有效值 1.5/√2≈1.06 V；峰峰值 3.0 V。

易错点：初相 −45° 在代入 x(t) 时必须写成弧度（−π/4）或明确标注为角度；用 sin 还是 cos 表示不影响有效值，但会改变初相的定义。

H03 · 计算 / 基础

有效值 X_m/2，平均值 X_m/π≈0.318X_m。计算依据是定义式在一个完整周期上积分，而半波波形在第二个半周期恒为零，把积分结果压到了四分之一方，所以有效值系数是 1/2 而不是 1/√2。

不能用 1/√2 的原因有两层：波形不是正弦，且它已不再是零均值信号（平均值不为零）。

H04 · 计算 / 基础

20lgA=−20 ⟹ A=0.1，输出 0.1×0.50=0.050 V 有效值，即 50 mV。

关键提醒：分贝只表示幅值比，不能说明相位关系。"−20 dB"里的负号是数值的符号，不是反相标记。输出与输入是否反相，要由电路拓扑（反相组态还是同相组态）决定。

H05 · 计算 / 综合

总增益 12−6+20=26 dB，换算为 10^26/20≈19.9≈20 倍（也可逐级相乘：3.98×0.501×10≈19.9）。输出峰值 19.9×10 mV≈0.199 V。

带宽：主要由最窄的那一级（10 kHz）决定。理由是一阶低通级联后总传递函数是各级相乘，幅值衰减在 dB 上相加，衰减最快的一级主导 −3 dB 点的位置。三级的复合 −3 dB 频率满足 Π 1/√(1+(f/f_i)²)=1/√2，代入三个值可得约 9.9 kHz——几乎就等于最窄一级的 10 kHz。

不能相加或相乘：−3 dB 点对应的是各级衰减乘积等于 0.707 的条件，不是线性叠加。顺带记住：若 n 级带宽完全相同，级联后带宽只有单级的 √(2^1/n−1) 倍（n=3 时约 0.51）。

H06 · 计算 / 综合

标称增益 −47/2.2≈−21.4（约 26.6 dB）；输入电阻等于 R₁=2.2 kΩ；闭环带宽 1 MHz/21.4≈46.8 kHz。

1 kHz 处 f/f_c=0.0214，幅度修正因子 1/√(1+0.000457)≈0.99977，故输出峰值≈21.36×25 mV≈0.534 V。远低于 13 V，不会限幅；摆率要求 2π×1000×0.534≈3.4×10³ V/s，也远低于常见运放的压摆率。

H07 · 计算 / 综合

增益 1+9=10，输出峰值 4.0 V。要求运放在 ±15 V 供电、±13 V 饱和电压下提供 4 V 峰值，余量约 9 V，充足。

为什么共模要求更严：同相组态把输入信号直接加到同相端，因此输入端的共模电压就等于信号本身（0.4 V 峰值），叠加在信号上的共模干扰与信号走同一条路径；反相组态的输入端被虚地固定在约 0 V，共模电压近似为零。所以同相组态受"输入共模范围"这一指标约束，必须核对数据手册给出的共模输入范围，而不只是看增益。

H08 · 设计 / 综合

反相加法：v_o=−R_f(v₁/R₁+v₂/R₂)。要求 R_f/R₁=2 与 R_f/R₂=3，故 R₁=30 kΩ、R₂=20 kΩ。

得到正号：最直接的做法是在后面再接一级增益 −1 的反相器（一只运放加两只等值电阻），两级相乘得 +2。代价是多一只运放、多一级的失调与噪声贡献，且两级带宽串联后更窄。另一种思路是改用差分放大器拓扑把 2v₁ 接到同相端，但那需要一个基准电位与整组匹配电阻，在实际电路里往往更麻烦。

H09 · 方法 / 进阶

① 差模 v_d=0.02 V，共模 v_cm=5.01 V；理想匹配时输出 v_o=(100/10)×0.02=0.20 V。

② 以 1% 失配作量级估计，等效共模抑制约 1/(2×0.01)=50 倍（约 34 dB），5.01 V 的共模会在输出端产生约 0.10 V 误差——与有用信号 0.20 V 同量级。这时"输出里有一半是共模泄漏"并不是夸张说法。

③ 改善方案：甲把四只电阻匹配到 0.01% 级（精密电阻网络或集成差动放大器），代价是成本与选型受限；乙改用三运放仪表放大器，第一级先把差模放大、共模原样传递，代价是器件数、功耗上升，输出摆幅与带宽下降。这里的估计只给出数量级，精确的共模误差需按实际容差逐项计算。

H10 · 方法 / 进阶

① R₁C=100 kΩ×10 nF=1 ms，故 1/(R₁C)=1000 s⁻¹。输入为 +1 V 阶跃时 v_o(t)=−1000t V，斜率 −1 V/ms（与典例 4 的符号相反，注意输入极性）。

② 达到 −13 V 需要 13 ms。

③ 2 kHz 方波周期 0.5 ms，半周期 0.25 ms，每半周输出变化 1000×0.25 ms=0.25 V 且方向反转，因此得到峰峰值 0.25 V 的三角波。输入幅度不变时，输出幅度与频率成反比。

④ 理想积分器直流增益无穷大，输入失调电压与偏置电流会被持续积分直到输出饱和（本电路十几毫秒就够）。实际必须在电容两端并联大电阻 R_f，把直流增益限制为 −R_f/R₁。代价是引入低频转折 1/(2πR_fC)：低于它不再是积分关系；R_f 本身还会带来噪声与直流误差。

H11 · 概念 / 进阶

完整含义：对主极点补偿的电压反馈型运放，闭环增益幅值与 −3 dB 带宽之积近似为常数，等于该运放的单位增益带宽（GBW）。成立前提是该频率范围内只有一个主导极点，且输出未受限幅与压摆率限制。

要求增益 1000、带宽 100 kHz，需要 GBW≥1000×100 kHz=100 MHz。用 1 MHz 的运放实现 1000 倍只能得到 1 kHz 带宽，单级做不到。

可行路径：

换用 GBW ≥ 100 MHz 的运放——直接，但要付出功耗、成本与稳定性设计代价。
把增益分摊到多级级联。每一级增益越低，可用带宽越宽。设 n 级增益相同，则每级增益 1000^1/n、带宽 1 MHz/1000^1/n，级联后总带宽还要乘上 √(2^1/n−1)。代入可得：n=3 时每级 100 kHz、级联后约 51 kHz（不足）；n=4 时约 77 kHz（不足）；n=5 时约 97 kHz（差一点）；n=6 时每级 3.16 倍、带宽 316 kHz，级联后约 111 kHz，满足。所以用 1 MHz 的运放至少需要 6 级。代价是器件数、噪声与失调累积，以及多级稳定性设计。
改用电流反馈型运放（CFA），其增益与带宽的关系不同于电压反馈型，高增益下带宽损失小，但反馈电阻取值受限、直流精度通常较差。
重新审视指标：很多场合并不需要在 100 kHz 上仍有 1000 倍增益——把不需要的频率先用滤波去掉，指标本身就会放松。

H12 · 研究型开放题 / 进阶（评分依据）

开放题不设唯一答案。参考评分依据如下，四条中达到三条即为合格论证：

信号量层面：是否指出“增益”必须连同带宽、摆幅、负载一起给出，并给出一个可检验的量化指标（例如 GBW、压摆率、THD、SNR、输出摆幅中至少一项带数值）。
模型层面：是否区分了理想模型与真实参数的边界，并说明该边界在什么条件下开始主导误差（例如 A_OL 降到 10³ 量级、频率接近 f_c、或要求 0.01% 级精度时）。
反馈层面：是否说明负反馈把增益交给无源元件，同时也把"稳定性、相位裕度、容性负载"这些新问题带进来。
阻抗层面：是否给出一个具体的接口失配例子（源内阻与输入电阻分压、输出电阻与负载分压、或容性负载引起振荡），并说明测量方法。

适用范围要求：结论必须绑定一个明确场景（例如"低频小信号、双电源、增益 ≤100 的场合"），并指出在哪些场景下不再成立（如高速、大摆幅、单电源、强共模干扰）。只给出普遍化断言而不给场景的答案，按未完成处理。