Analog Electronics · Interactive Lecture

从载流子到稳压管

半导体基础 · PN 结 · 二极管与特殊二极管

同一个 PN 结，为什么既能整流、又能稳压、还能发光、还能发电？答案不在需要背诵的结论里，而在“载流子从哪里来、怎样被输运、结区电场怎样被电压调制”这三件事里。

本科基础 × 工程判断 8 处随堂诊断 3 个交互实验 5 个设计典例 12 道课后题

示范讲义 · 第 3 册 · LaTeX 排版版 · 室温 300 K 为准（kT/q = 25.85 mV）· 以硅器件为主，兼及锗与肖特基 · 2026.09

00 / START WITH A QUESTION

沙子里最多的那种元素，为什么能当开关用？

硅是地壳中第二丰富的元素，以二氧化硅的形式存在于沙子和石英里。石英是绝缘体，电阻率约 10¹⁶ Ω·cm；而把硅提纯成单晶以后，室温电阻率降到约 2×10⁵ Ω·cm——正好落在导体（约 10⁻⁶ Ω·cm）与绝缘体之间。“半导体”这个名字就是从这条中间地带来的。

情境 A · 同一个结构，四种用法

PN 结是模拟电路里被复用最多的结构

正向导通时它是整流二极管；反向击穿时它是稳压二极管；正向注入载流子并复合发光时它是 LED；被光照产生光生载流子时它是光电二极管与太阳电池。四者的物理结构几乎相同，区别只在工作在伏安特性的哪一段，以及用什么外部电路去驱动它。

情境 B · 一个反复出现的问题

“二极管正向压降是 0.7 V”，对在哪里、错在哪里？

它是对的：硅二极管在毫安量级的正向压降确实落在 0.6–0.7 V，用来做粗略估算完全够用。它是错的：这个电压随电流按对数变化（电流增大十倍，电压只升约 60 mV），还随温度按约 −2 mV/°C 移动。把 0.7 V 当成物理常数去做精密设计，误差会大到不可接受。

三次学习的安排

第一次：把材料说清楚。完成概览与半导体基础；理解本征激发、掺杂、费米能级与两类电流，完成典例 1 与随堂 1–2。
第二次：把结说清楚。推导内建电势与耗尽层宽度，操作“耗尽层与内建电势”实验；再由漂移—扩散平衡得到肖克莱方程，操作“二极管伏安特性”实验，完成典例 2 与随堂 3–5。
第三次：把器件用起来。完成二极管四种模型、五类特殊二极管与典例 3–5，操作“稳压二极管稳压电路”实验，最后做课后题并回看统一答案。

先修：原子能级与价电子概念、电中性与电荷守恒、电场与电势的关系、一维泊松方程的思想、指数与对数运算。量子力学与固体物理的细节（布洛赫定理、有效质量推导）不在本册范围，需要时只引用结论。

单位约定：掺杂浓度以 cm⁻³ 计，长度以 µm/nm 计，电流以 A/mA/µA 计，电容以 pF 计；能量以 eV 计（1 eV = 1.602×10⁻¹⁹ J），电场以 V/cm 计。除特别说明外温度取 300 K，此时 $kT/q$ = $25.85\ \mathrm{mV}$ 。

01 / MAP

从原子到系统：本册在讲哪一层

半导体知识是从材料物理一路长到系统应用的。本册的重点在“结”与“器件”两层：材料层只给必要结论，应用层给出典型电路但不管整机设计。

层次	回答的问题	本册位置	最容易混淆的地方
材料层	载流子从哪里来？浓度由什么决定？	第 02 节（只给结论）	把“掺杂浓度”直接当成“载流子浓度”
结层	内建电场如何形成？外加电压如何调制它？	本册主线（第 03 节）	把内建电势当成可以用电压表测出的电动势
器件层	伏安特性是什么形状？该用哪个模型？	本册主线（第 04–05 节）	把“0.7 V 恒压降”当成物理定律
电路层	怎样限流、稳压、整流、驱动？	第 05 节与典例	用恒压源直接驱动 LED 或稳压管
系统层	温度、散热、寄生参数怎样决定成败？	第 06 节与典例	认为公式算对就一定能做出来

本册的知识骨架

对象 / 概念	回答的问题	不可越过的边界
本征激发	纯半导体里为什么会有载流子？	n_i 随温度指数上升，高温下掺杂的作用会被削弱
掺杂	怎样把电导率提高几个数量级？	要杂质全部电离才成立；低温下会发生载流子冻结
内建电势	为什么结区有一个“台阶”？	它是费米能级对齐的结果，不是可以取出电能的电源
耗尽层	为什么结区电阻很大？	宽度随电压变化，因此结电容也随电压变化
肖克莱方程	伏安特性为什么是指数形状？	只在中低电流成立，大电流受串联电阻限制
反向击穿	反压加到多大器件会“坏”？	击穿本身可逆，超过额定功耗才真正损坏
四种工作区	同一个结怎么变成四种器件？	每种用法对应一段特定偏置和特定的外部电路

符号与层级约定

符号约定：本册用 n、p 表示电子与空穴的浓度（单位 cm⁻³），N_D、N_A 表示施主与受主掺杂浓度；V_D、I_D 是直流工作点的电压与电流，v_d、i_d 是小信号交流分量； $V_T$ = $kT/q$ 是热电势， $V_{bi}$ 是内建电势。

符号陷阱：I_S 是反向饱和电流（又称漏电流），不是“信号源电流”；V_Z 是稳压管的标称稳压值，不是可以随便取用的电压源；r_z、r_d 都是动态电阻（电压对电流的导数），与万用表欧姆档测出的直流电阻不是同一个量。同一符号在不同教材中含义不同，看到式子先确认符号表。

层级标记：“主线”适合课程考核；“方法进阶”需要少量半导体物理推导；“工程窗口”用于建立实际设计的判断，不作为未讲先考的内容。

02 / SEMICONDUCTORS

半导体：载流子从哪里来

要理解 PN 结，先要能回答一个更基本的问题：一块半导体里究竟有多少能导电的载流子，这个数目由什么决定。答案有两半——热激发与掺杂。

2.1 能带：导体、绝缘体、半导体的分界

孤立原子的电子占据分立的能级；当大量原子按周期排列成晶体时，这些能级展宽成能带。电子可以自由占据、能量较高的带叫导带；被价电子填满、能量较低的带叫价带；两者之间的能量空隙叫禁带，宽度记作 $E_g$ 。

导电能力取决于两个带的相对位置。金属的导带与价带重叠，电子随时可以进入导带；绝缘体的禁带极宽（> 5 eV），室温下几乎没有电子能跨过；半导体的禁带窄到“够得着”——硅 1.12 eV、锗 0.67 eV、砷化镓 1.42 eV。这个“够得着”，正是热运动能在室温下把少量电子送进导带的原因。

两点容易忽略的细节：禁带宽度是材料的性质，而且随温度轻微收窄（硅每升高 1 K 约减小 2.7×10⁻⁴ eV）；另外，LED 的发光颜色、光电二极管的响应波段，都由同一个 $E_g$ 决定——第 05 节会回来用它。

2.2 本征半导体：热激发的平衡

没有刻意掺杂的纯净半导体称为本征半导体。热运动不断把价带电子激发到导带，同时在价带留下一个空位——称为空穴。空穴表现为一个带正电、可以移动的载流子。因此本征半导体中电子与空穴浓度相等，都等于本征载流子浓度 $n_i$ 。

$n_i=B\,T^{3/2}e^{-E_g/2kT}$

本征载流子浓度随温度按指数上升。室温硅约 1.5×10¹⁰ cm⁻³，比金属载流子浓度小十余个数量级——“半导体”这个名字正是由此而来。

指数项是主导的。把温度从 300 K 提到 310 K，仅 3.3% 的温升就让硅的 $n_i$ 增大约 2.1 倍。原因是 $n_i$ 中含因子 e^−E_g/2kT，温度出现在指数里，任何微小变化都被指数放大。半导体对温度敏感是物理决定的，不是工艺缺陷。

把具体数字摆出来更能说明问题：硅的原子密度约 5×10²² cm⁻³，而本征载流子只有 $1.5\times10^{10}\ \mathrm{cm}^{-3}$ ，两者相差十几个数量级。换句话说，约每 3×10¹² 个硅原子才摊到一个自由载流子。这样低的浓度使本征硅在工程上几乎不能直接用。

2.3 掺杂：把载流子浓度控制住

解决办法是掺杂：掺入微量五价元素（磷、砷）提供多余电子，得到 N 型半导体；掺入三价元素（硼、铝）提供空穴，得到 P 型半导体。掺杂浓度通常在 10¹⁴–10²⁰ cm⁻³；相对硅原子密度而言，杂质只占十亿分之一到千分之几，电导率却能提高好几个数量级。这就是“用极少量杂质控制大量载流子”的工程逻辑。

掺杂后导带附近多出浅浅的施主能级（N 型），价带附近多出受主能级（P 型），它们在室温下几乎全部电离。于是整体电中性要求：

$n+N_A^-=p+N_D^+$

电中性条件。杂质全部电离时，N 型 n≈N_D、P 型 p≈N_A；该近似要求杂质能级不深、温度不太低，否则发生载流子冻结。

杂质全部电离时，每个施主贡献一个电子到导带，因此 N 型半导体的电子浓度 n≈N_D，P 型半导体的空穴浓度 p≈N_A。这是本册用得最多的一个近似，但它的前提必须记住：杂质能级要足够浅，温度不能太低。温度降到几十开尔文时，电子会被“冻”回杂质能级，载流子浓度急剧下降，这个现象叫载流子冻结。

$n\,p=n_i^{\,2}$

质量作用定律（热平衡下成立）。N 型半导体 n≈N_D，而空穴浓度被压到 n_i²/N_D；高温下 n_i 上升会削弱掺杂的作用。

热平衡下 n·p 恒等于 n_i²，与掺杂浓度无关。这条定律的直接效果是：提高一种载流子的浓度，必然压低另一种。取 N_D=10¹⁶ cm⁻³，则 n≈10¹⁶ cm⁻³，而 p=n_i²/N_D=2.25×10⁴ cm⁻³——少数载流子比多数载流子少了近 12 个数量级。后面会看到，反向饱和电流正是由这些“几乎不存在”的少数载流子贡献的。

常见错误：把“掺杂浓度”当成“载流子浓度”。N 型半导体的多子是电子（n≈N_D），但少子空穴由 n_i²/N_D 决定，两者相差极大；另一类错误是说“N 型半导体带负电”——它整体仍是电中性的，只是可动载流子以带负电的电子为主，固定下来的电离杂质离子带正电，恰好抵消。

2.4 费米能级：掺杂把能级推到哪里

热平衡下电子在各能级上的占据由费米能级 $E_F$ 描述。本征半导体的 $E_F$ 与本征能级 $E_i$ （近似在禁带中央）重合；掺杂把它推开——N 型材料电子多， $E_F$ 上移靠近导带；P 型材料空穴多， $E_F$ 下移靠近价带。偏离量由下式给出。

$E_F-E_i=kT\ln\frac{n}{n_i},\qquad E_i-E_F=kT\ln\frac{p}{n_i}$

非简并半导体的费米能级位置。N 型费米能级在本征能级之上、P 型在其下；掺杂越重偏离越远，重掺杂到进入导带或价带即成为简并半导体。

$E_F$ 的位置不是抽象概念，它直接决定 PN 结的内建电势：把 P 型和 N 型接在一起，两侧的 $E_F$ 必须对齐到同一水平，为此能带发生弯曲，弯曲量就是内建电势（3.1 节）。

2.5 载流子的两种输运方式

半导体中的电流由两类机制贡献。第一类是漂移：载流子在电场作用下定向运动，速度 v=µE，µ 为迁移率。

$J_{drift}=q\,n\,\mu_n E+q\,p\,\mu_p E$

漂移电流：载流子在电场作用下定向运动。μ_n、μ_p 是迁移率，单位 cm²/(V·s)。

第二类是扩散：载流子由高浓度处流向低浓度处，不需要电场驱动，扩散电流正比于浓度梯度。

$J_{diff}=q\,D_n\frac{\mathrm dn}{\mathrm dx}-q\,D_p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}$

扩散电流：载流子由高浓度流向低浓度。扩散与漂移构成半导体的两类基本输运机制。

两类机制由爱因斯坦关系联系起来，它说明扩散系数与迁移率不是独立参数，而是被温度锁定在一起：

$D=\mu\,\frac{kT}{q}=\mu\,V_T,\qquad V_T=\frac{kT}{q}\approx25.85\ \mathrm{mV}\ (300\ \mathrm K)$

爱因斯坦关系把扩散系数与迁移率联系起来。kT/q 是热电势，300 K 时约 25.85 mV——它是所有结电压量级的基准。

PN 结之所以有意思，正是因为它的行为由扩散与漂移的竞争决定：接合处浓度梯度大、扩散占优；扩散建立的电场又驱动漂移把它拉回来；两者平衡时形成稳定的内建电场。外加电压改变这个平衡，就得到整流特性。

随堂 1 · 把一块本征硅从 300 K 加热到 320 K，下面哪个量变化最剧烈？ A. 禁带宽度 E_g，因为它在指数里 B. 电子与空穴的迁移率 µ，因为它们正比于温度 C. 本征载流子浓度 n_i，因为它在指数上含 −E_g/2kT D. 硅原子密度，因为热膨胀改变了晶格常数文末解析 ↗

随堂 2 · 某 N 型硅在 300 K 下掺杂浓度 N_D=10¹⁷ cm⁻³，它的空穴浓度约为多少？ A. 也是 10¹⁷ cm⁻³，因为材料整体电中性 B. 约 2.25×10³ cm⁻³，由 n_i²/N_D 决定 C. 等于本征值 1.5×10¹⁰ cm⁻³，掺杂不影响少数载流子 D. 无法确定，必须先知道外加电压文末解析 ↗

典例 1

掺杂后的载流子浓度与费米能级位置

某 N 型硅在 300 K 下掺磷，N_D=10¹⁶ cm⁻³，已知 n_i=1.5×10¹⁰ cm⁻³、 $kT/q$ =25.85 mV、E_g=1.12 eV。求：① 电子与空穴浓度；② 费米能级相对本征能级的位置；③ 用一句话说明这个结果对“电中性”意味着什么。

展开分析与推导

① 多数与少数载流子：施主全部电离，电子浓度 n≈N_D=10¹⁶ cm⁻³。由质量作用定律

p = n_i²/N_D = (1.5×10¹⁰)²/10¹⁶ = 2.25×10⁴ cm⁻³

多子与少子之比 n/p≈4.4×10¹¹。注意数量级的悬殊：少子看起来“可以忽略”，但它决定了反向饱和电流，因此不能真的丢掉。

② 费米能级：由 $E_F$ − $E_i$ = $kT/q$ ·ln(n/n_i)：

E_F−E_i = 0.02585 × ln(10¹⁶/1.5×10¹⁰) = 0.02585 × ln(6.67×10⁵) ≈ 0.02585 × 13.41 ≈ 0.347 eV

即费米能级位于本征能级上方 0.347 eV，偏向导带一侧。量级核对：禁带半宽 E_g/2=0.56 eV， $E_F$ 已从禁带中央上移到约六成的位置，与“N 型材料电子多、费米能级上移”的预期一致。

③ 电中性的含义：10¹⁶ 个电离施主离子（带正电）被 10¹⁶ 个导带电子（带负电）抵消，另有极少量空穴；材料整体不显电性。所谓“N 型带负电”是错误说法——掺杂只改变可动载流子的种类与浓度，不改变整体电中性。

03 / THE PN JUNCTION

PN 结：一个自建的“台阶”

把 P 型和 N 型半导体接在一起，界面上会自发出现一个电场、一个电势差和一个几乎没有可动载流子的区域。这三样东西解释了二极管的一切行为。

3.1 结的形成：扩散与漂移的平衡

把 P 型和 N 型接合的瞬间，两侧载流子浓度差极大：P 区空穴多、N 区电子多。浓度梯度驱动扩散——空穴向 N 区跑，电子向 P 区跑。但载流子一离开原区，就留下不能移动的电离杂质离子：P 区一侧留下带负电的受主离子，N 区一侧留下带正电的施主离子。

这些固定电荷建立起一个由 N 指向 P 的内建电场，它对继续扩散的载流子施加反向的漂移力。当扩散与漂移达到动态平衡，界面附近就形成了一个稳定的结构：

空间电荷区（耗尽层）——可动载流子已被耗尽，只剩固定离子，电阻很高。
内建电场——方向由 N 指向 P，阻止多数载流子继续扩散。
势垒（接触电势差）——电子要越过这个势垒才能到 P 区，空穴反之。

势垒高度由两侧费米能级必须对齐这一条件决定，写成公式就是：

$V_{bi}=V_T\ln\frac{N_AN_D}{n_i^{\,2}}$

内建电势（接触电势差），由两区费米能级对齐决定。室温硅 PN 结典型 0.6–0.9 V；它不能直接用电压表测量（原因见 6.1）。

对典型硅 PN 结，这个值落在 0.6–0.9 V，量级与 $E_g$ 相当而略小，因为它只占禁带的一部分。

3.2 耗尽层宽度与电场分布

耗尽层有多宽？把一维泊松方程对阶梯形的空间电荷分布积分两次，得到耗尽层总宽度：

$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q}\left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right)(V_{bi}-V_A)}$

耗尽层宽度。正偏 V_A>0 使 W 减小、载流子更容易穿过；反偏 V_A<0 使 W 增大。

式中 $\varepsilon_s$ 是半导体的介电常数（硅为 11.7 $\varepsilon_0$ ），V_A 是外加电压（正偏取正、反偏取负）。这个式子包含两条重要信息：正偏使 W 变窄（势垒降低，载流子更容易通过），反偏使 W 变宽（势垒抬高）。

耗尽层并不对称。因为必须保持整体电中性，两侧电荷总量相等，而电荷密度是掺杂浓度，于是：

$x_n=W\frac{N_A}{N_A+N_D},\qquad x_p=W\frac{N_D}{N_A+N_D}$

耗尽层在两区的分配与掺杂浓度成反比。单边结（如 P⁺N 结）的耗尽层几乎全部深入低掺杂的 N 区，这是很多器件结构的基础。

也就是说，耗尽层主要向低掺杂一侧扩展，扩展宽度与掺杂浓度成反比。当两侧掺杂相差两个数量级以上时称作单边结，耗尽层几乎全部落在轻掺杂一侧——这是很多真实器件（如 P⁺N 结、变容管）刻意采用的结构。

结面处电场最强，向两侧线性衰减到零，峰值由耗尽层上的电压降决定：

$E_{max}=\frac{2\,(V_{bi}-V_A)}{W}$

结面处电场最大，向两侧线性衰减到零。反向电压升高时 E_max 增大，达到临界电场即发生击穿。

$E_{max}$ 是理解反向击穿的关键：反偏电压升高时 W 与电压降同时增大，净效果是 $E_{max}$ 上升。当它达到材料的临界电场 $E_{crit}$ （硅约 3×10⁵ V/cm）时，载流子在很短距离内就能获得足够动能去碰撞产生新的电子—空穴对，于是发生击穿（3.5 节）。

交互实验 01 · 耗尽层与内建电势

反偏电压加大时，结区究竟变宽了多少？

下图把 P 区、耗尽区、N 区画在同一横截面上，中间一栏是空间电荷密度，下面一栏是电场分布。耗尽区的画法按 x_p:x_n 的真实比例分割，具体宽度数值在下方读数区。先预测：把外加电压从 0 拉到 −10 V，耗尽层总宽度会变为原来的几倍？

受主浓度 N_A 施主浓度 N_D 外加电压 V_A

耗尽区在图中按真实比例绘制，因此两侧掺杂相差悬殊时会看到耗尽层几乎完全偏向一侧。内建电势 V_bi 与耗尽层宽度 W 由当前掺杂与温度（固定 300 K）算出；电场峰值 E_max 由三角形分布积分得到。模型不含击穿效应，当 E_max 接近临界电场时读数会给出提示。

3.3 外加电压：正偏与反偏

把外加电压加在 PN 结两端，几乎全部落在耗尽层上（因为它的电阻远大于两侧中性区）。电压的极性决定它如何改变势垒：

状态	外加电压	势垒高度	耗尽层 W	多数载流子	电流
正偏	P 接正、N 接负（V_A>0）	降低为 V_bi−V_A	变窄	扩散被助推	指数上升
反偏	P 接负、N 接正（V_A<0）	升高为 V_bi+\|V_A\|	变宽	扩散被阻断	只剩微小电流

为什么正偏电流是指数上升而不是线性？因为越过势垒的载流子数目由玻尔兹曼统计决定：势垒降低一点，能越过它的载流子数就按 e^ΔV/V_T 倍增。这就是肖克莱方程的来源。

3.4 伏安特性：肖克莱方程

$I_D=I_S\left(e^{V_D/\eta V_T}-1\right)$

肖克莱方程（理想二极管方程）。η 是理想因子：中性区扩散电流主导时 η≈1，空间电荷区复合电流主导时 η≈2。

式中 $I_S$ 是反向饱和电流， $\eta$ 是理想因子。把两段行为分别看：

正偏（V_D≫ $V_T$ ）：指数项主导，I_D≈ $I_S$ ·e^V_D/ηV_T。电流随电压指数上升，这就是“开启电压”表象的来源。
反偏（V_D≪0）：指数项趋于零，I_D→− $I_S$ 。电流饱和为一个小常数，与反偏电压大小几乎无关——这是“反向饱和”这个名字的来源。

$I_S$ 由少数载流子的扩散决定，因此它对温度极其敏感：

$I_S\propto n_i^{\,2}\propto T^{3}e^{-E_g/kT}$

反向饱和电流正比于 n_i²，温度敏感性比正向压降强得多：300 K 附近每升高 10 °C，I_S 约增大 4 倍。工程上常按“每 10 °C 翻倍”估算的是实测反向漏电流——它由势垒区产生电流主导（只正比于 n_i），不是这里的扩散电流。

这里有一个容易混淆的地方值得说清。 $I_S$ 正比于 n_i²，所以它的温度系数很强（300 K 附近每升 10 °C 约 4 倍）；而工程手册常说“反向电流每升 10 °C 翻一倍”，那说的是实测反向漏电流——它由势垒区的产生电流主导，只正比于 n_i，所以倍率正好是前者的一半次方。两个说法都正确，只是指的不是同一个电流。

交互实验 02 · 二极管伏安特性

为什么正向电流是“指数”，而反向电流“几乎不变”？

左图是线性坐标下的完整伏安特性：横轴从 −10 V 到 +0.9 V。右图把正偏部分放大到半对数坐标，指数关系在那里表现为一条直线。先预测：把温度从 300 K 升到 350 K，同一电流下的正向压降会变大还是变小？

器件温度 T 理想因子 η

正向电压超过 0.9 V 后，真实二极管会因体电阻与串联电阻而偏离指数关系（曲线向下弯），本模型未包含该效应；线性图的纵轴按所选器件自动定标，超出部分会被截断。三种器件的曲线在半对数图上互相平行、水平平移，平移量正是 ηV_T·ln(I_S2/I_S1)。

3.5 反向击穿：不是“坏掉”

反偏电压继续升高， $E_{max}$ 增大。当它达到临界电场时，反向电流突然急剧上升，这个现象叫反向击穿。击穿有两种物理机制，名字常被混用：

	齐纳击穿（隧穿）	雪崩击穿（碰撞电离）
机理	耗尽层很窄，电场强到能直接让价带电子隧穿到导带	载流子在宽耗尽层中被加速，碰撞产生新的电子—空穴对，连锁倍增
击穿电压	较低，约 < 5 V（重掺杂，耗尽层窄）	较高，约 > 6 V（轻掺杂，耗尽层宽）
温度系数	负（温度升高、禁带收窄，击穿电压下降）	正（温度升高、声子散射增强，需要更高电压）

雪崩倍增的定量描述常写成经验形式，其中 n 取 3–6，它使电流在 $V_{BR}$ 附近发散：

$M=\frac{1}{1-\left(V_R/V_{BR}\right)^{n}},\qquad I_R'=M\,I_R$

雪崩倍增因子，经验式 n 取 3–6。反压接近 V_BR 时倍增效应使反向电流急剧上升；齐纳（隧穿）击穿则不需要倍增机制。

关键区别：击穿（breakdown）本身是可逆的——只要外部电路把电流限制在允许范围内，撤掉电压后器件恢复正常。真正损坏器件的是超过额定功耗导致的热烧毁。稳压二极管正是故意工作在击穿区，用限流电阻把电流控制在安全范围。“击穿＝损坏”是一个需要被纠正的直觉。

最后，耗尽层随电压变化还带来一个副产品：结电容。耗尽层越宽，等效的平板电容越小，于是 PN 结本身就是一个压控电容。

$C_j=\frac{\varepsilon_s A}{W},\qquad C_{j0}=\frac{\varepsilon_s A}{W_0}$

势垒电容随耗尽层宽度变化。反偏使 W 增大、C_j 减小——这正是变容二极管的工作原理，也是 PN 结存在高频寄生电容的原因。

这个电容在整流电路中是寄生参数（限制高频工作），在变容二极管中却是工作基础（5.4 节）。同一个物理量，在不同电路里扮演相反的角色。

随堂 3 · 有人用理想电压表直接量一个孤立 PN 结两端的电压，想测出 0.7 V 的内建电势。他会看到什么？ A. 0.7 V，因为内建电势是真实存在的电势差 B. 0 V，因为硅的禁带宽度未被克服 C. 约 −0.7 V，因为表笔极性与结的方向相反 D. 约 0 V，因为表笔与半导体的接触电势恰好抵消了内建电势文末解析 ↗

随堂 4 · 给 PN 结加正向电压时，耗尽层与势垒如何变化？ A. 耗尽层变宽，势垒升高 B. 耗尽层变窄，势垒降低 C. 耗尽层变窄，势垒升高 D. 两者都不变，只有电流变化文末解析 ↗

随堂 5 · 反向饱和电流 I_S 主要由什么决定？ A. 外加反偏电压的大小，电压越大电流越大 B. 多数载流子的浓度，因为多子数量最多 C. 少数载流子的扩散与温度，因此随温度急剧上升 D. 耗尽层的电容大小文末解析 ↗

典例 2

单边结的耗尽层：宽度、分配与电场峰值

某硅 PN 结在 300 K 下 N_A=10¹⁷ cm⁻³、N_D=10¹⁵ cm⁻³，n_i=1.5×10¹⁰ cm⁻³，硅的相对介电常数 11.7。求零偏下的 ① 内建电势；② 耗尽层宽度与两侧分配；③ 电场峰值；④ 把反偏加到 10 V 后耗尽层宽度变为原来的几倍。

展开分析与推导

① 内建电势：代入 $V_{bi}$ = $V_T$ ·ln(N_AN_D/n_i²)：

N_AN_D/n_i² = 10¹⁷×10¹⁵/(1.5×10¹⁰)² = 4.44×10¹¹

V_bi = 0.02585 × ln(4.44×10¹¹) = 0.02585 × 26.82 ≈ 0.693 V

② 耗尽层宽度：先算电容常数 2 $\varepsilon_s$ /q。取 $\varepsilon_s$ =11.7×8.854×10⁻¹⁴ F/cm=1.036×10⁻¹² F/cm：

2ε_s/q = 2×1.036×10⁻¹²/1.602×10⁻¹⁹ = 1.293×10⁷

1/N_A+1/N_D = 10⁻¹⁷+10⁻¹⁵ ≈ 1.01×10⁻¹⁵ cm³

W = √(1.293×10⁷ × 1.01×10⁻¹⁵ × 0.693) = √(9.06×10⁻⁹) ≈ 9.52×10⁻⁵ cm ≈ 0.95 µm

两侧分配： $x_n$ =W·N_A/(N_A+N_D)=0.95×0.990≈0.94 µm（N 区一侧）， $x_p$ =W·N_D/(N_A+N_D)=0.95×0.0099≈9.4 nm（P 区一侧）。两者之比恰好等于 N_A/N_D=100。

③ 电场峰值： $E_{max}$ =2V_bi/W=2×0.693/(9.52×10⁻⁵ cm)≈1.46×10⁴ V/cm，与硅的临界电场（约 3×10⁵ V/cm）相差 20 倍以上，远未接近击穿。

④ 反偏 10 V 后：宽度按 √(电压比) 缩放。V_bi−V_A=10.693 V，W=0.95×√(10.693/0.693)=0.95×√15.43=0.95×3.93≈3.73 µm，即增大约 3.9 倍。同时 $E_{max}$ =2×10.693/(3.73×10⁻⁴)≈5.73×10⁴ V/cm，仍低于临界电场。

04 / DIODE MODELS

二极管：四种模型，四种精度

肖克莱方程是精确的，但它在手工计算时不好用。工程上按需要选择精度的模型——关键是知道每个模型丢掉了什么。

4.1 从精确到粗略：四种模型

模型	表达式	保留了什么	丢掉了什么 / 适用场合
指数模型	I_D=I_S(e^V_D/ηV_T−1)	完整伏安特性、温度效应	无法手工解电路；用于仿真与推导
恒压降模型	导通时 V_D=V_on（硅 0.7 V）	导通压降的基本量级	丢掉对数关系与温度系数；适合粗略估算
理想开关模型	导通 V_D=0，截止 I_D=0	单向导电的方向性	丢掉全部压降；适合判断通断与逻辑
小信号模型	r_d=ηV_T/I_D 的线性电阻	工作点附近的增量关系	只在工作点邻域有效；用于交流分析

恒压降模型里的 0.7 V 是从指数模型里“量出来”的，而不是独立假设：

$V_D\approx V_{D0}+\eta V_T\ln\frac{I_D}{I_{D0}}$

由肖克莱方程在工作点附近取对数得到。硅二极管在 1 mA 附近约 0.6–0.7 V，但它是电流的弱对数函数，不是常数 0.7 V。

把它写成这个形式就能看出，V_D 是 ln(I_D) 的线性函数——电流每增大十倍，电压只增加 ηV_T·ln10≈60 mV。所以“0.7 V”是某个电流量级附近的代表性数值，不是一个常数。

小信号模型则回答另一个问题：如果工作点上的电流有一个小变化 i_d，电压变化是多少？答案是动态电阻：

$r_d=\frac{\mathrm dV_D}{\mathrm dI_D}=\frac{\eta V_T}{I_D}$

动态电阻（微变电阻），只对小信号有效。工作点电流 1 mA、η=1 时 r_d≈25.9 Ω；它不是导通压降，而是工作点附近电压对电流的比值。

工作点 1 mA、η=1 时 r_d≈25.9 Ω，比万用表在欧姆档测出的直流电阻（约 700 Ω）小得多。两者描述的是完全不同的东西：前者是工作点处曲线的斜率，后者是伏安特性上某点与原点的连线斜率。

4.2 “正向压降”到底是多少

把上面两式放在一起看，可以列出一张实用的对应关系：

正向电流	硅二极管 V_D（η=1）	相对 1 mA 的变化
0.1 mA	≈0.63 V	−60 mV
1 mA	≈0.69 V	基准
10 mA	≈0.75 V	+60 mV
100 mA	≈0.81 V	+120 mV

上表按 η=1、 $I_S$ =2.5×10⁻¹⁵ A、300 K 计算，与交互实验 02 用的是同一模型；每跨一个十倍电流刻度，电压恰好移动 ηV_T·ln10≈59.5 mV，所以四行几乎是等距的。真实器件在大电流下会被体电阻拉低斜率，因此 100 mA 附近实际电压往往低于表值。

这就是“0.7 V”的准确含义：它是毫安量级的代表值。在 1 mA 附近用它做估算只差约 10 mV；但在 0.1 mA 或 100 mA 附近，偏差会增大到 70–110 mV。若电路要求 10 mV 的精度（例如二极管基准），就必须回到指数模型或查实测曲线。

整流能力的大小也可以用同一式子估计。正偏 0.7 V 与反偏 −10 V 的电流之比为：

$\frac{I_F}{I_R}=e^{V_F/\eta V_T}\qquad (V_F\gg\eta V_T)$

整流比。正偏 0.7 V 与反偏 10 V 的电流之比可达 10¹²：单向导电不是“反向完全不导通”，而是反向电流小到可以忽略。

代入 0.7 V（η=1，300 K）得到约 5.8×10¹¹。单向导电不是“反向完全不导通”，而是反向电流小到在多数电路里可以忽略。如果负载电流只有纳安量级，这个“忽略”就不再成立——这是高阻、微电流电路里二极管反而“漏”的原因。

4.3 温度效应与极限参数

温度同时影响正向与反向特性，且方向相反：在恒定电流下，正向压降随温度下降，硅器件约 −1.7 ～ −2 mV/K（工程经验常取 −2 mV/K；本册模型在 η=1、1 mA 工作点下给出约 −1.7 mV/K）；而反向电流随温度按指数上升。用一个自检题把这两个方向说清楚：

在一个恒流源驱动的二极管上，温度升高后伏安曲线整体向左平移：同一电流对应的电压变小了。这意味着如果原电路靠二极管压降做基准，温度升高时基准会漂移；也意味着同一个二极管在不同温度下测“开启电压”，会得到不同结果。

随堂 6 · 某硅二极管的直流工作电流从 1 mA 增大到 2 mA，正向压降大约增加多少？ A. 约 0.7 V，因为压降由器件决定 B. 约 350 mV，电流加倍意味着压降加倍 C. 约 18 mV，因为 V_D 正比于 ln(I_D)，ln2≈0.69 D. 约 60 mV，因为电流每变十倍电压变 60 mV 文末解析 ↗

典例 3

用指数模型和恒压降模型分别算同一个电路

电路：5 V 直流电源串联 1 kΩ 电阻与一只硅二极管（ $I_S$ =2.5×10⁻¹⁵ A、η=1、300 K），二极管正向接入。求二极管电流，并比较两种模型的结果与误差。

展开分析与推导

方法一：恒压降模型。设二极管导通、压降 0.7 V，则电阻上电压 5−0.7=4.3 V：

I_D = 4.3 V / 1 kΩ = 4.3 mA

这一步只用了欧姆定律，不用解方程，代价是压降被硬性设定。

方法二：指数模型。需要解 I_D = (5−V_D)/1000 与 I_D = I_S(e^V_D/V_T−1) 的联立方程。手算时用迭代：先猜 V_D=0.7 V，得 I_D=4.3 mA；用指数模型反算该电流对应的电压：

V_D = V_T·ln(I_D/I_S) = 0.02585 × ln(4.3×10⁻³/2.5×10⁻¹⁵) = 0.02585 × ln(1.72×10¹²) = 0.02585 × 28.17 ≈ 0.728 V

用 0.728 V 重算电阻电压 4.272 V、I_D=4.27 mA；再反算电压得 0.728 V，两次已不变，收敛。

两个模型的差别：电流相差 4.3 mA 与 4.27 mA，约 0.7%；电压相差 0.7 V 与 0.728 V，约 28 mV。

05 / SPECIAL DIODES

特殊二极管：同一个结的四种花样

把 PN 结用在不同的偏置区、配合不同的外部电路，就得到稳压、发光、光电、变容、肖特基五类器件。它们的共同点是都从前面那套物理出发，差别只在“用哪一段特性、靠什么物理效应”。

5.1 稳压二极管：故意工作在击穿区

稳压二极管（齐纳二极管）的设计思路是：既然反向击穿可逆，那就把它当成一种工作状态来用。击穿之后，反偏电压几乎钉在 $V_Z$ 附近，电流在很大范围内变化而电压基本不变——这正是稳压需要的行为。

在典型电路中，输入电压 V_S 经串联电阻 R 接到稳压管与负载 R_L 的并联端。由节点电流守恒得到稳压管的工作电流：

$I_Z=\frac{V_S-V_Z}{R}-\frac{V_Z}{R_L}$

稳压二极管工作电流。I_Z 必须落在 I_ZK 与 I_ZM 之间：低于膝点电流失去稳压能力，超过最大电流则烧毁。

$I_Z$ 必须落在两个界限之间：低于 I_ZK（膝点电流）时击穿尚未建立，失去稳压能力；超过 I_ZM（最大电流）时功耗过高而烧毁。设计稳压电路，本质上就是在输入的整个变化范围与负载的整个变化范围内，保证 $I_Z$ 始终落在这两个界限之间。

输出并不理想恒定。稳压管有一个小的动态电阻 $r_z$ ，它使输出随电流轻微变化：

$V_{out}=V_Z+r_z\,I_Z,\qquad \frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_S}=\frac{r_z}{R+r_z}$

动态电阻 r_z 决定输出对输入波动的敏感度。r_z 越小稳压越好，但它永不为零，所以齐纳稳压精度不如反馈式稳压。

最后，击穿区工作时电能几乎全部转化为热，必须核算功耗与结温：

$P_Z=V_Z I_Z,\qquad T_j=T_a+P_Z\,\theta_{JA}$

击穿区工作时电能几乎全部转为热。结温是否落在允许范围内，直接决定稳压电路的可靠性。

线路调整率 r_z/(R+r_z) 这个比值说明：串联电阻 R 越大，输入波动对输出的影响越小。但 R 不能任意取大，因为它同时决定了稳压管电流的下限——R 太大时轻载下 I_Z 会跌破 I_ZK。这是一个必须在最坏工况下核算的取舍。

交互实验 03 · 稳压二极管稳压电路

输入变化 5 V，输出为什么只动几十毫伏？

上图画电路与各支路电流，下图把“有稳压管”与“只用电阻分压”两种情形的输出电压随输入变化的曲线画在一起。先预测：把负载电阻 R_L 从 2200 Ω 减到 680 Ω，稳压还成立吗？

输入电压 V_S 稳压值 V_Z 串联电阻 R 负载 R_L

稳压管参数取 1N47xxA 系列的典型值（含动态电阻 r_z、膝点电流 I_ZK、最大电流 I_ZM）。当 V_S 过低或 R 过大导致 I_Z<I_ZK 时，模型自动退化为电阻分压器并给出提示；当 I_Z>I_ZM 时给出过流告警。曲线上的工作点随控件实时移动。

典例 4

稳压管稳压电路：一次完整的最坏工况核算

要求用 6.2 V 稳压管（V_Z=6.2 V @ I_ZT=41 mA，r_z=2 Ω，I_ZK=1 mA，I_ZM=146 mA）得到稳定的 6.2 V 输出。输入电压 12 V ±20%（即 9.6–14.4 V），负载 R_L=680 Ω。① 取 R=220 Ω 是否可行？② 求输出纹波与线路调整率；③ 核算两个电阻的功耗。

展开分析与推导

① 工作电流范围。设输出近似为 V_Z，则负载电流 I_L=V_Z/R_L=6.2/680≈9.1 mA，与 V_S 无关。串联电阻上的电流随 V_S 变化：

V_S=9.6 V：I_R=(9.6−6.2)/220=15.5 mA → I_Z=15.5−9.1=6.4 mA

V_S=12 V：I_R=(12−6.2)/220=26.4 mA → I_Z=26.4−9.1=17.3 mA

V_S=14.4 V：I_R=(14.4−6.2)/220=37.3 mA → I_Z=37.3−9.1=28.2 mA

即 $I_Z$ 在 6.4–28.2 mA 之间，落在 [1 mA, 146 mA] 内，可行。注意最低点的 6.4 mA 离膝点电流 1 mA 还有余量，说明 R=220 Ω 选得合适。作为对照，若 R 取到 680 Ω，V_S=9.6 V 时 I_R=(9.6−6.2)/680=5.0 mA 已经小于负载需要的 9.1 mA，稳压管根本无法进入击穿——电路退化为分压器，输出跌到 9.6×680/(680+680)=4.8 V，设计完全失效。这说明串联电阻的取值必须与最坏输入电压一起核算，不能只看标称值。

② 输出变化。用 $r_z$ =2 Ω 估计：

ΔV_out = r_z·ΔI_Z = 2 Ω × (28.2−6.4) mA ≈ 43 mV

线路调整率 = ΔV_out/ΔV_S = 43 mV/4.8 V ≈ 0.90%。也就是说输入变化 ±20%，输出只变 ±0.35%（6.2 V 上的 43 mV 峰峰）。负载调整率也可由同一 r_z 估计：输出电阻约为 r_z∥R≈2 Ω，负载电流变化 10 mA 时输出变约 20 mV。

③ 功耗核算。

稳压管最坏在 V_S=14.4 V：P_Z=6.2 × 28.2 mA ≈ 175 mW（1 W 器件尚有余量）

串联电阻最坏：V_R=14.4−6.2=8.2 V，I_R=37.3 mA → P_R=8.2 × 37.3 mA ≈ 306 mW

电阻功耗接近 1/3 W，必须选 0.5 W 以上的规格，1/4 W 电阻会过热。这一步最容易被忽略。

5.2 发光二极管：正向电流直接变成光

在正偏 PN 结中，注入的电子与空穴在结区复合。若材料是直接带隙半导体（如 GaAs、GaN），复合时能量几乎全部以光子形式放出，而不是变成热。发出的光子能量约等于禁带宽度：

$\lambda=\frac{hc}{E_g}\quad\Longleftrightarrow\quad \lambda[\mathrm{nm}]\approx\frac{1240}{E_g[\mathrm{eV}]}$

发光波长由材料禁带宽度决定。GaAs 红外、GaAsP 红、InGaN 绿与 GaN 蓝，都是这一关系的直接体现。

代入数字就能解释 LED 的颜色与正向电压为什么是绑定的：红色 λ≈620 nm 对应 $E_g$ ≈2.0 eV，因此红色 LED 的正向压降约 2.0 V；红外 940 nm 对应约 1.32 eV，压降只有 1.2–1.5 V。蓝绿光的对应关系要弱一些（GaN 系器件的 V_F 会高出 E_g/q 约 0.5–1 V），但数量级依然由禁带决定。“测一下 V_F 就能猜出 LED 颜色属于哪个波段”之所以部分成立，原因就在这个式子里。

LED 是电流驱动器件：光通量近似正比于正向电流，而正向压降却几乎不随电流变化（仍是对数关系）。因此绝不能把 LED 直接接到电压源上，必须串联限流电阻或使用恒流源：

$R=\frac{V_S-V_F}{I_F}$

LED 限流电阻。LED 是电流驱动器件：正向压降由材料禁带宽度决定，离散性大，不能用恒压源直接驱动。

为什么必须限流：LED 的正向压降在 20 mA 附近几乎不变，多余的电压全部落在限流电阻上并转化为电流。若把 5 V 电源直接加在压降 2 V 的 LED 上而不限流，电流只会受电源内阻与引线电阻限制，很容易达到安培级而瞬间烧毁。这与白炽灯的对比见 6.4。

典例 5

LED 限流电阻：设计值与两个敏感度检查

用 5 V 电源驱动一只红色 LED（ $V_F$ =2.0 V @ $I_F$ =20 mA，对应发光波长约 620 nm）。① 求限流电阻；② 若电源升到 9 V 而不改电阻，电流变成多少？③ 若 LED 的 V_F 有 ±0.2 V 的批次离散，电流会在什么范围内变？

展开分析与推导

① 限流电阻：由 $I_F$ =( $V_F$ 给定的工作点，代入限流电阻公式

R = (V_S−V_F)/I_F = (5−2.0)/0.020 = 150 Ω

顺带核对量级：波长 620 nm 对应光子能量 E_g=1240/620≈2.0 eV，与测得的正向压降 2.0 V 数值接近，说明两者同源于禁带尺度。注意这只是近似——对红外与红光 LED（窄禁带）符合得很好，而蓝绿光 LED 的 V_F 会比 E_g/q 高出 0.5 V 以上（还包含结区与串联电阻上的附加压降）。所以“测 V_F 猜颜色”只能用来看数量级。

② 电源升到 9 V：

I = (9−2.0)/150 = 46.7 mA

是设计值的 2.3 倍，远超常见 LED 的 20–30 mA 额定值，会迅速过热损坏。限流电阻的取值必须按最高电源电压核算，这是电源波动场景下最常见的失效模式。

③ 批次离散的影响：

V_F=1.8 V：I=(5−1.8)/150=21.3 mA；V_F=2.2 V：I=(5−2.2)/150=18.7 mA

±0.2 V 的压降离散只带来 ±7% 左右的电流变化，说明串联电阻对 LED 参数离散有很好的抑制作用——这正是它比恒压源驱动可靠的原因。

5.3 光电二极管与太阳电池

反过来，如果让光照射 PN 结，光子在结区激发出电子—空穴对，内建电场把它们分开，形成一个与暗态电流方向相反的光生电流 $I_L$ 。完整特性就是“肖克莱电流减去光生电流”：

$I_D=I_S\left(e^{qV/kT}-1\right)-I_L$

光电二极管总电流：暗态肖克莱电流减去光生电流。I_L 与光强成正比、且与结电压方向相反——光伏模式与光导模式都从这一式出发。

这一式包含两种工作模式。若外加反偏电压，肖克莱项被放大、光生电流几乎不变，电流与光强成正比，得到线性好、响应快的光导模式——常用于光通信接收与光电检测。若不加偏压（甚至正偏），器件本身输出电能，得到光伏模式：

$V_{oc}=V_T\ln\left(\frac{I_L}{I_S}+1\right)$

太阳电池开路电压。短路时输出电流最大（等于 I_L），开路时电压最高；同一器件不能同时给出两个极值，这就是最大功率点匹配的来源。

太阳电池就工作在光伏模式。 $I_L$ 正比于光强，而 $V_{oc}$ 随光强对数增长，所以光强增大一倍，短路电流增大一倍而开路电压只增加约 18 mV。同一器件不能同时输出最大电流和最大电压，这个取舍就是最大功率点跟踪（MPPT）存在的理由。

5.4 变容二极管：把结电容当元件用

3.5 节已经指出，耗尽层宽度随反偏电压变化，因此结电容随之变化。变容二极管正是把这一“寄生效应”变成主功能的器件：

$C_j=\frac{C_{j0}}{\left(1-V_R/V_{bi}\right)^{m}}$

变容二极管结电容随反偏电压变化。指数 m 由结面杂质分布决定：线性缓变结 m=1/3、突变结 m=1/2。压控振荡器与电调谐都依赖它。

指数 $m$ 由结的杂质分布决定：突变结（如合金结、外延结） $m$ =1/2，线性缓变结 $m$ =1/3。用 3.2 节的结果可以验证： $W$ ∝√(V_bi+|V_R|)，而 $C_j$ ∝1/ $W$ ，所以 $m$ =1/2 正是突变结的情形。

为什么必须反偏：只有反偏时耗尽层才是“绝缘”的，器件的等效模型才是一个纯电容；一旦正偏，大量载流子注入使结区导通，电容被一个很小的电阻旁路，变容功能消失。因此变容二极管的使用规则是：始终反偏，且保证不超过击穿电压——为此常在电路中串联一个隔直电容并控制直流反偏量。

5.5 肖特基二极管：没有少数载流子存储

肖特基二极管不是 PN 结，而是金属与半导体接触形成的肖特基势垒。它的势垒高度由金属功函数与半导体电子亲和势之差决定：

$\phi_{Bn}=\varphi_m-\chi_s$

肖特基势垒高度由金属功函数与半导体电子亲和势之差决定。它是多数载流子器件，无少数载流子存储，开启电压约 0.3–0.4 V，反向恢复时间极短。

由于导通依靠多数载流子注入，没有少数载流子的存储与抽出过程，所以它没有反向恢复时间（t_rr 可低至 ps 级）、开启电压也更低（0.3–0.4 V）。代价是反向漏电流较大、击穿电压较低。开关电源的续流二极管、高频整流几乎都选它，而高压整流仍用 PN 结。

5.6 五类器件对照

器件	工作区	关键参数	电路条件	典型应用
整流二极管	正偏导通 / 反偏阻断	V_F、I_F、V_RRM、t_rr	串联负载，反压不超限	整流、续流、保护
稳压二极管	反向击穿	V_Z、I_ZK、I_ZM、r_z	必须串联限流电阻	基准电压、钳位、过压保护
发光二极管	正偏导通（复合发光）	V_F、I_F、λ、光通量	必须限流或恒流驱动	指示、照明、显示
光电二极管	反偏（光导）或零偏（光伏）	响应度、暗电流、结电容	光导需反偏并接负载电阻	光检测、遥控接收、光通信
太阳电池	零偏 / 正偏（光伏）	I_sc、V_oc、填充因子	直接接负载，需 MPPT	发电
变容二极管	反向偏置（不击穿）	C_j0、C_max/C_min、Q	必须反偏，需隔直	电调谐、压控振荡、锁相环
肖特基二极管	正偏导通（多数载流子）	V_F（低）、t_rr（极短）	高频场合替代 PN 结	开关电源、高频整流

随堂 7 · 稳压二极管在正常稳压工作时，处于伏安特性的哪一段？ A. 正向导通区，靠 0.7 V 压降稳压 B. 反向击穿区，靠电流大范围变化时电压基本不变 C. 反向截止区，靠漏电流很小来稳压 D. 零偏附近，靠内建电势稳压文末解析 ↗

随堂 8 · 两只标称分别为 3.3 V 与 15 V 的稳压管，哪一个更可能靠雪崩击穿工作？它的温度系数是什么符号？ A. 3.3 V 的那只，负温度系数 B. 15 V 的那只，负温度系数 C. 15 V 的那只，正温度系数 D. 两只都是雪崩，温度系数都为正文末解析 ↗

06 / THINK DEEPER

深度思考：把“为什么”问到恰当的位置

这里的目的不是用宏大名词结束问题，而是区分：物理必然、模型推论、工程约定，以及仍然可以追问的前提。

6.1 内建电势是真实的电势差，为什么电压表测不到？

先想：内建电势有 0.7 V 左右，与一节干电池同量级。既然它真实存在，为什么用铜表笔接在 PN 结两端，读数是 0 V？

再问：如果测不到，那它在公式里出现的意义是什么？是不是一个不存在的虚构量？

沿“费米能级对齐 → 接触电势 → 测量回路”继续

关键在于任何一个测量回路都是闭合的：铜表笔—P 型—N 型—铜表笔。在热平衡下，整个回路中每一处接触都必须让费米能级对齐，否则电子会自发流动直到对齐为止。金属与半导体接触处也会形成自己的接触电势，其大小恰好补偿半导体内部的内建电势。

PN 结内部：能带弯曲，产生 V_bi。
铜—P 接触处：产生一个反向接触电势，抵消一部分。
N—铜接触处：产生另一个反向接触电势，抵消剩余部分。

三者总和为零，因此电压表读到 0 V。这不是“表不准”，而是热力学第二定律的必然结果：如果你能从一个处于热平衡的孤立结上取出一个净电压来做功，就得到了一个不消耗任何能量的永动机。

那内建电势还有什么用？它是一个内部的势垒描述量，决定了耗尽层宽度、结电容、以及击穿电压的量级。它是模型内部的一个量，不是端口上的一个可直接取用的电压。要测量它，必须用非平衡的方法，例如测量结电容随反偏的变化（C–V 法）反推，或测光电流的开启——这正是半导体参数测试仪的原理。

仍然可问：那“用万用表二极管档测二极管，读数约 0.7 V”测的是什么？测的是在万用表内部提供的测试电流下的正向压降，不是内建电势。两者数值接近是巧合（都源于禁带尺度），但它们是完全不同的量：内建电势与掺杂和 n_i 有关，正向压降与电流和温度有关。

6.2 “0.7 V”是物理定律，还是工程约定？

先想：为什么几乎每本教材都说硅二极管压降 0.7 V，而 datasheet 上的曲线看起来根本不是一条竖线？

从“对数关系”拆开这个数字

“0.7 V”来自指数模型在特定条件下的取值。由 $V_D$ ≈ηV_T·ln(I_D/ $I_S$ ) 可知：

它依赖电流。电流每变十倍，电压变 ηV_Tln10≈60 mV。从 1 mA 到 1 A 要变三个十倍，电压从 0.66 V 升到约 0.84 V。
它依赖温度。恒流下每升高 1 °C 电压降约 2 mV。从 25 °C 到 125 °C，同电流下 0.7 V 会变成约 0.5 V。
它依赖器件。大功率整流管的结面积大、少子寿命长，同一电流下压降可能差 0.1 V 以上；锗管只有 0.2–0.3 V。

所以 0.7 V 是一个在毫安量级、室温、小信号硅器件条件下的代表值。它的价值是让“导通/截止”的判断和粗算变得容易，代价是把一个对数关系压成了一个常数。

什么时候不能用：当电路精度要求接近或小于 60 mV 时（例如用二极管做基准、做精密整流、做对数放大），或者工作电流远离毫安量级时，或者温度跨度很大时。这三种情况下，恒压降模型给出的答案会产生系统性偏差。

仍然可问：既然温度会让压降以 −2 mV/K 漂移，能不能利用这一点？可以，而且很常见：把两个不同电流密度的结配对，它们的 −2 mV/K 之差正比于绝对温度，这就是带隙基准源与集成温度传感器的核心思想——把“麻烦的温度漂移”变成“可用的温度信号”。

6.3 齐纳击穿与雪崩击穿：名字掩盖了两种不同的物理

先想：很多资料把“齐纳二极管”当成“反向击穿二极管”的同义词。如果击穿有齐纳和雪崩两种机制，那把 15 V 的器件叫“齐纳二极管”是不是一种误称？

拆开两种机制与它们的温度系数

两种机制都会让反向电流急剧上升，但物理过程完全不同：

齐纳击穿（隧穿）。发生在重掺杂、耗尽层很窄的结上（通常 <5 V）。电场强到使价带电子能直接“穿越”禁带进入导带——这是量子隧穿，不需要载流子先被加速。温度升高时禁带变窄，隧穿更容易，因此击穿电压下降（负温度系数）。
雪崩击穿（碰撞电离）。发生在轻掺杂、耗尽层较宽的结上（通常 >6 V）。载流子在较长的路程中被电场加速，积累足够动能后碰撞电离出新的电子—空穴对，产生连锁倍增。温度升高时晶格振动（声子）增强、载流子平均自由程变短，需要更高的电场才能积累同样动能，因此击穿电压上升（正温度系数）。

为什么名字会混用？因为最早的稳压管（齐纳提出的原理）击穿电压较低，确实属于隧穿类型；后来人们发现所有高于约 6 V 的稳压管实际都是雪崩击穿，但“齐纳二极管”这个名字已经固化下来。工程上把它当作一个总称使用，不区分机制。

为什么温度系数重要？因为稳压管的精度直接受影响。5.1 V 附近的器件两种机制共存，温度系数最小（约 ±0.0002%/°C）；3.3 V 与 15 V 的器件温度系数都在 0.05–0.1%/°C 量级，符号相反。若要低温度漂移的基准，要么选 5–6 V 附近的器件，要么把正负温度系数的两个结串联补偿。

仍然可问：“击穿电压越高越危险吗？”恰恰相反。雪崩击穿是正温度系数的，局部电流增大→局部温度升高→击穿电压升高→电流自动转移，因此大功率稳压管常靠雪崩机制而不是隧穿机制，以改善电流均匀性。这是一个“温度系数符号决定可靠性”的反直觉例子。

6.4 LED 必须限流，白炽灯为什么不用？

先想：把一只白炽灯直接接到额定电压上，它正常工作；把一只 LED 直接接到同样的电压上，它会烧掉。两者都靠电流发热/发光，差别在哪？

从“电压—电流特性”的形状看差别

差别在伏安特性的斜率。

白炽灯（电阻性负载）。灯丝是纯电阻，I≈V/R。电压略微升高，电流按比例升高，而且金属电阻率随温度上升而增大，形成强负反馈：电流增大→温度升高→电阻增大→电流回落。因此它有自限流能力，直接接电压源是安全的。
LED（指数性负载）。由肖克莱方程，电流随电压指数上升。在 20 mA 附近，电压变化 60 mV 会让电流变化十倍。多余的电压不会“被器件吸收”，而是全部变成电流。因此电压源直接驱动时，微小电压误差就会导致电流失控。

串一个电阻为什么就安全？因为电阻把“电压源驱动”变成了“近似电流源驱动”。电阻上的压降 = V_S−V_F，而 V_F 几乎不变，于是电流 ≈ (V_S−V_F)/R，主要由电阻和电源决定，几乎不依赖 LED 的指数细节。这就是典例 5 里“±0.2 V 的 V_F 离散只带来 ±7% 电流变化”的原因。

但电阻不是万能的：它把多余的功率全部变成热，效率低；而且当电源电压远高于 V_F 时（例如 24 V 驱动 2 V 的 LED），90% 以上的功率都耗在电阻上。大功率照明因此改用开关型恒流驱动。

仍然可问：既然 LED 对电压敏感、对电流不敏感，为什么 datasheet 给的是“额定电流 20 mA”而不是“额定电压 2.0 V”？因为电流才是决定光输出与寿命的量，而“2.0 V”只是一个在 20 mA 下的观测值，不同批次差异可能有 ±0.2 V。这也是设计者应当“按电流设计、按电压留裕量”的原因。

6.5 变容二极管为什么必须反偏？

先想：PN 结的电容既然等于 ε_sA/W，而 W 随电压变化，那么无论正偏还是反偏，只要改变电压就能改变电容，为什么实际电路都要求反偏？

从“等效电路的组成”看这个约束

耗尽层像一个平板电容，但它的两侧还有中性区，而且正偏时会注入大量载流子。等效电路里，电容并不是孤立的，它总与一个电阻并联：

反偏时耗尽层内可动载流子极少，并联电阻极大（兆欧以上），器件近似为一个纯电容。Q 值高，适合做调谐元件。
正偏时载流子被大量注入，结区变成低阻通路，这个电阻可能只有几欧到几十欧，直接把电容短路掉。此时无论 W 怎样变化，器件的容性行为都被电阻性行为淹没。

所以“必须反偏”不是因为正偏时电容不变（理论上 W 变小、C 变大），而是因为正偏时器件不再表现为电容。这是一条从等效电路推出的适用条件，不是定义上的强制规定。

实际电路的实现：为了既保证反偏又能传递调谐电压，通常在变容管上叠加一个固定的直流反偏，再用一个隔直电容把交流信号耦合进来、把直流挡在外面。这样信号看到的是电容，偏置网络控制的是电容值。“必须反偏”在电路上就落实为“必须隔直、必须保证直流工作点”。

仍然可问：变容管的电容变化范围有限（典型 C_max/C_min ≈ 2–3），而频率正比于 1/√C，所以单只变容管只能覆盖约 1.4–1.7 倍的频率范围。宽范围调谐需要切换多只电容或用开关电容阵列——这也是为什么 VCO 的带宽往往比变容管的电容比大得多。

6.6 光电二极管：光伏模式与光导模式，该选哪个？

先想：同一只光电二极管，光伏模式下输出电流与电压都随光强变化，光导模式下输出电流与光强成正比。既然光伏模式“免费”输出电压，为什么不都用它？

从“线性度、速度、噪声”三个指标比较

两种模式的本质区别是有没有外加偏压：

光伏模式（零偏）。没有外加电场，载流子靠内建电场分离。优点是暗电流极小、噪声低、不消耗功率（甚至输出功率）。缺点是结电容较大（耗尽层最窄）、RC 时间常数大，响应速度慢；且输出电流受负载电压影响，线性度依赖负载条件。
光导模式（反偏）。外加反偏使耗尽层展宽，结电容减小、电场增强，载流子漂移速度更快、收集效率更高。优点是响应快、线性好、动态范围大。缺点是有较大的暗电流（随反偏和温度上升），引入散粒噪声与直流偏置。

选择原则：需要精确测量光强、要求低噪声或能量收集（如照度计、光谱仪、太阳电池）→ 光伏模式；需要高带宽、快速响应（如光通信接收、激光测距）→ 光导模式。

一个容易被忽略的量化点：速度不只看结电容。光导模式下 RC 时间常数由结电容与负载电阻的乘积决定，减小负载电阻能提高带宽，但会降低响应度（输出电压变小）。因此高速探测器的设计本质上是带宽、响应度、噪声三者的权衡，与运放里“增益—带宽—噪声”的取舍结构完全同构。

仍然可问：为什么太阳电池的效率会有理论上限（Shockley–Queisser 极限约 33%）？因为禁带宽度同时约束了两件事：太小则光子能量大量变成热、开路电压低；太大则吸收不了低能光子、短路电流小。这个“两头都受约束”的结构，与稳压管温度系数在 5–6 V 处取极值、变容管电容比有限，是同一类“被一个参数同时约束两个相反趋势”的问题。

07 / PRACTICE

课后习题：会算，也要说得清条件

12 题，建议先完成 H01–H08；H09–H12 用于方法进阶与研究型讨论。以下不展示答案，参考解答统一放在最后。

难度：基础＝巩固定义与量级；综合＝组织模型与多步核算；进阶＝边界、反例或跨学科思考。除特别说明外取硅材料、300 K（ $kT/q$ = $25.85\ \mathrm{mV}$ ）、n_i=1.5×10¹⁰ cm⁻³、E_g=1.12 eV、相对介电常数 11.7。开放题按论证质量判断，不设置唯一立场。

概念 / 基础 · H01

判断下面四句话，并逐条说明依据（注意区分“物理必然”“模型推论”与“工程约定”）：① 本征半导体中电子浓度与空穴浓度相等；② N 型半导体整体带负电，因此可以吸引正电荷；③ 掺杂浓度越高，少数载流子浓度越低；④ 反向饱和电流的大小与外加反偏电压无关。

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计算 / 基础 · H02

某 P 型硅在 300 K 下掺硼，N_A=10¹⁷ cm⁻³。求电子浓度、空穴浓度，以及费米能级相对本征能级的位置。

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计算 / 基础 · H03

某硅 PN 结在 300 K 下 N_A=10¹⁸ cm⁻³、N_D=10¹⁶ cm⁻³。求内建电势 V_bi，并与“典型硅结 0.7 V”的说法比较。

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计算 / 综合 · H04

沿用 H03 的掺杂（N_A=10¹⁸、N_D=10¹⁶ cm⁻³，V_bi 取 H03 结果）。求零偏下：① 耗尽层总宽度 W；② 两侧宽度 x_p、x_n；③ 电场峰值 E_max。并说明为什么耗尽层主要落在 N 区一侧。

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计算 / 基础 · H05

某硅二极管在 300 K 下 $I_S$ =2.5×10⁻¹⁵ A、η=1。用肖克莱方程求 V_D=0.60 V 与 V_D=0.65 V 时的正向电流，并说明两者的比值是否等于 e^0.05/V_T。

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计算 / 综合 · H06

某硅二极管在 25 °C（298 K）下、1 mA 时的正向压降为 0.70 V，其压降温度系数约为 −2 mV/K。估算该二极管在 75 °C 与 −25 °C 下、同一电流时的正向压降。并说明为什么温度系数是负的。

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设计 / 综合 · H07

设计一个 9.1 V 稳压电路：稳压管参数 V_Z=9.1 V @ I_ZT=28 mA、r_z=5 Ω、I_ZK=0.5 mA、I_ZM=100 mA；输入电压 15 V ±10%（13.5–16.5 V），负载 R_L=1 kΩ。① 选定串联电阻 R（从 220/330/470 Ω 中选）；② 核验 I_Z 在全部工况下是否落在允许范围；③ 核算稳压管与电阻的最大功耗。

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设计 / 综合 · H08

用 9 V 电源驱动一只绿色 LED（发光峰值 525 nm，V_F=3.2 V @ I_F=15 mA）。① 求限流电阻并选标准值；② 核算电阻与 LED 的功耗；③ 若电源升到 12 V 而不改电阻，电流变成多少？这个电流安全吗？

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计算 / 综合 · H09

① 某 LED 的发光峰值波长为 590 nm，求对应光子能量（eV）；② 若改用禁带宽度 3.4 eV 的 GaN 材料，发光波长是多少（nm）？它属于哪个波段？③ 为什么用硅（E_g=1.12 eV）做不出可见光 LED？

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计算 / 综合 · H10

某变容二极管零偏电容 $C_{j0}$ =30 pF、 $V_{bi}$ =0.75 V、指数 $m$ =1/2。求反偏 1 V 与 4 V 时的结电容，以及从 0 V 到 −4 V 的电容比和频率调谐范围（f∝1/√C）。

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计算 / 进阶 · H11

某硅太阳电池在 300 K 下短路电流 100 mA、反向饱和电流 $I_S$ =1×10⁻⁹ A。① 求开路电压 V_oc；② 若光强加倍（等效 I_L=200 mA），V_oc 增加多少？③ 由这个结果说明为什么最大功率点跟踪（MPPT）是必要的。

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研究型开放题 / 进阶 · H12

用二极管做温度传感器是一个经典方案。请回答：① 它的物理原理是什么，灵敏度约多少 mV/K？② 为什么必须用恒流驱动而不能用恒压驱动？③ 若要同时得到一个“几乎与温度无关”的电压基准，怎样用两个 PN 结实现？请给出思路与关键公式，并说明该方案的适用边界。开放题不设唯一答案，按论证质量评分。

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08 / FURTHER READING

延伸阅读与适用范围

正文为独立组织的教学推导。下列资料提供对应概念的进一步阅读，不要求初学者一次读完；教材类只列书目，链接类给出可访问的官方入口。

教材与手册（无链接，按需查阅）

童诗白、华成英《模拟电子技术基础》（高等教育出版社）：中文主线教材，器件与单元电路最完整，第 1 章对应本册第 02–05 节。
A. Sedra, K. Smith, Microelectronic Circuits：第 3 章（二极管）与第 4 章（场效应管）衔接，对模型选择与运算放大器输入级有系统论述。
S. M. Sze, K. K. Ng, Physics of Semiconductor Devices：器件物理的权威参考；内建电势、耗尽层、击穿机制与结电容的严格推导都在第 2 章。本册“只看结论”的部分，在这里能找到完整推导。
B. Razavi, Fundamentals of Microelectronics：从二极管到放大器的完整链路，对“模型精度与电路条件的关系”处理得很清楚。
D. A. Neamen, Semiconductor Physics and Devices：本科半导体物理标准教材，本征载流子浓度、费米能级与输运机制的推导比本册详细得多。

可访问的在线资料

MIT OpenCourseWare 6.002 · Circuits and Electronics：从集总电路抽象到放大器与一、二阶动态网络，含完整视频与讲义，可用于补齐电路分析基础。
All About Circuits · Semiconductors 教科书：第 2 章“固态器件理论”含 The P-N Junction 与 Junction Diodes 两节，第 3 章专讲二极管与整流器，并有 Zener Diode、Special-purpose Diodes 等小节，层次与本册第 03–05 节对应。
Electronics Tutorials · Semiconductor Basics & Diode 系列：以“半导体基础 → PN 结理论 → 结二极管 → 稳压管 → LED → 肖特基 → 光电二极管”的顺序组织，图示丰富，适合作为阅读本册时的并行参考。
Encyclopaedia Britannica · p-n junction 与 semiconductor device：从能带、共价键与掺杂讲到整流的物理图像；其中给出硅的电子迁移率 1500 cm²/(V·s)、空穴迁移率 500 cm²/(V·s) 等可直接引用的数值。

资料链接核对日期：2026-09-15。正文与交互实验完全离线，不需要网络；只有主动点击参考链接时才会访问外部网站。所有实验都是理想模型：未模拟实际器件的体电阻与串联电阻、击穿后的热效应、表面漏电、寄生参数与测量噪声。数值题中的器件参数取典型值，不对应任何具体型号。

09 / ANSWER KEY

统一答案与反思

先回看自己写下的推理，再展开对应答案。错在条件、模型前提或单位换算上，比一次算术失误更值得记录。

随堂 1 · C

禁带宽度 $E_g$ 确实随温度变化，但每升高 1 K 只减小约 2.7×10⁻⁴ eV，20 K 的变化不到 0.6%，是缓变。迁移率随温度大致按 T^−3/2 下降（晶格散射增强），也是缓变。硅原子密度受热膨胀影响极小。真正剧烈变化的是 n_i：它含因子 e^−E_g/2kT，温度出现在指数里，20 K 的变化就让它增大到 2.1 倍。凡是“温度在指数项里”的量，温度敏感性都要另眼看待——这是半导体区别于金属的根本特点。

随堂 2 · B

由质量作用定律 n·p=n_i²，且 N 型多子 n≈N_D=10¹⁷ cm⁻³：

p = n_i²/N_D = (1.5×10¹⁰)²/10¹⁷ = 2.25×10²⁰/10¹⁷ = 2.25×10³ cm⁻³

A 错在把“整体电中性”误推为“两种载流子浓度相等”；C 错在把少子浓度当成与掺杂无关（掺杂恰恰通过质量作用定律压低少子）；D 错在热平衡下的 n、p 由掺杂与温度决定，与外加电压无关（有外加电压时器件已不再处于单一热平衡态，但少子浓度仍主要由掺杂决定）。

随堂 3 · D

测量回路是铜—P 型—N 型—铜的闭合回路。热平衡下整个回路中费米能级必须处处对齐，因此两个金属—半导体接触处各自产生的接触电势，恰好把 PN 结内部的内建电势抵消掉，净读数为 0 V。这不是仪表精度问题，而是热力学要求：若能测出一个净电压并取出能量，就等于得到一台不消耗能量的永动机。想测内建电势要用非平衡方法，例如测结电容随反偏电压的变化（C–V 法）反推。C 选项的“−0.7 V”是把内建电场方向与端电压混淆了。

随堂 4 · B

正偏时外加电压的方向与内建电场相反，削弱了势垒：势垒由 V_bi 降到 V_bi−V_A，耗尽层宽度按 $W$ ∝√(V_bi−V_A) 变窄，多数载流子的扩散被“助推”，电流指数上升。反过来，反偏时势垒升高到 V_bi+|V_A|、耗尽层变宽。C、D 都把宽度与势垒方向的对应关系弄反或忽略了。

随堂 5 · C

反偏时多数载流子被势垒挡住，能穿过结的只有靠热激发产生的少数载流子，因此 $I_S$ 由少子的扩散（与掺杂浓度、n_i、少子扩散系数有关）决定。它几乎不随反偏电压变化——这正是“反向饱和”一词的来源（A 错）。由于 n_i 对温度是指数函数， $I_S$ 随温度急剧上升（C 对）。B 选项的错误在于：多子数量虽多，但被势垒整体挡住，对 $I_S$ 没有贡献。D 与电流机制无关。

随堂 6 · C

由 $V_D$ ≈ηV_T·ln(I_D/ $I_S$ )，电压是电流的对数函数，所以电流加倍时：

ΔV_D = ηV_T·ln2 = 0.02585 × 0.693 ≈ 0.0179 V ≈ 18 mV

A 把压降当常数，忽略了它的电流依赖；B 把它当线性关系（若真线性，加倍才翻倍，且量级远超实际）；D 混淆了“加倍”与“十倍”——十倍才是 60 mV，加倍只对应 18 mV。这道题的意义在于：同一个错误的“0.7 V”直觉，会在“估算”与“精密设计”两种场合分别表现为无害和有害。

随堂 7 · B

稳压二极管故意工作在反向击穿区：此时反向电流在很大范围内变化而电压几乎钉在 V_Z 附近，正好满足稳压需要。A 把稳压管当成普通正向导通的二极管，此时压降同样是随电流与温度变化的，不能稳压；C 描述的是反向截止区，那里电流极小且电压随外加电压变化，也无法稳压；D 与稳压无关。要注意击穿是可逆的，只要外部电阻把电流限制在 I_ZK–I_ZM 之间，器件不会损坏。

随堂 8 · C

齐纳（隧穿）击穿发生在重掺杂、耗尽层很窄的结上，击穿电压较低（约 <5 V）；雪崩（碰撞电离）击穿发生在轻掺杂、耗尽层较宽的结上，击穿电压较高（约 >6 V）。所以 15 V 的那只工作在雪崩机制。温度升高时晶格振动增强、载流子平均自由程变短，需要更高的电场才能积累到电离所需的动能，因此雪崩击穿的电压随温度上升，即正温度系数。A、B 弄错了符号，D 错在两只不会都是雪崩。

H01 · 概念 / 基础

① 正确（物理必然）：本征激发成对产生电子—空穴，热平衡下两者浓度相等，都等于 n_i。

② 错误：N 型半导体整体仍是电中性的。掺入的施主原子电离后，每个提供 1 个自由电子（可动、带负电）和 1 个施主离子（固定在晶格上、带正电），两者电荷量恰好相等。材料内部既没有净电荷，也不能像带电体那样吸引外部电荷。“N 型”只指明可动载流子的主要种类。

③ 正确（模型推论）：由 n·p=n_i²，掺杂越重多子越多，少子必然越少。注意这是“模型推论”而不是独立物理定律——它的前提是热平衡；器件在大注入（如强光照、大正偏）下，这个关系会被破坏。

④ 正确，但有前提（工程近似）：在击穿之前的整个反偏范围内，I_D≈−I_S，与反偏大小几乎无关。前提是反偏尚未接近击穿电压；一旦进入击穿区，电流会急剧增大，这句话不再成立。另外严格地说，反向电流会随反偏略微增加（耗尽层变宽、产生电流略增）。

H02 · 计算 / 基础

受主全部电离，空穴浓度 p≈N_A=10¹⁷ cm⁻³。由质量作用定律：

n = n_i²/N_A = 2.25×10²⁰/10¹⁷ = 2.25×10³ cm⁻³

费米能级本征能级下方：

E_i−E_F = kT·ln(p/n_i) = 0.02585 × ln(10¹⁷/1.5×10¹⁰) = 0.02585 × ln(6.67×10⁶) ≈ 0.02585 × 15.71 ≈ 0.406 eV

易错点：符号与方向。N 型 $E_F$ 上移，P 型 $E_F$ 下移，所以这里写 E_i−E_F（正数）而不是反过来。

H03 · 计算 / 基础

N_AN_D/n_i² = (10¹⁸×10¹⁶)/(1.5×10¹⁰)² = 10³⁴/2.25×10²⁰ = 4.44×10¹³

V_bi = 0.02585 × ln(4.44×10¹³) = 0.02585 × 31.42 ≈ 0.812 V

与“典型硅结 0.7 V”比较：0.81 V 略高，因为这里的掺杂比典型值更重（N_A=10¹⁸）。V_bi 随掺杂浓度对数增长——掺杂提高四个数量级，V_bi 只增加约 0.12 V。这说明内建电势的量级由禁带宽度锁定，掺杂只能在有限范围内调整，这与“正向压降 0.7 V 由器件决定”的直觉部分一致。

H04 · 计算 / 综合

① 常数准备： $\varepsilon_s$ =11.7×8.854×10⁻¹⁴=1.036×10⁻¹² F/cm，故 2 $\varepsilon_s$ /q=2×1.036×10⁻¹²/1.602×10⁻¹⁹=1.293×10⁷。又 1/N_A+1/N_D=10⁻¹⁸+10⁻¹⁶=1.01×10⁻¹⁶ cm³。

② 总宽度：

W = √(1.293×10⁷ × 1.01×10⁻¹⁶ × 0.812) = √(1.06×10⁻⁹) ≈ 3.26×10⁻⁵ cm ≈ 0.326 µm

③ 两侧分配：

x_n = W·N_A/(N_A+N_D) = 0.326 × 0.990 ≈ 0.323 µm

x_p = W·N_D/(N_A+N_D) = 0.326 × 0.0099 ≈ 3.2 nm

④ 电场峰值：

E_max = 2V_bi/W = 2×0.812/(3.26×10⁻⁵ cm) ≈ 4.99×10⁴ V/cm

为什么偏向 N 区：两侧空间电荷总量必须相等，即 q·N_A·x_p=q·N_D·x_n，于是 x_n/x_p=N_A/N_D=100。掺杂轻的一侧必须用更宽的宽度来补足同样的电荷量。这是电中性条件的直接推论，不是材料性质。

H05 · 计算 / 基础

V_D=0.60 V：

I = 2.5×10⁻¹⁵ × (e^0.60/0.02585 − 1) = 2.5×10⁻¹⁵ × e^23.21 ≈ 2.5×10⁻¹⁵ × 1.20×10¹⁰ ≈ 3.0×10⁻⁵ A = 30 µA

V_D=0.65 V：

I = 2.5×10⁻¹⁵ × e^25.14 ≈ 2.5×10⁻¹⁵ × 8.31×10¹⁰ ≈ 2.08×10⁻⁴ A ≈ 208 µA

比值：208/30≈6.9，而 e^0.05/0.02585=e^1.934≈6.92，两者一致（因为两点的“−1”项都可忽略）。结论：正向电压小幅变化就带来电流的大幅变化——50 mV 的电压变化让电流变成 6.9 倍，这正是二极管对电压敏感、必须限流的原因。

H06 · 计算 / 综合

75 °C：ΔT=+50 K，ΔV=−2×50=−100 mV，故 V_D≈0.70−0.10=0.60 V。

−25 °C：ΔT=−50 K，ΔV=+100 mV，故 V_D≈0.70+0.10=0.80 V。

为什么温度系数为负：由 $V_D$ =ηV_T·ln(I_D/ $I_S$ )，温度升高时 $I_S$ 按 e^−E_g/kT 急剧增大（指数项主导），于是 ln(I_D/I_S) 减小，尽管 V_T=kT/q 也增大，两者竞争的结果是 V_D 下降。物理图像是：温度升高使更多电子有能力越过势垒，同样的电流只需要更小的外加电压。

工程含义：用两个 P/N 结配对（电流密度不同）可以得到 −2 mV/K 的稳定灵敏度，这就是集成温度传感器；而如果用它做电压基准，这 2 mV/K 就必须被补偿掉。

H07 · 设计 / 综合

① 选 R：负载电流 I_L=V_Z/R_L=9.1/1000=9.1 mA（与输入电压无关）。先看最低输入点 13.5 V：若取 R=330 Ω，则 I_R=(13.5−9.1)/330=13.3 mA，I_Z=13.3−9.1=4.2 mA，离膝点电流 0.5 mA 有余量，可行。若取 R=470 Ω，则 I_R=(13.5−9.1)/470=9.36 mA，I_Z=0.26 mA<0.5 mA，失效；若取 220 Ω，虽更安全但功耗偏大。故选 R=330 Ω。

② 验电流范围：

V_S=13.5 V：I_Z=13.3−9.1=4.2 mA ✓（>0.5 mA）

V_S=16.5 V：I_R=(16.5−9.1)/330=22.4 mA，I_Z=22.4−9.1=13.3 mA ✓（<100 mA）

全部工况下 I_Z 在 4.2–13.3 mA 之间，落在 [0.5, 100] mA 内，设计成立。

③ 功耗（取最坏工况）：

稳压管：P_Z = 9.1 × 13.3 mA ≈ 121 mW

串联电阻：P_R = (16.5−9.1) × 22.4 mA = 7.4 × 22.4 mA ≈ 166 mW

电阻功耗略低于 1/4 W，但已接近一半，建议留裕量选 0.5 W。输出纹波：ΔV_out=r_z·ΔI_Z=5 Ω×(13.3−4.2)mA≈46 mV，约 0.5%。

H08 · 设计 / 综合

① 限流电阻：R=(V_S−V_F)/I_F=(9−3.2)/0.015=5.8/0.015=387 Ω。取标准值 390 Ω，实际电流 I=(9−3.2)/390≈14.9 mA，略低于 15 mA 目标，安全。

② 功耗：P_LED=3.2×14.9 mA≈48 mW；P_R=(9−3.2)×14.9 mA=5.8×14.9 mA≈86 mW，选 1/4 W 电阻即可。

③ 电源升到 12 V：I=(12−3.2)/390=8.8/390≈22.6 mA。是设计值的 1.5 倍，虽然尚未超过多数 5 mm LED 的 30 mA 上限，但已明显偏大，长期运行会缩短寿命、降低光衰一致性。结论：限流电阻必须按最高电源电压核算，而不是按标称值。

顺便验证 H09 的波长关系：525 nm 对应 E_g=1240/525≈2.36 eV，而实测 V_F=3.2 V 高出约 0.8 V——这符合“窄禁带近似好、宽禁带偏差大”的规律，不要把 V_F=E_g/q 当成精确等式。

H09 · 计算 / 综合

① E_ph=hc/λ=1240/590≈2.10 eV（黄绿光）。

② λ≈1240/3.4≈365 nm，属于紫外波段（近紫外）。这也说明 GaN 系材料可以做到蓝光与紫外，而波长越短、光子能量越高，正向压降也越高。

③ 硅是间接带隙半导体：导带底与价带顶在动量空间中不重合，电子复合时必须同时发射（或吸收）声子来满足动量守恒，发光效率极低，大部分能量变成热。因此硅不能做发光器件——但它几乎完美的光吸收特性使其成为光电二极管与太阳电池的首选材料。“直接/间接带隙”决定了一个材料适合作发光还是适合做探测。

H10 · 计算 / 综合

由 $C_j$ = $C_{j0}$ /(1−V_R/V_bi)^m，注意反偏时 V_R 取负值，故 1−V_R/V_bi=1+|V_R|/V_bi：

V_R=−1 V：C_j = 30/(1+1/0.75)^1/2 = 30/1.528 ≈ 19.6 pF

V_R=−4 V：C_j = 30/(1+4/0.75)^1/2 = 30/2.517 ≈ 11.9 pF

电容比：C(0)/C(−4)=30/11.9≈2.52。

频率调谐范围：f∝1/√C，故 f_max/f_min=√2.52≈1.59。也就是说这只变容管在 0 到 −4 V 的调谐范围内，只能把振荡频率调高约 59%。宽范围调谐需要切换多只电容或使用开关电容阵列。

易错点：把 (1−V_R/V_bi) 中的 V_R 代成正数，会得到 1−1/0.75=−0.33，出现负数而无法开方。反偏的符号约定必须写清楚。

H11 · 计算 / 进阶

① 开路电压：开路时 I_D=0，由 $V_{oc}$ = $V_T$ ·ln( $I_L$ / $I_S$ +1)：

V_oc = 0.02585 × ln(0.1/10⁻⁹ + 1) = 0.02585 × ln(10⁸) ≈ 0.02585 × 18.42 ≈ 0.476 V

② 光强加倍：I_L=200 mA，V_oc=0.02585×ln(2×10⁸)=0.02585×19.11≈0.494 V，增加约 17.9 mV。

这个 18 mV 恰好等于 V_T·ln2——与二极管正向压降“电流加倍升 18 mV”是同一个对数规律，因为两者都出自同一个方程。

③ 为什么需要 MPPT：短路电流正比于光强（线性、变化大），而开路电压只随光强对数增长（变化很小）。器件输出功率是两者的乘积，因此存在一个最佳工作点：电流太小时功率小，电压被拉低时功率也小。光照和温度变化会让这个最佳点移动，所以必须用 MPPT 电路实时追踪，才能始终取到最大功率。“同一器件不能同时给出最大电流与最大电压”，这就是 MPPT 存在的全部理由。

H12 · 研究型开放题 / 进阶（评分依据）

开放题不设唯一答案。参考评分依据如下，三问都答到即为合格：

原理与灵敏度（物理层面）：在恒定电流下，二极管正向压降随温度近似线性下降，硅器件约 −2 mV/K（−1.7～−2.4 mV/K 都算合理）。应说明这来自 $I_S$ 随温度按 n_i²（或产生电流 ∝n_i）上升，与 V_T=kT/q 上升两者竞争的结果，而不是简单背诵“−2 mV/K”。
恒流 vs 恒压（模型层面）：恒压驱动时电流由指数关系决定，I∝e^V/V_T，温度微小变化就让电流成倍变化，输出极不稳定且强非线性；恒流驱动时电流固定，输出是电压随温度的线性函数，灵敏度稳定可标定。这一问的关键是认识到要测量的是“固定电流下的电压”，而不是让器件自由决定电流。
温度无关基准（方法层面）：用两个结面积（或电流密度）之比为 N 的 PN 结，在相同电流下它们的压降之差为 ΔV=V_T·ln(N)。这个差值的温度系数是 (k/q)·ln N，正比于绝对温度（PTAT）。而单个结的压降是 CTAT（随温度下降）。把 PTAT 与 CTAT 按合适权重相加，就得到一阶温度无关的基准——这就是带隙基准源的基本思想。

适用边界要求：答案应指出该方案的局限——需要恒流源、初始精度需要单点校准、压降离散性大（同型号器件 0.6–0.75 V 都可能）、自热误差（电流过大时器件自身发热使读数偏高）、以及长引线的寄生效应。只给出“二极管可以测温”而不讨论这些边界的答案，按未完成处理。