FIELD NOTES / GUIDED EDITION 03

四个端子，
两个端口，一个矩阵。

无源二端口网络 · 引导课堂

一次只解决一个障碍：先判断哪两对端钮能当端口，再把测量条件写成参数。
这里允许猜错，也允许停下来问「这个结论依赖什么前提」。
我想直接做题
6 个短课 · 每课约 12–20 分钟 · 10 个典例与 12 道习题 · 离线可用
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今天，从哪一个卡点开始？

迁移题通过 0 / 6

按顺序学，或直接选卡住的一课。每课可自由切换步骤；「读过」与「做对迁移题」分别记录，不把翻页当作掌握。

01 / 从四个端子到两个端口

四个端子，凭什么只算两个端口？

学完能做到：写出端口条件，并说明四个端口量里为什么只有两个可以独立设定。

先预测

先数一数：能自己定的有几个？

一个固定的线性二端口，你能在外部测到四个端口量：z_{11} 那一侧的 u₁、i₁，另一侧的 u₂、i₂。假设网络内部没有独立源。

这四量中，最多有几个可以由你在外部独立设定？
我卡住了 · 给一点提示

数一数未知量与方程个数：网络内部由基尔霍夫定律和元件关系给出多少个独立的端口方程？

再具体一点

对一个线性、不含独立源的二端口，端口量之间只有两个独立的线性关系；两个方程约束四个未知量，自由度就是 2。

看变化

换一种激励，看谁被决定

左侧图里，两个滑杆是你在外部加的激励。第一种方式把它们当作电流 z_{11} 里的 i₁、i₂；第二种方式把它们当作电压。

你会同时看到两件事：无论用哪一种方式，只要给出两个独立量，另外两个立刻被算出；而这两套结果的比值矩阵互为逆矩阵。

实验用的是固定电阻网络，读数由端口方程直接解出，不是示意曲线。注意端口电压、电流都被限定在线性区：真实电阻会发热、会饱和，但这里的模型是理想线性的。

当 i₁ = i₂ = 0 时，端口电压也全为零。这不是巧合：网络内部没有独立源，所以端口量对激励是齐次的。

搭推导

把观察写成两行方程

① 端口条件。一对端钮能称为一个端口，要求电流成对进出：从一端流入多少，就从另一端流出多少。把两端钮的电流分别记为 i₁ 与 i₁′，则

i_{1'}=-i_1,\qquad i_{2'}=-i_2

这条要求不是记号习惯，而是一个物理约束。端子 1 与 1′ 如果各自接到不同的外部电路，它们的电流不再互为相反数，这对端钮就不再是端口，后面所有参数定义都失去前提。

② 两行方程。网络线性且内部无独立源，端口量满足齐次线性关系。取 i₁、i₂ 为自变量：

\begin{bmatrix}u_1\\ u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\ z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\ i_2\end{bmatrix}

矩阵里的四个数就是网络的参数。它们只由网络内部结构决定，与你在外面加什么激励无关——这正是参数值得被测量的理由。

③ 无源的第一层含义。「无源」在这里不是形容词，而是一条对全部容许端口量都成立的能量不等式：

P_{\mathrm{in}}=u_1i_1+u_2i_2\geq0
要注意方向：无源要求的是所有容许的端口电压电流组合都满足 P≥0。只验证一组激励得到正功率，不能证明网络无源。
做迁移

把约定说清楚

关于端口约定，下面哪一句在二端口模型里是正确的？
写完后，对照解释要点

端口条件把两个端钮的电流绑成一个变量，于是 u、i 各一个，端口才成为「一进一出」的通道。失效场景例如：三个端子共用一个公共端钮时，第三个端钮同时承担两个端口的返回电流，电流不再成对；或者把两个二端口串联时内部节点被外部连线短路。

接下来练什么去做 H01、H02；先写出端口方程，再代数字。打开习题 →
02 / 开路量与短路量的对偶

同一个实验，为什么能测出两个参数？

学完能做到：说清 Z 参数与 Y 参数各自的测量条件，并判断 [Y]=[Z]⁻¹ 何时不成立。

先预测

先猜：一次实验能测几个数？

要测 T 型网络的 z_{11}，办法是把端口 2 断开（i₂ = 0），在端口 1 加一个已知电流，再读端口 1 的电压。现在保持同一个接法不变。

在这同一次实验中，还能同时得到四个 Z 参数中的哪一些？
我卡住了 · 给一点提示

把两个定义式并排放：z₁₁ = u₁/i₁ 与 z₂₁ = u₂/i₁，它们的分母和端口条件相同吗？

再具体一点

分母相同、条件相同，只有分子不同，所以一次实验能同时读出这一列的两个参数。

看变化

开路与短路是对偶的一对

切换测量方式，并拖动三个臂阻抗。开路方式注入 1 A 电流，读到的是电压；短路方式施加 1 V 电压，读到的是电流。

你会看到 \det[Z] 随三臂变化。只要它不为零，短路测量给出的 Y 矩阵就正好是 Z 矩阵的逆；一旦有两臂同时取 0，\det[Z] 归零，短路测量就再也给不出唯一的 Y 参数。

图上的短接线与断口是真实的端口条件：短路时 u₂ = 0，开路时 i₂ = 0。读数由端口方程解出，与图一一对应。

两臂取 0 时，网络退化成一条并联合成阻抗：此时两个端口同时短路，仍有非零电流在其中循环，而端口电压全为零——短路测量的比值就不再有定义。

搭推导

把测量条件写进定义

① Z 参数。把 z_{11}、z_{21} 定义为输出开路时的两个比值，z_{12}、z_{22} 定义为输入开路时的两个比值：

z_{11}=\left.\frac{u_1}{i_1}\right|_{i_2=0},\qquad z_{21}=\left.\frac{u_2}{i_1}\right|_{i_2=0}
z_{12}=\left.\frac{u_1}{i_2}\right|_{i_1=0},\qquad z_{22}=\left.\frac{u_2}{i_2}\right|_{i_1=0}

量纲检查：z₁₁、z₂₂ 是策动点阻抗，z₁₂、z₂₁ 是转移阻抗，四个数的单位都是欧姆（\Omega）。

② Y 参数。把自变量与因变量互换，把「开路」换成「短路」，就得到对偶的定义：

\begin{bmatrix}i_1\\ i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\ y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\ u_2\end{bmatrix}
y_{11}=\left.\frac{i_1}{u_1}\right|_{u_2=0},\qquad y_{21}=\left.\frac{i_2}{u_1}\right|_{u_2=0},\qquad y_{22}=\left.\frac{i_2}{u_2}\right|_{u_1=0}

四个数的单位都是西门子（\mathrm{S}）。

③ 两者互逆。从方程本身看，Y 与 Z 只是同一个线性映射的两种写法，因此

[Y]=[Z]^{-1}\qquad(\det[Z]\neq0)

把逆矩阵展开，就是常用的换算关系：

y_{11}=\frac{z_{22}}{\det[Z]},\qquad y_{12}=y_{21}=-\frac{z_{12}}{\det[Z]},\qquad y_{22}=\frac{z_{11}}{\det[Z]}
条件 \det[Z]\neq0 不能省略。若 \det[Z] = 0，映射 i 到 u 不再是一一对应：存在非零的 (i₁, i₂) 使端口电压全为零。这时 Y 参数按定义不存在，而不是「Y 为零矩阵」。
做迁移

给结论补上前提

某无源二端口的 z₁₁z₂₂ − z₁₂z₂₁ = 0。对它的 Y 参数能说什么？
写完后，对照解释要点

可能。理想变压器的两端电压成比例、两端电流也成比例，输出开路会强迫输入电流为零、输出短路会强迫输入电压为零，两个测量的分母都出现 0/0。它只有传输（T）参数存在，见扩展一节。

接下来练什么去做 H02、H04；先算行列式，再谈求逆。打开习题 →
03 / 四套参数，同一个网络

为什么要有四种参数？

学完能做到：说出每种参数「固定谁、读什么」，并判断哪一套适合级联。

先预测

接入方式决定参数的名字

同样一个网络，用四种方式各测一遍，就得到四套参数。它们的区别只在两件事上：哪一侧加激励，以及另一侧被断开还是被短接。

把很多节相同的网络首尾相接（级联），哪一套参数最方便？
我卡住了 · 给一点提示

级联时，第一节的输出端口就是第二节的输入端口。哪一套参数把一侧的输出量当作自变量？

再具体一点

把右侧的 u₂、−i₂ 当自变量、左侧的 u₁、i₁ 当因变量，第一节的因变量正是第二节的自变量，乘起来即可。

看变化

同一个网络，十六个数

在下拉框里挑一个参数，图会自动换成它对应的测量条件：谁加激励、另一侧开路还是短路。

你会看到三件事：每个参数的数值都能由网络算出来；不同参数的单位不同（欧姆、西门子或无量纲）；输入、输出、正向、反向的位置在记号下标里已写明。

注意反向参数：z₁₂、y₁₂、h₁₂ 描述的是「从输出侧反作用到输入侧」的比例。互易网络里它们与正向参数有确定关系，见短课 04。

四个滑杆可以取 0 Ω，把某条臂短路。这时某些参数会退化：例如把两个并联臂都取 0，输出开路时的比值仍然存在，但转移项会失效。

搭推导

四套方程与一张量纲表

① 混合参数 H。把输入侧的电流与输出侧的电压放在一起作自变量。它在电子器件的小信号模型里最常用，因为输入端看进去是阻抗、输出端看出去是导纳：

\begin{bmatrix}u_1\\ i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\ h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\ u_2\end{bmatrix}
h_{11}=\left.\frac{u_1}{i_1}\right|_{u_2=0},\quad h_{12}=\left.\frac{u_1}{u_2}\right|_{i_1=0},\quad h_{21}=\left.\frac{i_2}{i_1}\right|_{u_2=0},\quad h_{22}=\left.\frac{i_2}{u_2}\right|_{i_1=0}

量纲不齐是这套参数的特点：h₁₁ 是阻抗，h₂₂ 是导纳，h₁₂、h₂₁ 无量纲。

② 传输参数 T。把右侧的 u₂、−i₂ 组合成矩阵，其中 z_{11} 一侧的变量当作因变量：

\begin{bmatrix}u_1\\ i_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\ C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_2\\ -i_2\end{bmatrix}

把 S_{22} 前面的负号写成显式约定，得到的四种参数互换时最不容易出错；有些教材写成 +B，区别只在这一个正方向约定。级联时

[\mathbf T]=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]
\begin{bmatrix}u_1\\ i_1\end{bmatrix}=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]\begin{bmatrix}u_2\\ -i_2\end{bmatrix}

③ 量纲表。把四种参数放在一起，量纲就是检查推导最快的工具：

参数方程四个元素的单位典型场景
Zz_{11} 组的电压 = 系数 × 电流Ω、Ω、Ω、Ω串联连接、理论推导
Y电流 = 系数 × 电压S、S、S、S并联连接、导纳网络
Hu₁ 与 i₂ 作因变量Ω、无量纲、无量纲、S晶体管小信号模型
Tu₁、i₁ 作因变量无量纲、Ω、S、无量纲级联、滤波器与传输线
参数之间可以互相换算，因为它们是同一个线性映射的不同写法。换算时唯一要小心的是约定：T 参数里 S_{22} 或者 i₂ 的正方向各教材写法不同，动手前先看该书的定义式。
做迁移

符号约定不是物理

T 参数方程为什么常写成 u₁ = Au₂ − Bi₂，而不是 +Bi₂？
写完后，对照解释要点

去核对 i₂ 的正方向：是流入待测网络，还是流出网络（即流入负载）。同时核对 u₂ 的正方向与互易恒等式的具体形式，例如 AD − BC = 1 还是 −1。

接下来练什么去做 H03、H04；换算时先写下两套定义式的正方向。打开习题 →
04 / 参数中的冗余从哪来

互易，是被哪一条物理事实保证的？

学完能做到：判断一个网络是否互易、是否对称，并说明「无源」并不能推出「互易」。

先预测

先猜两个转移阻抗的关系

一个只由电阻构成的二端口，内部没有独立源，也没有受控源。左边接一个 1 A 电流源、右边断开，读出的转移阻抗记作 z₂₁；把源搬到右边、左边断开，读出的是 z₁₂。

这两个读数之间的关系是？
我卡住了 · 给一点提示

想一想互易定理说的是什么：把一个激励与一个响应互换位置，比值是否改变？

再具体一点

只由电阻、电容、电感与理想变压器组成的线性网络，其转移函数对调位置后不变，这就是互易。

看变化

加入一个受控源，对称就被打破

把并臂里的受控源系数从 0 慢慢拉大。图上的两个转移阻抗会立刻分开，而整个网络仍然是线性、无源的电阻加受控源结构。

你会同时看到：受控源一动，z₁₂ 与 z₂₁ 的差就等于 \mu，而 z₁₂ 与 z₂₁ 的比值给出 AD − BC。当 \mu=0 时它回到 1，也就是互易网络的特征。

把两臂设成相等（例如都取 10 Ω），网络在结构上左右对称，于是 z₁₁ = z₂₂、A = D。这时的网络既互易又对称。

注意方向：对称一定互易，互易不一定对称。对称要求左右两半的结构对应相同，而互易只要求两个转移系数相等。

搭推导

三个概念，三条独立的判据

① 互易。线性、无源、不含受控源的网络满足互易定理。换到四套参数上，它表现为四个恒等式：

z_{12}=z_{21},\qquad y_{12}=y_{21},\qquad h_{12}=-h_{21},\qquad AD-BC=1

其中 H 参数的这一条最容易被记错：互易给出的是 h₁₂ = −h₂₁（差一个符号），而不是相等。若再要求对称，还会多出一条：

\Delta h=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}=\frac{A}{D}

② 对称。把两个端口对调，网络的行为不变。它是一个几何与元件值的条件，作用在参数上：

z_{11}=z_{22},\qquad y_{11}=y_{22},\qquad A=D

③ 无源。无源说的是能量：

P_{\mathrm{in}}=u_1i_1+u_2i_2\geq0
这三条彼此独立，不能互相推出。受控源会让互易失效（线性但不互易）；回转器会让互易失效，却依然无源无损；理想变压器互易又无源，却不属于任何 RLC 实现。把它们当成三张不同的检查表，而不是一句话。
做迁移

无源不等于互易

某二端口测出 z₁₂ ≠ z₂₁。可以断定它一定含独立源或必须外部供电吗？
写完后，对照解释要点

先测 z₂₁：端口 1 注入 1 A、端口 2 开路，读 u₂；再测 z₁₂：端口 2 注入 1 A、端口 1 开路，读 u₁。两个比值相等即互易。之所以只要两次，是因为「激励换位、响应换位」正是互易定理的表述。

接下来练什么去做 H09、H12；先写判据，再做数值。打开习题 →
05 / 合成与拆分

换成一堆电阻，等价的是什么？

学完能做到：用 T 型或 Π 型等效替换一个互易二端口，并说出等效的适用边界。

先预测

等效，等的是什么？

一个互易二端口可以用三个阻抗接成 T 型（或 Π 型）来代替。所谓代替，是指你在外部只能看到两个端口上的电压和电流。

这个等效对网络内部的电流也成立吗？
我卡住了 · 给一点提示

等效电路是用什么信息构造出来的：内部结构，还是端口的四个参数？

再具体一点

只用四个参数就能写出一模一样的端口方程，因此内部信息被丢掉了。

看变化

相加与相乘，各管一种连接

切换观察对象。级联时看到的是 T 参数的矩阵乘法，串联与并联时看到的是矩阵相加，等效替换时看到的是三臂阻抗。

你会看到级联两节之后的输入阻抗变小、电压比也变小：每多一节，信号就要再被分压一次。而把等效的三臂装回原网络，参数一字不差地回来了——这是一个能自检的往返。

等效替换只在网络互易时可用三个电阻（或复数阻抗）完成。若 z₁₂ ≠ z₂₁，等效电路里必须补上一个受控源，否则端口方程无法复现。

串联与并联的矩阵相加看起来漂亮，但它有一个容易被忽略的前提：连接之后，每个子网络自己的端口条件不能被破坏。

搭推导

三种连接与两种等效

① 级联。把右侧自变量接到下一节，直接乘矩阵：

[\mathbf T]=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]

互易性在乘法下保持：两个互易网络级联后仍然是互易网络，AD-BC=1 依旧成立。

② 串联与并联。串联时电流相同、电压相加；并联时电压相同、电流相加。因此

[Z]=[Z_1]+[Z_2]
[Y]=[Y_1]+[Y_2]

这两条式子成立的前提是两个子网络在连接后仍各自满足端口条件，例如两端没有额外的公共通路把某个端口短路掉。

③ T 型与 Π 型等效。由 Z 参数可以直接读出 T 型三臂，由 Y 参数可以直接读出 Π 型三臂：

Z_1=z_{11}-z_{12},\qquad Z_2=z_{22}-z_{12},\qquad Z_3=z_{12}
Y_1=y_{11}+y_{12},\qquad Y_2=y_{22}+y_{12},\qquad Y_3=-y_{12}

以本课的网络为例，左臂与右臂各 10 Ω、并臂 30 Ω，与原来的 T 型网络完全一致；换算成 Π 型则是两个 70 Ω 并联臂加一个 23.333 Ω 串联臂——两套三臂给出同一个端口方程。

记住等效的边界：它对端口关系成立。用它去推断原网络内部的电流，或者用它去分析内部某个元件上的电压，都会得到错误结果。
做迁移

两个相同的网络级联

把两个相同的二端口级联起来，总的 T 参数是什么？
写完后，对照解释要点

先检查连接后端口条件是否仍成立：是否有公共节点或外部连线使某个子网络的端口电流不再成对进出。若被破坏，要么改接法（例如用变压器隔离），要么老老实实列方程求解。

接下来练什么去做 H05、H06、H07；连接方式先画图再套公式。打开习题 →
06 / 扩展 · 把电容变成电感

一个无源元件，凭什么不互易？

学完能做到：写回转器的端口方程，用它解释「电容变电感」，并区分回转器与负阻抗变换器。

先预测

接一个电容，看到什么？

回转器的端口方程是 i₁ = g·u₂、i₂ = −g·u₁，它是无源无损的。现在在端口 2 接一个 10 nF 的理想电容，从端口 1 看进去。

端口 1 看到的等效元件是什么？
我卡住了 · 给一点提示

先写出电容的阻抗，再代进从端口 1 看进去的关系式，注意 jω 出现在分子还是分母。

再具体一点

1/(jωC) 取倒数后是 jωC，乘上 r² 就是 jω(r²C)，与电感 j\omega L 的形式相同。

看变化

一条会转向的曲线

拖动频率滑杆，同时换负载元件。图上给出从端口 1 看进去的输入阻抗模值随频率的变化曲线，读数与曲线由同一个计算式给出。

接电容时，模值随频率上升，斜率为正，正是电感的特征；接电感时反之，斜率变负，像电容；接电阻时曲线水平，与频率无关。

把负载取开路，端口 1 看到的是短路；把负载短路，端口 1 看到的是开路。回转器把阻抗取倒数（再乘 r²），因此它天然是一个阻抗倒量器。

工程上这件事很重要：集成工艺很难做高感值的电感，却很容易做电容。用回转器把电容「回转」成电感，就能把 LC 滤波器做在芯片上。代价是需要有源器件来构成回转器。

搭推导

三种非普通元件

① 回转器。端口方程与它的参数矩阵：

i_1=g\,u_2,\qquad i_2=-g\,u_1
[Z]=\begin{bmatrix}0&-r\\ r&0\end{bmatrix},\qquad r=\frac1g
[\mathbf T]=\begin{bmatrix}0&r\\ 1/r&0\end{bmatrix}

把两个端口吸收的功率加起来，恒为零，因此它是无损元件：

u_1i_1+u_2i_2=u_1(g\,u_2)+u_2(-g\,u_1)=0

而它的转移阻抗 z₁₂ = −r 与 z₂₁ = +r 不相等，所以它不互易。无源与互易是两条独立的判据，回转器就是活的反例。

从端口 1 看进去，它把负载阻抗取倒数并乘上 r²：

Z_{\mathrm{in}}=\frac{r^2}{Z_L}
Z_L=\frac{1}{j\omega C}\;\Longrightarrow\;Z_{\mathrm{in}}=j\omega r^2C\;\Longrightarrow\;L=r^2C

回转电阻 r = 1 kΩ、电容 C = 10 nF 时，等效电感是 10 mH——用电容做出一个 10 mH 的电感，这是集成滤波器里常见的手法。

② 负阻抗变换器。电流反向型的端口方程取 u₁ = u₂、i₁ = k·i₂：

u_1=u_2,\qquad i_1=k\,i_2
Z_{\mathrm{in}}=\frac{u_1}{i_1}=\frac{u_2}{k\,i_2}=-\frac{Z_L}{k}\qquad(k=1:\;Z_{\mathrm{in}}=-Z_L)

端口吸收的总功率是

u_1i_1+u_2i_2=(k+1)\,u_2i_2

当负载是正电阻时 u₂ 与 i₂ 反号，这个功率为负值——网络向外供出功率。因此 NIC 是有源二端口，必须用运放等有源器件实现；它的 T 参数中 AD − BC = −k，也不互易。用它可以在电路里制造出等效的负电阻、负电容，用来抵消不需要的寄生效应。

③ 理想变压器。它互易又无源，却是 Z、Y 参数都不存在的例子：输出开路会强迫输入电流为零，输出短路会强迫输入电压为零，两个定义式的分母都变成零。它只有 T 参数

\begin{bmatrix}u_1\\ i_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\ C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_2\\ -i_2\end{bmatrix}

形式下写成 A = n、D = 1/n、B = C = 0。这个例子说明参数是否存在，与网络是否「正常」无关，而是定义式的分母会不会退化。

做迁移

哪一个必须接电源？

回转器与负阻抗变换器，哪一个一定需要有源器件才能实现？
写完后，对照解释要点

无源说的是能量：对所有容许的端口量，端口吸收功率不小于零；互易说的是对称性：交换激励与响应位置后比值不变。只无源不互易的例子是回转器；只互易不无源的例子是可以由外部供电的互易放大器网络（有源、互易）。

接下来练什么去做 H10、H11；先写端口方程，再算阻抗变换。打开习题 →
原理查阅册完整定义、适用条件、随堂诊断与扩展窗口；需要时再打开
00 / START WITH A QUESTION

一个黑箱，你能问它多少个问题？

桌上一只金属盒，只露出四个端子。盒子里是若干电阻、电容与电感，也可能有受控源。你只能在外面的端子上加激励、量电压和电流。

情境 A · 端口

四个端子就是两个端口吗？

端口不是「随便挑两个端子」。一对端钮要成为端口，必须满足电流成对进出：从一端流入多少，就从另一端流出多少。若第三个端钮同时承担两个端口的返回电流，电流就不成对，参数定义随之失去前提。

情境 B · 测量

为什么开路与短路是一对好搭档？

断开一侧（电流为零）能读出阻抗，短接一侧（电压为零）能读出导纳。两套参数描述同一个网络，只是在不同的自变量下写的。开路与短路不是「简单粗暴的极端情况」，而是把定义式分母变成可控已知量的关键条件。

三次学习的安排

  1. 第一次：建立参数语言。完成短课 01–03，掌握端口条件、Z 与 Y 的开路短路对偶、四套参数的定义与量纲。
  2. 第二次：判断网络性质。完成短课 04–05 与典例 1–7，学会互易、对称、无源的判据，以及 T 型与 Π 型等效和三种连接。
  3. 第三次：走向应用与边界。完成短课 06、典例 8–10、深度思考与课后题，最后查看统一答案，重写自己的错误解释。

先修：基尔霍夫定律、欧姆定律、线性方程组的行列式与逆矩阵、正弦稳态的复阻抗。矩阵记号在本册随用随讲；不需要预先学过网络理论。

层级标记：主线适合课程考核；方法进阶需要一点矩阵或复频域知识；前沿窗口用于建立与射频、集成滤波器的联系，不作为未讲先考的内容。

01 / MAP

先看清知识的骨架

本册不要求背下四套参数的全部换算公式；要掌握的是「测量条件 → 参数 → 网络性质 → 应用」这条链。

对象 / 概念回答的问题不可越过的边界
端口条件哪两对端钮可以当作端口？电流必须成对进出；共用端钮的三端子网络不是严格意义上的二端口
Z / Y 参数给定电流或电压，另一侧如何响应？两者互为逆矩阵只在 \det[Z]\neq0 时成立
H / T 参数混合描述与级联怎么算？量纲不齐；S_{12} 或 i₂ 的正方向约定必须核对
互易参数中的冗余从哪来？需要线性、无独立源且不含受控源；互易是性质不是定义
对称左右对调为什么一样？对称一定互易，互易不一定对称
无源网络能否对外供出能量？要对所有容许端口量成立；无源不保证互易
等效电路用最少元件复现端口行为？只等价端口关系，不等价内部电流
连接复合网络的参数怎样合成？串联、并联相加的前提是端口条件不被破坏
网络函数接上负载后输入阻抗与转移比是多少？结果依赖负载与信号源内阻
扩展：回转器 / NIC / S 参数非互易与有源元件怎么进入这套语言？非互易不等于有源；S 参数必须先声明参考阻抗

符号约定：端口电流 i₁、i₂ 的正方向都规定为流入网络；端口电压 u₁、u₂ 取端口上端钮对下端钮的电位差。正弦稳态下 u、i 指相量，阻抗用 Z(jω)；能量与功率的讨论回到瞬时量。T 型网络的三个臂记作 Z_a、Z_b、Z_c，其中 Z_c 是并臂。

参数的存在性：不是每个网络都同时拥有四套参数。参数是否存在，取决于定义式中分母会不会退化为零，而不是网络是否「正常」。

02 / PORTS AND DEGREES OF FREEDOM

端口条件：一条容易被跳过的前提

先把「变量对」定义清楚，后面的矩阵才有意义。

2.1 端口与端口条件

端口是一对端钮，并且要求电流成对进出：从一端流入多少，就从另一端流出多少。对两个端口分别写出这条要求，就是

i_{1'}=-i_1,\qquad i_{2'}=-i_2

式中 i₁ 与 i₁′ 分别是端子 1 与 1′ 的电流，均取流入网络为正。满足这条要求时，一对端钮才能只用一个电流变量描述；同时 u₁ 取两端钮之间的电位差，与参考点的选择无关。

反过来看：如果一个网络只有三个外部端钮，而你把其中两个端口定义成共用这个端钮的两对，那么这个公共端钮同时承担两个端口的返回电流，i₁ = −i₁′ 不再成立。这类网络通常仍可用小信号二端口模型近似描述（以公共端为参考点），但在把它与其他网络串联或并联时，必须重新检查端口条件。

2.2 为什么自变量只有两个

设网络线性且内部无独立源。四个端口量 u₁、i₁、u₂、i₂ 之间由网络内部的基尔霍夫方程与元件关系约束。对这类网络，约束恰好可以整理成两个独立的线性关系，因此

\begin{bmatrix}u_1\\ u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\ z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\ i_2\end{bmatrix}

把它写成映射的语言：给定 2\times2 矩阵，两个自变量决定两个因变量。若把自变量换成 u₁、u₂，则得到 Y 参数；换成 i₁、u₂，得到 H 参数；换成 u₂、−i₂，得到 T 参数。四套参数的差别只是「选谁当自变量」，不是四个不同的物理规律。

随堂 1 · 关于端口条件，下面哪一句正确？ 文末解析 ↗

2.3 端口量是端口量，不是节点量

把 u₁ 当成端子 1 的对地电位，是初学阶段最常见的错误。端口电压是两个端钮之间的差；当电路的接地参考点改变时，端子对地的电位都会变，而 u₁ 不会变。与之对应，i₁ 也不是某个节点的注入电流，而是流过这一对端钮的电流。

随堂 2 · 一个线性二端口内部含一个独立电流源。四个端口量的关系发生了什么变化？ 文末解析 ↗
03 / Z AND Y PARAMETERS

开路与短路：一对测量上的对偶

Z 参数与 Y 参数是同一件事的两面，但它们的定义条件不同，存在性也不同。

3.1 Z 参数的定义与量纲

把两个端口电流取作自变量，端口电压取作因变量，系数矩阵就是 Z 参数。四个元素各自对应一次测量：

z_{11}=\left.\frac{u_1}{i_1}\right|_{i_2=0},\qquad z_{21}=\left.\frac{u_2}{i_1}\right|_{i_2=0}
z_{12}=\left.\frac{u_1}{i_2}\right|_{i_1=0},\qquad z_{22}=\left.\frac{u_2}{i_2}\right|_{i_1=0}

四个元素的单位都是欧姆（\Omega）。对角线上的 z₁₁、z₂₂ 是策动点阻抗：在一侧开路时，另一侧看进去的阻抗。非对角线上的 z₁₂、z₂₁ 是转移阻抗。

3.2 Y 参数：把自变量与因变量互换

把端口电压取作自变量，端口电流取作因变量：

\begin{bmatrix}i_1\\ i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\ y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\ u_2\end{bmatrix}
y_{11}=\left.\frac{i_1}{u_1}\right|_{u_2=0},\qquad y_{21}=\left.\frac{i_2}{u_1}\right|_{u_2=0},\qquad y_{22}=\left.\frac{i_2}{u_2}\right|_{u_1=0}

注意条件的对偶：测 Z 参数时把另一侧开路（电流为零），测 Y 参数时把另一侧短路（电压为零）。四个元素的单位都是西门子（\mathrm{S}）。

3.3 两者互为逆矩阵，但有前提

[Y]=[Z]^{-1}\qquad(\det[Z]\neq0)

把逆矩阵显式展开就是常用的换算关系：

y_{11}=\frac{z_{22}}{\det[Z]},\qquad y_{12}=y_{21}=-\frac{z_{12}}{\det[Z]},\qquad y_{22}=\frac{z_{11}}{\det[Z]}

条件 \det[Z]\neq0 就是全部的关键。当 \det[Z] = 0 时，映射 i ↦ u 不再一一对应：存在非零的 (i₁, i₂) 使两个端口电压都是零。这意味着同时短接两个端口时，网络里仍有非零电流在环流，而短路实验测出的比值没有唯一值——Y 参数按定义不存在，而不是等于无穷大。

随堂 3 · 想测一个二端口的 y₂₁，正确的测量条件是？ 文末解析 ↗
随堂 4 · 某二端口的 Z 矩阵行列式为零。关于它的 Y 参数，哪一句可靠？ 文末解析 ↗
04 / H AND T PARAMETERS

换一组自变量，换一种用途

H 参数适合描述器件，T 参数适合描述级联。它们的共同点是量纲不齐。

4.1 混合参数 H

把输入侧的电流 i₁ 与输出侧的电压 u₂ 取作自变量，把 u₁ 与 i₂ 取作因变量：

\begin{bmatrix}u_1\\ i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\ h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\ u_2\end{bmatrix}
h_{11}=\left.\frac{u_1}{i_1}\right|_{u_2=0},\quad h_{12}=\left.\frac{u_1}{u_2}\right|_{i_1=0},\quad h_{21}=\left.\frac{i_2}{i_1}\right|_{u_2=0},\quad h_{22}=\left.\frac{i_2}{u_2}\right|_{i_1=0}

四个元素的物理含义分别是：输入阻抗、反向电压比、正向电流比、输出导纳。h₁₂、h₂₁ 无量纲，h₁₁ 的单位是欧姆，h₂₂ 的单位是西门子——量纲不齐是这套参数的固有特点，不是排版疏忽。

电子器件的小信号模型常写成这套形式，因为测量它的条件正好与器件的实际使用条件相近：输入端加电流信号、输出端接电压负载。手册上给出的往往是 h 参数而不是 Z 参数。

4.2 传输参数 T 与那个负号

\begin{bmatrix}u_1\\ i_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\ C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_2\\ -i_2\end{bmatrix}

为什么是 −i₂？因为 i₂ 的正方向规定为流入网络，而传输关系习惯上用「从输出端流出的电流」作自变量。把它写作 −i₂ 之后，级联时前一级的因变量正好等于后一级的自变量：

[\mathbf T]=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]
\begin{bmatrix}u_1\\ i_1\end{bmatrix}=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]\begin{bmatrix}u_2\\ -i_2\end{bmatrix}

约定必须先核对。有的教材把方程写成 u₁ = Au₂ + Bi₂，此时其 i₂ 的正方向与本节相反，同一网络的 B、D 会差一个符号；互易恒等式也可能写成 AD − BC = −1。读到「B 为负」之类的结论时，先问一句：这是网络的性质，还是约定的产物。

4.3 四套参数之间的换算

由 Z 参数可以直接换算出 H 参数与 T 参数。这两个式子在同一网络上的数值必须自洽，是检查推导的好工具：

h_{11}=\frac{\det[Z]}{z_{22}},\qquad h_{12}=\frac{z_{12}}{z_{22}},\qquad h_{21}=-\frac{z_{21}}{z_{22}},\qquad h_{22}=\frac{1}{z_{22}}
A=\frac{z_{11}}{z_{21}},\qquad B=\frac{\det[Z]}{z_{21}},\qquad C=\frac{1}{z_{21}},\qquad D=\frac{z_{22}}{z_{21}}\qquad(z_{21}\neq0)

换算时会出现除法，因此某个参数存在与否，取决于分母是否为零。参数的存在性是一件事，网络的「好」与「坏」是另一件事。

随堂 5 · 要测一个二端口的 T 参数 B，正确的操作是？ 文末解析 ↗
05 / RECIPROCITY, SYMMETRY, PASSIVITY

三个性质，三张检查表

互易、对称、无源经常被混为一谈。它们各自独立，判据也不同。

5.1 互易

互易定理说：在一个线性、无源、不含受控源的网络里，把激励与响应的位置互换，比值不变。对二端口来说，它等价于两个转移参数相等：

z_{12}=z_{21},\qquad y_{12}=y_{21},\qquad h_{12}=-h_{21},\qquad AD-BC=1

注意 H 参数那一条是 h₁₂ = −h₂₁：一个负号来自 i₂ 的正方向约定，如果换成本书的另一套写法就会变成相等。记忆这类恒等式时，顺手把定义式抄一遍比死背结论可靠。

5.2 无源不等于互易

无源说的是能量：对所有容许的端口电压电流组合，端口吸收的功率不小于零：

P_{\mathrm{in}}=u_1i_1+u_2i_2\geq0

注意不等式右边是 0，而左边要对所有容许的端口量成立。互易说的是对称性：交换激励与响应后比值不变。这两条判据彼此独立。回转器是既无源又非互易的存在；含受控源的网络是线性却不互易的常见例子。反过来，一个由外部供电的互易放大器网络可以有源但互易。把「无源」当成「互易」的同义词，是这一章最容易犯的错误。

5.3 对称

对称指把两个端口对调之后网络行为不变。它是一个更结构化的要求：

z_{11}=z_{22},\qquad y_{11}=y_{22},\qquad A=D

对称一定互易，互易不一定对称。对称网络在工程上很有用——它的特性阻抗只有一个值，便于做成一段可以级联的对称单元。

5.4 互易网络里还有多少冗余

互易把四个参数约束掉一个，对称再约束掉一个。以 H 参数为例，除了 h₁₂ = −h₂₁，对称网络还会给出

\Delta h=h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}=\frac{A}{D}

对称时 A = D，所以 \Delta h 恰为 1；这里的 \Delta h 是 H 参数的行列式。本课短课 04 用的对称网络给出 h₁₁ = 17.5 Ω、h₂₂ = 25 mS、h₁₂ = 0.75、h₂₁ = −0.75，代进去正好得到 1。方法进阶

随堂 6 · 一个网络由若干电阻、电容和一个受控源组成。关于它的互易性，哪一句可靠？ 文末解析 ↗
06 / EQUIVALENT CIRCUITS

三个阻抗，复现一个互易二端口

等效的依据是端口方程，不是内部结构。互易与非互易在这里分道扬镳。

6.1 T 型等效

取一个 T 型网络：左臂 Z₁、右臂 Z₂、并臂 Z₃。它的 Z 参数分别是 z₁₁ = Z₁ + Z₃、z₁₂ = z₂₁ = Z₃、z₂₂ = Z₂ + Z₃。反过来解出三臂：

Z_1=z_{11}-z_{12},\qquad Z_2=z_{22}-z_{12},\qquad Z_3=z_{12}

三个臂都用原网络的参数表示，因此端口方程完全一致。注意 T 型网络的转移参数必然相等（两个都是 Z₃），所以这套等效只对互易网络成立。

6.2 Π 型等效

把自变量换成电压，用 Y 参数做同样的事：

Y_1=y_{11}+y_{12},\qquad Y_2=y_{22}+y_{12},\qquad Y_3=-y_{12}

对短课 05 里的对称网络，T 型三臂是 10 Ω、10 Ω、30 Ω，换成 Π 型是 70 Ω、70 Ω、23.333 Ω。两套三臂给出同一个端口矩阵：把 T 型网络的 Z 参数换算成 Y 参数，再按上式读出两个并联臂与一个串联臂，可以逐项核对。

6.3 非互易网络的正规做法

若 z₁₂ ≠ z₂₁，三个阻抗不够用，需要在等效电路里补一个受控源：把转移参数拆成对称部分与反对称部分，z₁₂ = zs + Δ、z₂₁ = zs − Δ，其中 Δ = (z₁₂ − z₂₁)/2。对称部分用 T 型三臂实现，反对称部分用一个受控源实现。理论推导中常用这种分解来判断某个结论是否依赖互易性。

6.4 等效的适用边界

  • 等效电路只保证端口上的电压电流关系一致；内部电流、元件数目、损耗分布都可能完全不同。
  • 等效三臂可以是复数阻抗，因此「三个电阻」的说法只在纯电阻网络的直流情形下才严格。
  • 网络里若有独立源，端口方程会出现常数项，上面的三臂等效不再适用。
  • 等效电路不会改变网络的互易性与无源性判断，因为这两条性质完全由端口行为决定。
随堂 7 · 某二端口测出 z₁₂ ≠ z₂₁。能否用三个阻抗接成 T 型来等效它？ 文末解析 ↗
07 / CONNECTIONS

把网络接起来，参数怎么合

加法与乘法各管一种连接，而且都有前提。

7.1 级联

级联是把前一级的输出端口直接接到后一级的输入端口。因为 T 参数把这一侧的输入量写成另一侧输出量的函数，两节串起来只需相乘：

[\mathbf T]=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]
\begin{bmatrix}u_1\\ i_1\end{bmatrix}=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]\begin{bmatrix}u_2\\ -i_2\end{bmatrix}

矩阵乘法不可交换，顺序必须与信号传播方向一致。互易性在乘法下保持：两个互易网络级联后仍然互易，AD-BC=1 依旧成立；两个对称网络级联后也仍然对称。

7.2 串联与并联

[Z]=[Z_1]+[Z_2]
[Y]=[Y_1]+[Y_2]

两条式子看起来是简单加法，用起来却最容易翻车。它们成立的前提是：连接之后，每个子网络自己的端口条件仍然成立——即每个子网络的两个端口电流仍然各自成对进出。

7.3 什么时候端口条件会被破坏

典型的破坏方式有三种，判断题里几乎都从这里出题：

  • 两个子网络在连接处出现额外的公共通路，例如两侧都接到同一个公共参考节点，使某个端口被外部短路；
  • 连接点被引出到第三个端子，形成并非原设计的一部分的回路；
  • 把三端子网络（例如共射放大器的基极、集电极、发射极）当成两个端口后，第三个端钮同时承担两个端口的返回电流。

遇到这类情况，正确的做法不是硬套加法公式，而是回到端口方程重新列写联立方程，或者用理想变压器把两个子网络隔离，让端口条件重新成立。

随堂 8 · 两个二端口串联后实测的 Z 矩阵不等于两个子网络 Z 矩阵之和。最可能的原因是什么？ 文末解析 ↗
08 / NETWORK FUNCTIONS

接上负载，输入阻抗是多少

参数描述网络本身；网络函数描述网络接上源与负载之后的整体行为。

8.1 输入阻抗

在端口 2 接上负载 Z_L，从端口 1 看进去的输入阻抗有两种等价写法。用 Z 参数，只需要消去 u₂、i₂：

Z_{\mathrm{in}}=z_{11}-\frac{z_{12}z_{21}}{z_{22}+Z_L}

用 T 参数更直接，因为 u₁ 与 i₁ 已经在同一侧：

Z_{\mathrm{in}}=\frac{AZ_L+B}{CZ_L+D}

两个特殊情况值得一提：Z_L\to\infty 时输入阻抗趋于 A/C，Z_L=0 时趋于 B/D。它们是测量 T 参数时用的两次实验，也是判断参数是否存在的两个除法。

\left.Z_{\mathrm{in}}\right|_{Z_L\to\infty}=\frac{A}{C},\qquad \left.Z_{\mathrm{in}}\right|_{Z_L=0}=\frac{B}{D}

前提：这些式子假定网络是线性的、且端口电流电压取同一套正方向。负载若含独立源，式子要加上一个与负载源有关的常数项。

8.2 输出阻抗与转移函数

把信号源内阻 Z_S 留在端口 1，从端口 2 向里看，就得到输出阻抗：

Z_{\mathrm{out}}=z_{22}-\frac{z_{12}z_{21}}{z_{11}+Z_S}

电压转移比在负载 Z_L 上的形式是

\frac{u_2}{u_1}=\frac{Z_L}{AZ_L+B}

它是负载的函数，而不是网络本身的常数——「这个网络的电压增益是多少」这句话，缺了负载条件就没有意义。

8.3 特性阻抗与传播常数

对称网络的输入阻抗在负载等于某个特定值时保持不变，这个值就是特性阻抗，此时网络可以看成一段均匀传输单元。把 Z_{\mathrm{in}} = Z_L 代进输入阻抗公式（对对称网络 A = D），得到两个有用的关系：

\cosh\gamma=A=D,\qquad\sinh\gamma=\sqrt{BC}\qquad\Longrightarrow\qquad Z_c=\sqrt{\frac{B}{C}}

其中 \gamma 是传播常数。对纯电阻的对称网络，\gamma 是实数，意思是每经过一节就衰减一个固定倍数，没有相移；若网络含电抗元件，\gamma 一般取复数，实部管衰减、虚部管相移。方法进阶

09 / EXTENSION WINDOW

扩展：非互易、有源与射频视角

这一节把二端口语言延伸到教材主线之外：非互易元件、有源变换器、参数不存在的情形，以及射频工程中的 S 参数。

9.1 回转器：无源，却不互易

i_1=g\,u_2,\qquad i_2=-g\,u_1
[Z]=\begin{bmatrix}0&-r\\ r&0\end{bmatrix},\qquad r=\frac1g
[\mathbf T]=\begin{bmatrix}0&r\\ 1/r&0\end{bmatrix}

它的两个端口吸收的功率恒为零：

u_1i_1+u_2i_2=u_1(g\,u_2)+u_2(-g\,u_1)=0

所以回转器是无损且无源的。但它的两个转移阻抗反号，z₁₂ = −r、z₂₁ = +r，因此不互易。这一个元件就把「无源 ⇒ 互易」的说法彻底否掉了。

从端口 1 看进去，回转器把负载阻抗变成

Z_{\mathrm{in}}=\frac{r^2}{Z_L}
Z_L=\frac{1}{j\omega C}\;\Longrightarrow\;Z_{\mathrm{in}}=j\omega r^2C\;\Longrightarrow\;L=r^2C

于是电容变成电感、电感变成电容、开路变成短路、串联谐振变成并联谐振。工程意义很直接：集成工艺里做高感值电感代价很高，做电容却很便宜，用回转器把电容「回转」成电感，可以把 LC 滤波器做在芯片上。

实现上的说明要写清楚：理想回转器可以用两个受控源（一个电压控制电流源与一个电流控制电压源）等价，实际电路里常用运放组成的回转电路来近似，因此回转器的元件模型是无损的，但工程实现离不开有源器件或非互易器件（例如铁氧体、霍尔元件）。方法进阶

9.2 负阻抗变换器：必须有源

u_1=u_2,\qquad i_1=k\,i_2
Z_{\mathrm{in}}=\frac{u_1}{i_1}=\frac{u_2}{k\,i_2}=-\frac{Z_L}{k}\qquad(k=1:\;Z_{\mathrm{in}}=-Z_L)

当负载是正电阻时，Z_{\mathrm{in}} 是负电阻。网络向外部供出功率，因此 NIC 是有源二端口，必须由运放等有源电路实现；它的参数满足 AD − BC = −k，也不互易。在电路里，负电阻与负电容常用来抵消寄生分量、提高有源滤波器的品质因数。方法进阶

9.3 参数不存在的情形：理想变压器

u_1=n\,u_2,\qquad i_1=-\frac1n\,i_2

理想变压器互易、无源、不用储能元件就能做阻抗变换（Z_{\mathrm{in}} = n^2Z_L），却是 Z 与 Y 参数都不存在的例子：输出开路会迫使输入电流为零，此时 u₁ 仍可任意，z_{11} = u₁/i₁ 出现 0/0；输出短路会迫使输入电压为零，短路测量的比值同样不唯一。它有 T 参数：

[\mathbf T]=\begin{bmatrix}n&0\\ 0&1/n\end{bmatrix}\qquad(AD-BC=1)

这个例子说明：参数是否存在，属于定义域问题，不属于「网络是否正常」问题。遇到参数不存在，换一套参数或者换一种描述方式即可，不必把不存在的量写成无穷大。

9.4 S 参数：射频工程师的默认说法

当频率高到无法在端口上方便地短路或开路（引脚电感、寄生电容都会掺进来）时，工程上改用入射波与反射波。以参考阻抗 Z_0 归一化后定义

a_i=\frac{u_i+Z_0i_i}{2\sqrt{Z_0}},\qquad b_i=\frac{u_i-Z_0i_i}{2\sqrt{Z_0}}
\begin{bmatrix}b_1\\ b_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}\\ S_{21}&S_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\ a_2\end{bmatrix}

四套参数与 S 参数可以互相换算，前提是先声明参考阻抗：同一条数据线，参考阻抗取 50 Ω 还是 75 Ω，S₁₁ 的数值完全不同。两条判据在 S 参数下特别简洁：

S_{12}=S_{21}
[S]^{\dagger}[S]=[I],\qquad |S_{11}|^2+|S_{21}|^2=1

第一条要求 S₁₂ = S₂₁（互易），第二条是酉矩阵条件：入射波的能量全部被反射或透射出去。以串联阻抗 Z 为例，

S_{11}=\frac{Z}{Z+2Z_0},\qquad S_{21}=\frac{2Z_0}{Z+2Z_0},\qquad Z_0=50\,\Omega

若是纯电抗，两项模方之和恒为 1；若是电阻，两项之和小于 1。前沿窗口

9.5 从参数到综合

反过来用这套语言，就是网络综合：给定想要的转移函数，用若干节对称网络级联去逼近它。滤波器、均衡器与阻抗匹配网络的设计，都是这个思路的实例。二端口矩阵在这里的角色，和传递函数在控制系统里的角色一样。前沿窗口

随堂 9 · 关于回转器，哪一句正确？ 文末解析 ↗
10 / WORKED MODELS

典例工具箱：把测量条件变成代数

每个典例都给出完整题设、关键步骤和自检。先自己写出第一步，再展开分析。

典例 1

T 型网络的 Z 参数与 Y 参数

T 型网络：左臂 10 Ω、右臂 20 Ω、并臂 30 Ω，端口电流正方向均流入网络。求 Z 参数矩阵、行列式与 Y 参数矩阵。

展开分析与推导

方法：用开路条件直接读。输出开路时 i₂ = 0，左臂与并臂串联；输入开路时 i₁ = 0，右臂与并臂串联。

[Z]=\begin{bmatrix}Z_a+Z_c&Z_c\\ Z_c&Z_b+Z_c\end{bmatrix},\qquad [Y]=\frac{1}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}\begin{bmatrix}Z_b+Z_c&-Z_c\\ -Z_c&Z_a+Z_c\end{bmatrix}
\det[Z]=Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a

代入 10 Ω、20 Ω、30 Ω：z₁₁ = 40 Ω、z₁₂ = z₂₁ = 30 Ω、z₂₂ = 50 Ω，\det[Z] = 1100 Ω²。

再按逆矩阵展开求 Y 参数：

y_{11}=\frac{z_{22}}{\det[Z]},\qquad y_{12}=y_{21}=-\frac{z_{12}}{\det[Z]},\qquad y_{22}=\frac{z_{11}}{\det[Z]}

得到 y₁₁ = 50/1100 = 45.455 mS、y₁₂ = y₂₁ = −30/1100 = −27.273 mS、y₂₂ = 40/1100 = 36.364 mS。

典例 2

并臂里加一个受控源

在典例 1 的网络上，于并臂支路串入一个电流控制电压源（控制量 i₂，系数 10 Ω）。求新的 Z 参数、H 参数与 T 参数，并判断互易性。

展开分析与推导

方法：受控源只改变转移项。控制量取 i₂ 时，它出现在 u₁ 的方程里，因此 z₁₂ 增加 10 Ω，而 z₂₁ 不变：z₁₂ = 40 Ω、z₂₁ = 30 Ω。

h_{11}=\frac{\det[Z]}{z_{22}},\qquad h_{12}=\frac{z_{12}}{z_{22}},\qquad h_{21}=-\frac{z_{21}}{z_{22}},\qquad h_{22}=\frac{1}{z_{22}}
A=\frac{z_{11}}{z_{21}},\qquad B=\frac{\det[Z]}{z_{21}},\qquad C=\frac{1}{z_{21}},\qquad D=\frac{z_{22}}{z_{21}}\qquad(z_{21}\neq0)

\det[Z] = 40 × 50 − 40 × 30 = 800 Ω²。于是 h₁₁ = 800/50 = 16 Ω、h₁₂ = 40/50 = 0.8、h₂₁ = −30/50 = −0.6、h₂₂ = 1/50 = 20 mS；A = 40/30 = 1.333、B = 800/30 = 26.667 Ω、C = 1/30 = 33.333 mS、D = 50/30 = 1.667。

典例 3

由 Z 参数算出 T 参数并自检

已知互易二端口的 z₁₁ = 40 Ω、z₁₂ = z₂₁ = 30 Ω、z₂₂ = 50 Ω。求 T 参数，并用互易恒等式核验。

展开分析与推导

方法：用换算公式，并注意每个分母都是 z₂₁。

A=\frac{z_{11}}{z_{21}},\qquad B=\frac{\det[Z]}{z_{21}},\qquad C=\frac{1}{z_{21}},\qquad D=\frac{z_{22}}{z_{21}}\qquad(z_{21}\neq0)

A = 40/30 = 1.333、B = 1100/30 = 36.667 Ω、C = 1/30 = 33.333 mS、D = 50/30 = 1.667。

核验：AD − BC = 1.333 × 1.667 − 36.667 × 0.03333 = 2.222 − 1.222 = 1.000。

典例 4

什么时候 Y 参数不存在

某二端口的 Z 矩阵为 [[30, 30], [30, 30]] Ω。判断它的 Y 参数是否存在，并说明这个网络的物理结构。

展开分析与推导

方法：先算行列式：\det[Z] = 30 × 30 − 30 × 30 = 0，矩阵退化，不能求逆。再回到定义验证一遍。

短路实验要求 u₁ = u₂ = 0，同时测 i₁、i₂ 的比值。取 i₁ = 1 A、i₂ = −1 A，代进端口方程：u₁ = 30(1) + 30(−1) = 0，u₂ = 30(1) + 30(−1) = 0。端口电压全为零，而电流不为零。此时「i₁ 除以 u₁」的分母为零，Y 参数按定义不存在。

物理结构：u₁ = u₂ = 30(i₁ + i₂)，这正是两个端口上端钮之间接一个 30 Ω 电阻的网络。

典例 5

T 型与 Π 型互换的往返

把对称 T 型网络（10 Ω、10 Ω、30 Ω）换成 Π 型等效，再从 Π 型反推回 T 型，检验是否回到原值。

展开分析与推导

方法：先把 T 型的 Z 参数换算成 Y 参数，再按 Π 型公式读三臂。

[Z]=\begin{bmatrix}Z_a+Z_c&Z_c\\ Z_c&Z_b+Z_c\end{bmatrix},\qquad [Y]=\frac{1}{Z_aZ_b+Z_bZ_c+Z_cZ_a}\begin{bmatrix}Z_b+Z_c&-Z_c\\ -Z_c&Z_a+Z_c\end{bmatrix}

\det[Z] = 700 Ω²，因此 y₁₁ = 40/700 = 57.143 mS、y₁₂ = y₂₁ = −30/700 = −42.857 mS、y₂₂ = 57.143 mS。按 Π 型公式：

Y_1=y_{11}+y_{12},\qquad Y_2=y_{22}+y_{12},\qquad Y_3=-y_{12}

两个并联臂 Y₁ = Y₂ = 57.143 − 42.857 = 14.286 mS（即 70 Ω），串联臂 Y₃ = 42.857 mS（即 23.333 Ω）。

反向核验：Π 型网络（并联臂 70 Ω、串联臂 23.333 Ω）的 z₁₂ = 70 × 70 / (70 + 23.333 + 70) = 4900/163.333 = 30 Ω，与原网络的转移阻抗一致；z₁₁ = 70 × (23.333 + 70)/163.333 = 40 Ω，也一致。

再按三臂公式反读：

Z_1=z_{11}-z_{12},\qquad Z_2=z_{22}-z_{12},\qquad Z_3=z_{12}

重新得到 10 Ω、10 Ω、30 Ω。

典例 6

两节对称网络级联之后

把典例 5 的对称网络两节级联，求总的 T 参数；再求负载 1 kΩ 时的输入阻抗与电压转移比。

展开分析与推导

方法：单节 T = [[1.3333, 23.3333], [0.03333, 1.3333]]（A = D = 4/3，B = 700/30，C = 1/30）。级联即矩阵自乘：

[\mathbf T]=[\mathbf T_1][\mathbf T_2]

A₂ = A² + BC = 1.7778 + 0.7778 = 2.5556；B₂ = B(A + D) = 23.3333 × 2.6667 = 62.2222 Ω；C₂ = C(A + D) = 0.08889 S；D₂ = CB + D² = 2.5556。

负载 1 kΩ 时：

Z_{\mathrm{in}}=\frac{AZ_L+B}{CZ_L+D}
\frac{u_2}{u_1}=\frac{Z_L}{AZ_L+B}

Z_{\mathrm{in}} = (2.5556 × 1000 + 62.2222)/(0.08889 × 1000 + 2.5556) = 2617.78/91.44 = 28.63 Ω；单节是 39.13 Ω。电压比 = 1000/2617.78 = 0.382，单节是 0.737。

典例 7

输入阻抗：两种写法互校

用典例 1 的网络（z₁₁ = 40 Ω，z₁₂ = z₂₁ = 30 Ω，z₂₂ = 50 Ω）分别求 ZL = 100 Ω 与 ZL = 1 kΩ 时的输入阻抗，并求 ZL 开路与短路时的极限。

展开分析与推导

方法：用 Z 参数形式消去输出量，再用 T 参数形式算一遍对照。

Z_{\mathrm{in}}=z_{11}-\frac{z_{12}z_{21}}{z_{22}+Z_L}
Z_{\mathrm{in}}=\frac{AZ_L+B}{CZ_L+D}

ZL = 100 Ω：Z 形式给出 40 − 900/(50 + 100) = 40 − 6 = 34 Ω；T 形式给出 (1.3333 × 100 + 36.667)/(0.03333 × 100 + 1.6667) = 170/5 = 34 Ω，两者一致。

ZL = 1 kΩ：40 − 900/1050 = 39.143 Ω，与 T 形式的 1370/35 = 39.143 Ω 一致。

极限：ZL 开路时 Z_{\mathrm{in}} = A/C = (4/3)/(1/30) = 40 Ω，正好等于 z₁₁；ZL 短路时 Z_{\mathrm{in}} = B/D = 36.667/1.6667 = 22 Ω，与 40 − 900/50 = 22 Ω 一致。

典例 8

特性阻抗与每节衰减

对称 T 型网络（10 Ω、10 Ω、30 Ω）的特性阻抗与传播常数是多少？负载取这个值时每节衰减多少？

展开分析与推导

方法：对称网络有 A = D，令 Z_{\mathrm{in}} = Z_L = Z_c 解方程即可。

\cosh\gamma=A=D,\qquad\sinh\gamma=\sqrt{BC}\qquad\Longrightarrow\qquad Z_c=\sqrt{\frac{B}{C}}

代入 A = 4/3、B = 23.3333 Ω、C = 0.03333 S：Z_c = √(23.3333/0.03333) = √700 = 26.46 Ω；cosh γ = 1.3333，解出 γ = ln(1.3333 + √(1.7778 − 1)) = 0.7953 Np。

核验：sinh γ = (2.2153 − 0.4514)/2 = 0.8819，与 √(BC) = √0.7778 = 0.8819 一致。

典例 9

两次测量判定互易性

某二端口测得：端口 1 注入 1 A、端口 2 开路时 u₂ = 30 V；端口 2 注入 1 A、端口 1 开路时 u₁ = 40 V。判断它是否互易，并说出至少两个可能的原因。

展开分析与推导

方法：按定义算两个转移阻抗。第一种接法给出 z₂₁ = 30 V/1 A = 30 Ω；第二种给出 z₁₂ = 40 V/1 A = 40 Ω。两者不等，网络不互易。

z_{12}=z_{21},\qquad y_{12}=y_{21},\qquad h_{12}=-h_{21},\qquad AD-BC=1

交叉核验：若网络真由电阻构成，h₁₂ 应等于 −h₂₁；本题数据对应 h₁₂ = 0.8、h₂₁ = −0.6，不满足，结论一致。AD − BC = z₁₂/z₂₁ = 1.333 ≠ 1，第三条判据同样不通过。

典例 10

回转器：10 nF 做出 10 mH

回转电阻 r = 1 kΩ 的回转器，端口 2 接 10 nF 电容。求端口 1 的等效输入元件及其在 1 kHz 时的阻抗模值；若把负载换成 10 mH 电感，结果如何？

展开分析与推导

方法：先写端口方程，再求输入阻抗。

i_1=g\,u_2,\qquad i_2=-g\,u_1
Z_{\mathrm{in}}=\frac{r^2}{Z_L}
Z_L=\frac{1}{j\omega C}\;\Longrightarrow\;Z_{\mathrm{in}}=j\omega r^2C\;\Longrightarrow\;L=r^2C

L = r²C = (10³)² × 10 × 10⁻⁹ = 0.01 H = 10 mH。1 kHz 时 ω = 6283.2 rad/s，Z_{\mathrm{in}} 的模值 = ωL = 62.83 Ω。

换成 10 mH 电感：等效电容 C_{\mathrm{eq}}=L/r^2 = 0.01/10⁶ = 10 nF，模值 = 1/(ωC) = 1/(6283.2 × 10⁻⁸) = 15915 Ω。

11 / DEEP THINKING

深度思考：模型背后的边界

下面六个问题没有标准答案，但都有明确的判据。先写出自己的立场，再对照文末的统一答案。

  1. 为什么「无源」不能推出「互易」？给出一个反例，并说明这两个概念分别在回答什么问题。若有人反驳「回转器必须用运放做，而运放是有源的」，你会怎样回应？
  2. 「参数不存在」是什么意思？把 \det[Z]\neq0 与理想变压器的情形放在一起，说明哪些网络只有 Z 参数、哪些只有 Y 参数、哪些只有 T 参数。为什么不能一律写成无穷大？
  3. 等效电路等价的是什么？如果你只知道端口行为，哪些关于网络的陈述是你没有资格做出的？举出两个物理上不同的网络，它们在端口上完全无法区分。
  4. 无源性的完整判据。方法进阶用一组激励得到正功率，能不能证明网络无源？正确的判据是什么？正弦稳态下它如何化归到对 \operatorname{Re}[Z(j\omega)] 的要求？
  5. 端口条件是不是纯数学技巧？把短课 05 的串联公式与「两个网络共用一个公共参考点」的现实接法放在一起，说明为什么工程上更倾向用变压器或缓冲级来隔离。
  6. 模型失效时会发生什么？列举至少三种使二端口模型失效的情形（非线性、时变、大信号），并说明每种情形下你会改用什么样的描述。
12 / PRACTICE

课后习题：计算与判断同样重要

12 题，建议先完成 H01–H08；H09–H12 用于方法进阶与扩展。以下不展示答案，参考解答统一放在最后。

难度：基础＝巩固定义；综合＝组织模型与推导；进阶＝边界、反例或跨学科思考。除特别说明外，所有端口电流均取流入网络为正。开放题按论证质量判断，不设唯一立场。

计算 / 基础 · H01

T 型二端口的左臂 20 Ω、右臂 30 Ω、并臂 40 Ω。求它的 Z 参数矩阵与行列式，并写出 Y 参数矩阵。

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概念 / 基础 · H02

某二端口的 Z 矩阵是 [[30, 30], [30, 30]] Ω。它的 Y 参数是否存在？若不存在，说明原因并画出这个网络的等效电路。

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计算 / 综合 · H03

某互易二端口的 h₁₁ = 20 Ω、h₁₂ = 0.5、h₂₁ = −0.5、h₂₂ = 25 mS。求它的 Z 参数矩阵，并判断它是否对称。

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计算 / 综合 · H04

用 H03 得到的 Z 参数求 T 参数，并用互易恒等式核验；同时写下四个元素的单位。

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计算 / 综合 · H05

两个二端口串联：Z₁ = [[40, 30], [30, 40]] Ω，Z₂ = [[25, 20], [20, 35]] Ω。求总 Z 参数与行列式，并写出这条加法公式成立的前提。

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计算 / 综合 · H06

把对称 T 型网络（10 Ω、10 Ω、30 Ω）两节级联。求总 T 参数，以及负载 100 Ω 时的输入阻抗（并与单节对照）。

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计算 / 综合 · H07

某二端口的 z₁₁ = 30 Ω、z₁₂ = z₂₁ = 20 Ω、z₂₂ = 40 Ω。负载 60 Ω 时输入阻抗是多少？若信号源内阻 40 Ω，输出阻抗是多少？

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计算 / 进阶 · H08

对称 T 型网络（40 Ω、40 Ω、60 Ω）。求特性阻抗与传播常数，并说明每经过一节电压衰减多少倍。

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判断 / 进阶 · H09

对称 T 型网络（20 Ω、20 Ω、30 Ω）的并臂支路中串入系数 15 Ω 的电流控制电压源，控制量为 i₂。求两个转移阻抗，判断互易性，并给出 AD − BC。

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计算 / 进阶 · H10

回转电阻 2 kΩ 的回转器，端口 2 接 4.7 nF 电容。求端口 1 的等效元件与 10 kHz 时的阻抗模值；若负载改成 18.8 mH 电感，结果如何？

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计算 / 进阶 · H11

电流反向型 NIC 的 k = 0.5，端口 2 接 2 kΩ 电阻，端口 2 电压为 1 V。求输入阻抗，并计算两个端口吸收的总功率，判断这个元件是否有源。

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思考与计算 / 进阶 · H12

在一个参考阻抗为 50 Ω 的两端口系统中，串入一个阻抗 Z。写出 S₁₁ 与 S₂₁；取 Z = 50 Ω 与 Z = j100 Ω 两种情形，分别计算并判断网络是有耗还是无损，并说明 S₁₂ 与 S₂₁ 的关系。

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13 / FURTHER READING

延伸阅读与适用范围

正文为独立组织的教学推导。下列公开资料提供对应概念的进一步阅读，不要求初学者一次读完。

  1. UCSB ECE 2C · Appendix W2 Two-Port Networks：原文明确的端口条件、四套参数的定义表与存在性讨论，与 02、03 两节对应得最紧。
  2. 中国科学技术大学《电路》第 14 章 二端口网络：中文教材章节，含 Z、Y、传输与混合参数、等效电路、级联与三端网络的端口等效讨论，可与本册的 06、07 节对照。
  3. MIT OpenCourseWare 6.002 · Circuits and Electronics：阻抗模型、滤波器与小信号模型的完整讲义，适合复习本册用到的复阻抗与分压计算。
  4. MIT OpenCourseWare 6.012 · Microelectronic Devices and Circuits：器件小信号模型的实际使用，说明为什么工程上常给出 H 参数而不是 Z 参数。
  5. Feynman Lectures Vol. II, Ch. 22 · AC Circuits：从场的低频近似推出阻抗概念，并讨论梯形网络与滤波器的物理机制，可看作本册 07、08 节的物理背景。
  6. EDN · Generalized Impedance Converters：用运放实现负阻抗变换器与 Antoniou 广义阻抗变换器，把 09 节的回转器落到实际电路上，含稳定性与噪声的工程提醒。

资料链接核对日期：2026-09-17。正文与实验无需网络；仅打开参考链接时访问外部网站。所有演示都是理想模型，未模拟运放带宽、寄生参数、器件击穿或实际测量噪声。

14 / ANSWERS

统一答案

先自己写完再看。随堂题给的是判断理由，课后题给的是完整步骤与自检。

随堂诊断

随堂 1 · 端口条件

B。端口条件是定义式成立的前提：只有电流成对进出，一对端钮才能只用一个电流变量描述，a 选项把「记号习惯」与「约束」混为一谈。C 错在方向：含受控源的网络同样要满足端口条件，只是它一般不再互易。D 错在线性无法提供成对约束：线性只保证关系是线性的。

随堂 2 · 含独立源时的关系

B。独立源使端口关系变成非齐次：u 与 i 之间多出一个与激励无关的常数项，Z 参数这种「齐次系数矩阵」的写法不再完整。A 忽略了这一项；C 过分：关系仍然是线性的，只是带常数项；D 与源是否置零无关，置零只是回到齐次情形。

随堂 3 · y₂₁ 的测量条件

A。y₂₁ = i₂/u₁ 且要求 u₂ = 0，所以要在端口 1 加已知电压、把端口 2 短路，再读端口 2 的电流。B 测的是开路转移电压比（属于 Z 参数的情形）；C 的激励位置与自变量不符；D 对应的是 y₂₂ 的条件（u₁ = 0）。

随堂 4 · 行列式为零

B。行列式为零意味着映射 i ↦ u 退化：存在非零 (i₁, i₂) 使两个端口电压同时为零。短路实验给出的比值因此不唯一，Y 参数按定义不存在。A 错在把「不存在」写成「等于零」；C 的极限写法会掩盖真实现象；D 把存在性问题误当成能量问题。

随堂 5 · T 参数 B 的测量

B。B 的定义是 u₁ = Au₂ − Bi₂ 在 u₂ = 0 时的系数，因此要短路输出端并在端口 2 注入已知电流，读端口 1 的电压。A 给的是 A 或 C 的条件（i₂ = 0）；C 的条件与定义相反；D 读的是电流方向的量，对应的是 D。

随堂 6 · 含受控源的互易性

C。互易定理的充分条件是「线性、无源、不含受控源」。含受控源的网络一般不互易，但不能仅凭元件清单断定——需要按 z₁₂ = z₂₁、h₁₂ = −h₂₁ 或 AD − BC = 1 实测或实算。A、B 都是过度概括；D 错在把两条独立判据当成蕴含关系。

随堂 7 · 非互易网络的等效

B。三个阻抗接成 T 型时，两个转移参数都等于同一个臂阻抗 Z₃，因此 T 型等效的转移参数必然相等。当 z₁₂ ≠ z₂₁ 时必须补受控源：把转移部分拆成对称与反对称两部分，对称部分用三臂实现，反对称部分用受控源实现。允许负电阻也解决不了这个问题。

随堂 8 · 串联结果不符

B。串联公式来自「电流相同、电压相加」，它的前提是连接后每个子网络的端口条件仍然成立。若连接处出现额外公共通路（例如两侧共用一个公共端），某个子网络的端口被外部短路，公式就失效。A、C 说反了运算规则；D 与现象无关。

随堂 9 · 回转器的性质

B。回转器的端口吸收功率恒为零，所以无源无损；但两个转移阻抗反号，非互易。A 把「非互易」误当成「有源」；C 与方程矛盾；D 错在方向性——回转器对电容、电感是对称处理的，电容变电感、电感也变电容。

课后习题

H01 · T 型网络的 Z 与 Y

开路条件给出 z₁₁ = 20 + 40 = 60 Ω、z₁₂ = z₂₁ = 40 Ω、z₂₂ = 30 + 40 = 70 Ω，所以 Z = [[60, 40], [40, 70]] Ω。行列式 = 60 × 70 − 40 × 40 = 4200 − 1600 = 2600 Ω²，也可用 ZₐZ_b + Z_bZ_c + Z_cZₐ = 600 + 1200 + 800 = 2600 核验。

Y = Z⁻¹ = (1/2600)[[70, −40], [−40, 60]]，即 y₁₁ = 26.92 mS、y₁₂ = y₂₁ = −15.38 mS、y₂₂ = 23.08 mS。自检：Z 与 Y 相乘应得单位矩阵；行列式不为零，两组参数都存在。

H02 · Y 参数不存在的例子

行列式 = 30 × 30 − 30 × 30 = 0，矩阵退化。回到短路实验：取 i₁ = 1 A、i₂ = −1 A，得到 u₁ = u₂ = 0，端口电压全为零而电流不为零，比值没有唯一值，因此 Y 参数不存在。

物理结构：两个方程都是 u = 30(i₁ + i₂)，等效于在两个端口的上端钮之间接一个 30 Ω 电阻（两个下端点连在一起）。这个网络可以用 Z 参数或等效电路描述，但不要写成「Y 参数等于无穷大」。

H03 · 由 H 求 Z

先用 h₁₂ = −h₂₁ 判断：0.5 与 −0.5 满足，网络互易。再用换算关系 z₁₁ = Δh/h₂₂、z₁₂ = h₁₂/h₂₂、z₂₁ = −h₂₁/h₂₂、z₂₂ = 1/h₂₂，其中 Δh = 20 × 0.025 − 0.5 × (−0.5) = 0.5 + 0.25 = 0.75。

z₁₁ = 0.75/0.025 = 30 Ω、z₁₂ = 0.5/0.025 = 20 Ω、z₂₁ = 20 Ω、z₂₂ = 1/0.025 = 40 Ω。z₁₁ ≠ z₂₂（30 与 40），所以互易但不对称；对称还要求 \Delta h = 1，而它等于 0.75，不满足。

H04 · 由 Z 求 T 并核验

\det[Z] = 30 × 40 − 20 × 20 = 800 Ω²。按换算式：A = 30/20 = 1.5（无量纲）、B = 800/20 = 40 Ω、C = 1/20 = 50 mS、D = 40/20 = 2（无量纲）。

核验：AD − BC = 1.5 × 2 − 40 × 0.05 = 3 − 2 = 1，与互易网络的恒等式一致。量纲也自洽：A、D 无量纲，B 为 Ω，C 为 S。

H05 · 串联相加

串联时两个端口各自电流相同、电压相加，因此 Z = Z₁ + Z₂ = [[65, 50], [50, 75]] Ω，行列式 = 65 × 75 − 50 × 50 = 4875 − 2500 = 2375 Ω²。

前提：连接之后两个子网络各自的端口条件仍成立——每个子网络的两个端口电流仍成对进出。若连接处存在额外公共通路（例如两侧共用一个公共参考节点），某个子网络的端口被短路，加法公式失效，必须回到端口方程重新求解。

H06 · 两节级联

单节：A = D = 4/3、B = 700/30 = 23.333 Ω、C = 1/30 = 33.333 mS。矩阵自乘得 A₂ = A² + BC = 1.7778 + 0.7778 = 2.5556、B₂ = B(A + D) = 62.222 Ω、C₂ = C(A + D) = 88.889 mS（原文写作 0.08889 S）、D₂ = 2.5556。

负载 100 Ω：Z_{\mathrm{in}} = (2.5556 × 100 + 62.222)/(0.08889 × 100 + 2.5556) = 317.78/11.444 = 27.77 Ω；单节同负载下是 (1.3333 × 100 + 23.333)/(0.03333 × 100 + 1.3333) = 156.67/4.6667 = 33.57 Ω。核验：A₂D₂ − B₂C₂ = 1。

H07 · 输入与输出阻抗

输入阻抗（负载 60 Ω）：Z_{\mathrm{in}} = 30 − 20 × 20/(40 + 60) = 30 − 4 = 26 Ω。也可用 T 参数写法核对：先用换算得到 A = 1.5、B = 40 Ω、C = 50 mS、D = 2，再算 (1.5 × 60 + 40)/(0.05 × 60 + 2) = 130/5 = 26 Ω，一致。

输出阻抗（信号源内阻 40 Ω）：Z_{\mathrm{out}} = 40 − 20 × 20/(30 + 40) = 40 − 5.714 = 34.29 Ω。注意两个公式只是把「看进去的一侧」与「接阻抗的一侧」对调。

H08 · 特性阻抗与传播常数

先求参数：z₁₁ = z₂₂ = 100 Ω、z₁₂ = z₂₁ = 60 Ω、行列式 = 100 × 100 − 60 × 60 = 6400 Ω²。因此 A = D = 100/60 = 1.6667、B = 6400/60 = 106.667 Ω、C = 1/60 = 16.667 mS。

特性阻抗 Z_c = √(B/C) = √(106.667/0.016667) = √6400 = 80 Ω。传播常数：cosh γ = 1.6667，解出 γ = ln(1.6667 + √(1.7778 − 1)) = ln 3.0000 = 1.0986 Np。核验：sinh γ = (3 − 1/3)/2 = 1.3333，与 √(BC) = √(106.667 × 0.016667) = 1.3333 一致。

纯电阻网络的 γ 为实数，每节电压衰减 e^−1.0986 = 0.3333 倍，即每节降到三分之一，且没有相移。

H09 · 含受控源的非互易网络

控制量取 i₂ 的电压源只影响 u₁ 的方程，因此 z₁₂ = 30 + 15 = 45 Ω，而 z₂₁ 保持 30 Ω。z₁₁ = z₂₂ = 20 + 30 = 50 Ω。

z₁₂ ≠ z₂₁，所以不互易。行列式 = 50 × 50 − 45 × 30 = 2500 − 1350 = 1150 Ω²，AD − BC = z₁₂/z₂₁ = 45/30 = 1.5。第二种核验：h₁₂ = 45/50 = 0.9，h₂₁ = −30/50 = −0.6，不满足 h₁₂ = −h₂₁。

H10 · 回转器做电感

等效电感 L = r²C = (2000)² × 4.7 × 10⁻⁹ = 0.0188 H = 18.8 mH。10 kHz 时 ω = 2π × 10⁴ = 62831.9 rad/s，阻抗模值 = ωL = 62831.9 × 0.0188 = 1181 Ω。

负载改为 18.8 mH 电感时，等效电容 C_{\mathrm{eq}}=L/r^2 = L/r² = 0.0188/4 × 10⁶ = 4.7 nF，模值 = 1/(ωC) = 1/(62831.9 × 4.7 × 10⁻⁹) = 3386 Ω。两个结果互为倒量关系，验证了回转器是阻抗倒量器：同一组数值在两种负载下互换角色。

H11 · NIC 的有源性

由 Z_L = −u₂/i₂ 得 i₂ = −u₂/R = −0.5 mA。Z_{\mathrm{in}} = −Z_L/k = −2000/0.5 = −4000 Ω，即端口 1 看到 −4 kΩ，是一个负电阻。

再算功率：i₁ = k i₂ = −0.25 mA。

u_1i_1+u_2i_2=(k+1)\,u_2i_2

代入得 u₁i₁ + u₂i₂ = (k + 1)u₂i₂ = 1.5 × 1 × (−0.5 mW) = −0.75 mW。端口吸收功率为负，说明网络向外供出 0.75 mW：其中 0.5 mW 由负载吸收，0.25 mW 由端口 1 的源提供，另外 0.25 mW 必须来自 NIC 内部的有源电路。因此 NIC 是有源二端口。

H12 · 串联阻抗的 S 参数

S_{11}=\frac{Z}{Z+2Z_0},\qquad S_{21}=\frac{2Z_0}{Z+2Z_0},\qquad Z_0=50\,\Omega

取 Z = 50 Ω：S_{11} = 50/150 = 0.3333，S_{21} = 100/150 = 0.6667，两项模方之和 = 0.1111 + 0.4444 = 0.5556 < 1，网络有耗（电阻消耗了入射功率）。

取 Z = j100 Ω：S_{11} = j100/(j100 + 100)，模值 = 100/141.42 = 0.7071；S_{21} = 100/(100 + j100)，模值同为 0.7071，两项模方之和 = 0.5 + 0.5 = 1，网络无损——纯电抗只是把能量反射或延迟透射，不消耗。两种情形都是互易网络，因此 S₁₂ = S₂₁。

公式的 LaTeX 源码

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