FIELD NOTES / GUIDED EDITION 04

让 i，
从旋转里长出来。

复数与复变函数 · 引导课堂

一次只解决一个障碍：先把复数当成平面上的箭头，再把「可导」当成所有方向给出同一个答案。
这里允许猜错，也允许停下来问「这个结论依赖什么前提」。

我想直接做题

6 个短课 · 每课约 12–20 分钟 · 8 个典例与 12 道习题 · 离线可用

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今天，从哪一个卡点开始？

迁移题通过 0 / 6

按顺序学，或直接选卡住的一课。每课可自由切换步骤；「读过」与「做对迁移题」分别记录，不把翻页当作掌握。

01 / 从「无解」到「转一下」

x² = −1 没有解，问题出在哪？

学完能做到：说出「乘 i 就是逆时针转 90°」，并用它解释 x² + 1 = 0 为什么有解。

先预测

先猜一件事：乘 i 会做什么？

方程 x² = −1 在实数里没有解，因为平方总是非负的。常见说法是「所以规定一个数 i 满足 i² = −1」。先别急着接受这条规定。把复数画在平面上，问一个几何问题。

在复平面上，把一个数乘 i，几何上是什么操作？逆时针旋转 90°，长度不变顺时针旋转 90°，长度不变关于实轴做镜像，长度不变

我卡住了 · 给一点提示

先做一次最简单的实验：让 z 取正实数 3。希望乘某个数以后它跑到正上方（也就是 3i 的位置），这个乘数的长度与角度应该是多少？

再具体一点

从 +1 的方向转到 +i 的方向正好走了 90°，而长度不变，所以乘数就是「长度 1、角度 90°」的那个数，也就是 i。

看变化

让点转起来

左侧图里有蓝色箭头 z（滑杆控制它的实部与虚部），下拉框用来选乘数。橙色箭头是乘完的结果 z′。先试 × i，再依次试 × (−1)、× (−i)、× (1+i)。

盯住两件事：乘 i 不改变长度，只把方向逆时针转 90°；乘两次 i（也就是乘 i²）等于乘 −1，箭头正好掉头。这就是「i² = −1」在图上长什么样子。

图上的弧线标出实际转角，读数同时给出 z 与 z′ 的模和辐角。两者用的是同一套算法：z′ = m·z，m 就是所选乘数。

把点换成不对称的（实部 3、虚部 1）再看一次，旋转对「斜着」的点同样成立。当 z 取 0 时旋转看不出方向，因为零向量没有方向——这个边界后面每次都要提到。

搭推导

把几何翻译成代数

① 最普通地展开一次乘法。设 z = a + bi，乘数是 i。把乘法按分配律展开，再用 i² = −1 化简：

$\mathrm{i}\,(a+b\,\mathrm{i})=-b+a\,\mathrm{i}$

看结果的坐标：原来是 (a, b)，现在是 (−b, a)。这正是把一个向量逆时针旋转 90° 的坐标变换——x 轴方向被搬到了 y 轴方向。所以「乘 i 是转 90°」与「i² = −1」不是两条独立的规定。

② 再看 i²。用同一条乘法公式，取两个因子都是 i：

$\mathrm{i}^{2}=(0+\mathrm{i})(0+\mathrm{i})=-1$

这次 −1 不是凭空规定的，而是「转两次 90°」的必然结果：转了 180°，箭头掉头回到反向。反过来，如果你只知道「转两次 90° 等于掉头」这一条几何事实，也必然要求 i² = −1。

③ 于是 x² + 1 = 0 有解。取 x = i 或 x = −i 都满足方程，它们是关于原点对称的两个点。更进一步：把数轴扩展成平面之后，每个 n 次多项式方程恰好有 n 个复根（代数基本定理）——这不是本册要证明的内容，只是说明「补上 i」并不是为了一个方程打补丁，而是让整个数系闭合。

前提与边界：上面把「乘一个复数」理解成平面上的变换。这个理解在本册全程有效；但要注意它说的是「乘一个固定复数的作用」，而不是说复数有大小顺序。复数不能比大小，见深度思考第 1 题。

做迁移

换一个点，把规则说清楚

不用计算，只凭「乘 i 是逆时针转 90°」判断：(−2 + 3i)·i 落在哪个象限？第二象限第三象限第四象限

用自己的话说：为什么「i² = −1」可以理解成「转两次 90°」？如果有人说 i 只是人为规定的符号，你会怎样回应？

写完后，对照解释要点

把数看成平面上的箭头，「乘一个模为 1、辐角为 90° 的因子」就是旋转；旋转两次 90° 等于旋转 180°，而旋转 180° 就是把向量反向，即乘 −1。所以 i² = −1 是旋转合成出来的结果，不是随意规定。回应「人为规定」：i 有两个等价的入口——代数上要求 i² = −1，几何上要求乘 i 是 90° 旋转，两者给出同一个数系；它的价值在于让 x² = −1 有解、让乘法的几何变统一，而且之后所有多项式方程都有解。

接下来练什么去做 H01、H02；需要严格定义时查阅「复数的定义与代数」。打开习题 →

02 / 一对实数，一个记号

a + bi 里那个加号，是真的加法吗？

学完能做到：用一对实数写出四则运算，判断两个复数相等的条件，并算共轭与模。

先预测

两条信息，需要几个条件？

写 z = a + bi 时，中间那个加号并不是「把两类数加起来」的运算结果，它只是一个记账方式：这个复数由两个实数决定，一个记在实部，一个记在虚部。先判断一件事。

两个复数 a + bi 与 c + di 相等，需要哪些条件？实部与虚部分别相等，即 a = c 且 b = d只要它们的模相等只要它们的差是纯虚数

我卡住了 · 给一点提示

从「记账」的角度想：a + bi 相当于一对数 (a, b)。两对数相等，需要几次比较？

再具体一点

要比较第一项和第二项，所以是两个条件。如果一个都不满足，两个复数就不相等。

看变化

加法和乘法，两条完全不同的规则

左侧图有两个输入复数 z₁、z₂（各自用滑杆调整实部与虚部）。下拉框在「加法」与「乘法」之间切换，青色箭头是结果。

加法像两个箭头首尾相接，画出来是一个平行四边形；乘法则让长度相乘、方向相加，画出来是一次旋转加伸缩。两条规则差别很大，但都只用到「i² = −1」这一条代数约定。

读数同时给出结果的代数形式与极坐标形式。代数形式按公式算，极坐标按图上量出的长度与角度算——两条路径必须一致，这就是本课的自检方式。

试几个退化情形：z₂ 取 1 时乘法不改变 z₁；z₁ 取 0 时两种运算都给 0。加法对调两个加数结果不变，乘法也一样（交换律）；但乘法的「方向相加」在加法里没有对应物，这是复数和平面向量最大的不同。

搭推导

四则运算，一次写全

① 加法和减法逐分量进行，和平面向量的加法完全一样：

$(a+b\,\mathrm{i})+(c+d\,\mathrm{i})=(a+c)+(b+d)\,\mathrm{i}$

② 乘法按分配律展开，再用 i² = −1 把 i² 项化成实数：

$(a+b\,\mathrm{i})(c+d\,\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm{i}$

结果里出现了两组独立的组合（ac − bd 与 ad + bc），这不是巧合：下一课会看到，它们恰好对应「模相乘、辐角相加」。

③ 除法要把分母变成实数，办法是分子分母同乘分母的共轭：

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z}_2}{z_2\bar{z}_2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,\mathrm{i}\qquad(z_2\neq0)$

这里用到一条恒等式：任何复数乘自己的共轭得到模的平方，是一个非负实数。

$z\bar{z}=(a+b\,\mathrm{i})(a-b\,\mathrm{i})=a^2+b^2$

因此只要 z₂ ≠ 0，分母就不为零，除法总有定义。这条「乘共轭把分母实数化」是复数除法唯一的技巧，值得记牢。

④ 共轭与实部虚部。共轭只翻虚部的符号，利用它可以干净地取出实部与虚部：

$\overline{a+b\,\mathrm{i}}=a-b\,\mathrm{i}$

$\operatorname{Re}z=\frac{z+\bar z}{2},\qquad\operatorname{Im}z=\frac{z-\bar z}{2\,\mathrm{i}}$

$\overline{z_1\pm z_2}=\bar z_1\pm\bar z_2,\qquad\overline{z_1z_2}=\bar z_1\,\bar z_2,\qquad\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2\ \ (z_2\neq0)$

前提与边界：把复数当平面向量，只在讨论加法时成立；一旦做乘法，复数就比向量多了结构（乘法有几何意义）。复数也不能比较大小，因此「z₁ < z₂」这样的写法没有意义。

做迁移

用共轭算一次除法

用「分母乘共轭」的方法算 (3 + 4i) / (1 − 2i)，结果是多少？−1 + 2.4i−1 + 2i−1.4 + 0.8i

用自己的话说：为什么「复数由一对实数决定」这件事，会让一个复数方程变成两个实方程？

写完后，对照解释要点

因为相等需要实部、虚部各自相等。把一个复数方程 z 的实部与虚部分开写，就得到两条互相独立的实方程；解复数方程因此相当于联立解两条实方程。共轭的作用正是把这两条信息分开。

接下来练什么去做 H01、H02、H03；除法一定要先乘共轭。打开习题 →

03 / 长度与方向

一个复数，能用长度和角度说清楚吗？

学完能做到：在代数形式与三角形式之间互相转换，并写出模与辐角的多值性。

先预测

负实轴的辐角是多少？

平面上确定一个箭头有两种说法：说它的横向与纵向分量 (a, b)，或者它的长度与方向 (r, θ)。前一种是代数形式，后一种是三角形式。先判断一个具体的方向。

z = −1 的全部辐角 Arg z 是什么？0 + 2kπ，主值取 0π + 2kπ，主值取 ππ/2 + 2kπ，主值取 π/2

我卡住了 · 给一点提示

辐角从正实轴开始逆时针量。先把 −1 画在复平面上：它落在原点的哪一侧？

再具体一点

它落在负实轴上，正对着 +1 的反方向。从 +1 转到它，正好转过平角 π。

看变化

同一个点，两种读法

左侧图只有一个动点 z，滑杆控制它的实部与虚部。图上同时画出直角坐标的投影（虚线）与极坐标的长度 r、角度 θ。

同时盯三件事：r 是不带方向的距离，永远非负；θ 从正实轴逆时针量；当点走到第二、三象限，θ 会超过 π/2，走到第四象限时 θ 变成负值。

读数给出 r、arg z（落在 (−π, π] 的那个值，也就是主值）以及 Arg z 的完整写法。这个区分很重要：后面 z 的根式与对数之所以「多值」，根源就在这里。

把点挪到原点：r = 0，而辐角没有定义——不是「等于零」，而是根本不存在方向。这个边界在第 05 课的倒数映射与第 08 课的对数里会反复出现。

搭推导

两种形式的换算

① 定义与三角形式。用勾股关系读出长度，用反正切读出方向，再用长度和角度重写同一个数：

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\geq0$

$a=r\cos\theta,\qquad b=r\sin\theta$

$z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$

反过来从三角形式回到代数形式，就是代入 a = r cos θ、b = r sin θ。两条路都只用到初等三角，没有新假设。

② 辐角的多值性。绕原点转一整圈回到同一点，所以同一个非零复数有无穷多个辐角：

$\mathrm{Arg}\,z=\arg z+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

把主值约定在

$-\pi<\mathrm{Arg}\,z\leq\pi$

之间，主值就是唯一的。写 $\arg z$ 时默认指主值，写 $\mathrm{Arg}\,z$ 时指的是整个集合。这个区分不是吹毛求疵：如果混用，求根时会得到错误的个数。

③ 共轭的几何意义是关于实轴做镜像。镜像不改变长度，只把角度取反：

$|z|=|\bar z|,\qquad\arg\bar z=-\arg z$

顺便得到一条常用的大小关系（三角不等式），它说的是「两点之间直线最短」：

$|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$

前提与边界：以上全部要求 $z\neq0$ 。零向量没有方向，把 arg 0 写成任意值都是错的；在后面的任何映射里，遇到原点都要单独检查。

做迁移

读出一个点的两种坐标

z = 1 − i 的模与辐角主值分别是多少？|z| = √2，arg z = −π/4|z| = √2，arg z = π/4|z| = 2，arg z = −π/4

用自己的话说：为什么辐角有无穷多个值，而模只有一个？这个区别会在哪些运算里显出来？

写完后，对照解释要点

模是到原点的距离，是几何上唯一的长度；辐角是转过的角度，而转整圈回到原位，所以相差 2π 的整数倍都描述同一点。区别在乘除、乘方、开方里显出来：乘法让辐角相加，所以算完以后辐角可以超出主值区间，要再折回；开方时不同圈的辐角给出不同的根，于是 n 次方程有 n 个根。

接下来练什么去做 H03、H04；先画点在哪一象限，再定辐角符号。打开习题 →

04 / 模相乘，辐角相加

乘法为什么能写成「转一下、抻一下」？

学完能做到：用模与辐角做乘法、除法与整数次幂，并用它算单位根。

先预测

两条规则，猜一猜是哪两条

已知两个复数各用长度与方向表示：z₁ = r₁∠θ₁，z₂ = r₂∠θ₂（这里 ∠ 表示「模为 r、辐角为 θ」）。先判断它们的积。

积 z₁z₂ 的模与辐角分别是多少？模是 r₁r₂，辐角是 θ₁ + θ₂模是 r₁ + r₂，辐角是 θ₁θ₂模是 r₁r₂，辐角是 θ₁ − θ₂

我卡住了 · 给一点提示

取最简单的例子：i 乘 i。两者的模都是 1、辐角都是 90°；积是 −1，模为 1、辐角为 180°。两条规则里哪一条能同时对上这三个数？

再具体一点

模 1 = 1×1（相乘），角度 180° = 90° + 90°（相加）。

看变化

两个箭头合出一个箭头

左侧图有两个可控的因子：滑杆分别给出 z₁ 与 z₂ 的模和辐角。青色箭头是积 z₁z₂，圆弧标出两个角与它们的和。

拖动辐角滑杆，会看到积的方向正好等于两个角之和（超过 180° 就绕回来，因为角度按整圈取模）；拖动模滑杆，积的长度等于两个长度之积。两个因素互不干扰，这一点很关键。

读数用两条独立路径给出同一个积：一条用代数公式 (ac − bd) + (ad + bc)i，另一条用模与辐角 r₁r₂ 与 θ₁ + θ₂。两条路径必须一致，这就是本课的自检方式。

把 θ₂ 拖到 −θ₁，两个角之和回到 0：积落在正实轴上，方向「抵消」了。把模都取 1，积始终在单位圆上——这时乘法就是纯粹的旋转。

搭推导

从三角形式到棣莫弗定理

① 乘法。把 z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) 与 z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂) 相乘，把实部与虚部分别用两角和公式合并，得到

$z_1z_2=r_1r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+\mathrm{i}\sin(\theta_1+\theta_2)\big]$

于是得到两条规则——模相乘、辐角相加：

$|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|$

$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\ \ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$

注意这里的辐角相加是对全体辐角成立的；如果两边都只取主值，等式可能差一个 2π，所以写的时候要注明「按整圈取模」。

② 除法是乘法的逆，规则正好反过来：模相除、辐角相减。

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\big[\cos(\theta_1-\theta_2)+\mathrm{i}\sin(\theta_1-\theta_2)\big]$

$\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2\ \ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\qquad(z_2\neq0)$

③ 把乘法重复 n 次，就得到棣莫弗定理。它把「求高次幂」从硬乘变成了「模取幂、角乘 n」：

$z^{n}=r^{n}\big[\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\big]\qquad(n\in\mathbb{Z})$

n 取负整数时靠除法定义，所以整条式子对全体整数成立。它的威力在下面立刻能看到。

④ 反过来解方程 zⁿ = w。把 w 写成 r∠θ，设 z = ρ∠φ，则要求 ρⁿ = r、nφ = θ + 2kπ。于是恰好有 n 个不同的根，均匀分布在一个圆上：

$z^{n}=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\quad\Longrightarrow\quadz_k=r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2k\pi)/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1)$

其中 r 的 1/n 次方取算术根（正实数）。当 w = 1 时就是 n 次单位根：

$z^{n}=1\quad\Longrightarrow\quadz_k=\mathrm{e}^{2k\pi\mathrm{i}/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1)$

为什么恰好 n 个而不是无穷多个？因为辐角虽然有无穷多个，但只有相差 2π 的整数倍才会给出不同位置，而 k 取 0 到 n−1 已经把所有位置取遍；再往下取就重复了。

前提与边界：上面所有式子都要求因子非零（零的辐角无定义）。单位根的个数是 n 个，前提是把辐角限制在主值区间再按 2π/n 分层；若不加限制，同一个点会被重复数无数次，得出「无穷多个根」的错误结论。

做迁移

用模与辐角算一次高次幂

z = 1 + i 的模是 √2、辐角是 π/4。那么 z⁸ 等于多少？16−1616i

用自己的话说：为什么「模相乘、辐角相加」能让高次幂的计算变简单？举一个你自己算过的例子。

写完后，对照解释要点

直接展开 (a+bi)ⁿ 要算 n 次二项式乘法，项数会迅速膨胀；用三角形式则只需一步：模取 n 次幂、辐角乘以 n。代价是要先把代数形式转成三角形式，而且要注意辐角按整圈取模。例：(1+i)⁸ 用两步就得到 16。

接下来练什么去做 H05、H06、H07；开方后记得核对根的个数。打开习题 →

05 / 两张地图

复变函数画在哪里？

学完能做到：说明 w = f(z) 是把 z 平面映到 w 平面，并读出简单映射对图形的作用。

先预测

一条直线会被弯成什么？

一个复变函数 w = f(z) 同时给出两个实函数 u(x, y) 与 v(x, y)。它不能像 y = f(x) 那样画在一张纸上，因为输入和输出各需要一张平面。先判断一个熟悉的例子。

f(z) = z² 把 z 平面上的一条水平直线 y = y₀（y₀ ≠ 0）映成什么？还是一条水平直线一条抛物线一个圆

我卡住了 · 给一点提示

把 z = x + iy₀ 代进去，先用乘法公式算出 z² 的实部与虚部，再看这两个数之间有没有简单关系。

再具体一点

z² = (x + iy₀)² = (x² − y₀²) + 2xy₀i。把 u = x² − y₀² 与 v = 2xy₀ 里的 x 消掉，就得到 u 与 v 的关系式。

看变化

让整张图一起动

左侧是 z 平面、右侧是 w 平面。先用下拉框选映射（z²、1/z、z + 1），再选一条参考图形（竖直线、水平线或圆）并拖动参数 c。左右两张图同时画出原像与像。

盯住像的形状：平方把竖直线弯成抛物线、把水平线弯成另一条开口方向的抛物线；加常数只是整体平移，形状不变；取倒数则会把不过原点的直线拉成一个圆。

读数给出像的方程或关键特征。曲线是逐点算出来的：在 z 平面上取一串参数点，每一点算出 w 再连起来，所以曲线与读数用的是同一套计算。

把参数拉到极端值会出现退化：参考直线过原点（c = 0）时，1/z 的像变成一条直线而不是圆；c 取 0 的圆根本不存在。这说明「直线映成圆」这类说法都需要前提，写结论时要一起写出来。

搭推导

把映射写成两个实函数

① 定义。一个复变函数就是一对二元实函数：

$w=f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}\,v(x,y)$

输入 z 取遍一个区域，输出 w 也落在复平面上，所以它在几何上是一张平面到另一张平面的映射，画图时要两张纸。

② 三个必须先看清楚的例子。

· 线性映射：

$f(z)=\alpha z+\beta\qquad(\alpha,\beta\in\mathbb{C})$

。当 α ≠ 0 时它是旋转（arg α）加伸缩（|α|）再加平移；当 α = 0 时整个平面被压成一个点。它是唯一一类「把直线映成直线、把圆映成圆」的映射。

· 倒数映射：

$w=\frac{1}{z}=\frac{\bar z}{|z|^2}\qquad(z\neq0)$

。它把原点挖掉，是一个对合变换（做两次回到原样）。下一课会看到它把不过原点的直线映成圆。

· 幂映射 z²：模平方、辐角加倍，因此上半平面（0 < arg z < π）正好被摊开覆盖整个平面一次。这件事在解答「角形区域里的静电场」时很常用。

③ 什么时候映射是一对一的。z² 不是：z 与 −z 映到同一点。所以求反函数时必须先挑一个区域（例如去掉原点、把辐角限制在 (−π, π)），这就是「分支」的雏形。第 08 课的根式与对数会正式用到它。

前提与边界：讨论映射时要同时交代定义域。1/z 在原点无定义，z² 在整个平面有定义但不是一对一的；「像」这个词也只有指定了原像集合以后才有意义。

做迁移

过原点的直线映成什么？

w = 1/z 把 z 平面上一条过原点的直线映成什么？仍然是一条过原点的直线，方向反过来一个圆一条抛物线

用自己的话说：为什么复变函数要画成「两张平面」？如果只用一张纸画出 u 或 v，会丢掉什么？

写完后，对照解释要点

因为输入与输出都是二维的，各自需要一个平面。只画 u 或 v 的一张图，等于只看到一个实分量随 (x, y) 的变化，丢掉了两个分量之间的耦合关系（例如「辐角加倍」这种整体信息）。复变函数的很多性质是整体性的，所以要用两张平面同时看，或者用「模与辐角如何变化」来概括。

接下来练什么去做 H08；映射题先写出 u、v 再消参数。打开习题 →

06 / 沿哪个方向趋近？

复导数的极限，凭什么比实导数要求更高？

学完能做到：写出复导数定义，说明沿实轴与沿虚轴必须给出同一结果，并据此推出柯西–黎曼方程。

先预测

沿实轴趋近，差商趋于多少？

实函数的导数里，自变量只能从左右两侧趋近。复数不一样：Δz 可以从任何方向趋近 0。先算一个方向。

设 f(z) = z̄。沿实轴方向（Δz = Δx 是实数）趋近 z₀，差商 [f(z₀+Δz) − f(z₀)] / Δz 趋于多少？1−1取决于 z₀ 的位置

我卡住了 · 给一点提示

沿实轴时 Δz 是实数，所以它的共轭还是自己。把 z₀ + Δz 代入 f(z) = z̄ 再相减，看看剩下什么。

再具体一点

f(z₀ + Δz) − f(z₀) = (z̄₀ + Δz̄) − z̄₀ = Δz̄ = Δz，所以差商恒为 1。

看变化

换个方向，差商跑到哪里去了？

左侧图固定 z₀ = 1 + i，滑杆控制 Δz 的方向（长度取一个很小的固定值）。青色箭头是差商的值，灰色箭头是此前各个方向留下的记录。

对 f(z) = z²，所有方向的差商箭头都指向同一个点——极限存在；把函数换成 f(z) = z̄，差商箭头随方向绕出一个圆，永远找不到共同的终点。

读数列出沿实轴方向与沿虚轴方向的差商值，以及它们的差。这就是复可导比实可导强的地方：不是只看左右两个方向，而是要求沿所有方向同一个极限。

把方向连续转一圈，注意 z² 的差商图形是「一个点」，而共轭的差商图形是「一个圆」——后者的模恒为 1，方向随 Δz 的方向反向旋转。

搭推导

从「沿两个方向」到柯西–黎曼方程

① 导数定义。形式与实函数一样，但 Δz 可以沿任意路径趋近 0：

$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

若这个极限存在，且与趋近方式无关，就说 f 在 z₀ 可导。把

$\Delta z=\Delta x+\mathrm{i}\,\Delta y$

代入，并记 f = u + iv。

② 先沿实轴方向取 Δy = 0，此时极限变成一个关于 x 的实偏导数：

$f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=u_x+\mathrm{i}\,v_x$

③ 再沿虚轴方向取 Δx = 0（即 Δz = iΔy）：

$f'(z_0)=v_y-\mathrm{i}\,u_y$

④ 两条路必须给出同一个数，把实部与虚部分别相等，就得到柯西–黎曼方程：

$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

它是复可导的必要条件（前提：u、v 在这一点存在偏导数）。反过来，若 u、v 可微且满足 CR 方程，则 f 可导——这条充分性需要「可微」这个前提，只查偏导存在是不够的，这正是习题 H08 要检验的点。

⑤ 再求一次偏导，立刻得到一个惊人的结论：u 与 v 都满足拉普拉斯方程。

$\nabla^2u=u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad\nabla^2v=v_{xx}+v_{yy}=0$

所以解析函数的实部与虚部都是调和函数。这一条把复分析和静电势、稳定温度场、理想流体势直接连了起来。

⑥ 解析的定义。如果 f 在 z₀ 的某个开圆盘内处处可导，就说 f 在 z₀ 解析；若在一个开区域 G 内处处解析，就说 f 在 G 内解析（全纯）。注意「开区域」这个词：只在孤立一点满足 CR 方程不算解析。

把「可导」与「解析」分开：可导是一个点的性质，解析要求一个开邻域。历史上人们先有 CR 方程，后来才意识到「区域内处处可导」这个条件强得惊人——解析函数由一小段就能决定整体。

做迁移

一个只在原点满足 CR 的例子

f(z) = |z|² 在 z = 0 处满足 CR 方程吗？它在 0 处解析吗？满足 CR 方程，但不解析不满足 CR 方程，也不解析满足 CR 方程，并且解析

用自己的话说：为什么「Δz 可以从任意方向趋近」会让复可导变成一个很强的条件？它比实可导多要求了什么？

写完后，对照解释要点

实可导只看两个方向（左、右），条件较弱；复可导要求沿无穷多个方向的极限都相同，这迫使实部与虚部之间产生一对偏微分方程（CR 方程）。于是「可导」不再只是光滑，而是一个刚性很强的结构约束：解析函数的取值彼此高度关联，不能随意拼凑。

接下来练什么去做 H08、H09；判别解析性时先写 u、v，再查 CR 与邻域。打开习题 →

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00 / START WITH A QUESTION

把「不存在的数」变成一张地图

三次方程求根时会撞上负数的平方根，交流电、机械振动与量子相位又都在用 e 的虚指数。复数不是为了让某一个方程有解而硬塞进来的记号，而是一种把「长度与方向」一起放进运算里的语言。

情境 A · 出身

从「无解」到「有结构」

方程 x² + 1 = 0 在实数里没有解。补上一个数 i 之后，不仅这个方程有解，而且每个 n 次多项式方程都恰好有 n 个复根（代数基本定理）。所以复数不是「把实数加一个怪物」，而是把数轴扩展成平面，让数系在代数上闭合。历史上真正推动它的不是二次方程，而是三次方程的求根公式：即使三个根都是实数，中间也会被迫经过负数开方。

情境 B · 用途

为什么物理离不开它

简谐振动、交流电路的相量、平面电磁波、量子力学波函数，核心都是同一个对象：单位圆上的点，也就是 e 的虚指数。它把 cos 与 sin 合成一个指数，于是「两个三角函数混在一起」的运算变成「指数相加减」。更深的用途是复变函数：共形映射用来解二维静电场与流体问题，留数定理用来算实积分与级数求和。

三次学习的安排

第一次：建立几何语言。完成短课 01–03，掌握有序对、四则运算、共轭、模与辐角，以及代数形式与三角形式的换算。
第二次：掌握运算与映射。完成短课 04–05 与典例 1–5，把乘除看成旋转伸缩，把复变函数看成两张平面之间的映射。
第三次：进入分析。完成短课 06、典例 6–8、深度思考与课后题，理解复可导、解析与柯西–黎曼方程，最后查看统一答案并重写自己的错误解释。

先修：实数运算与不等式、三角函数与两角和公式、一元函数微分（导数的定义与求导法则）、偏导数的记号。线性代数与矩阵不作要求。

层级标记：主线适合课程考核；方法进阶需要一点实分析或微分方程知识；前沿窗口用于建立与物理、几何的联系，不作为未讲先考的内容。

01 / MAP

先看清知识的骨架

本册不要求背下所有公式；要掌握的是「表示 → 运算 → 映射 → 可导 → 解析」这条链，以及每一步依赖的前提。

对象 / 概念	回答的问题	不可越过的边界
有序对 (a, b)	复数究竟是什么？	它不是「实数加虚数」，两个分量独立、互不合并
四则运算	怎样加减乘除？	除法靠乘共轭；分母为零时无定义
共轭 z̄	怎样把虚部翻号？	共轭不等于取相反数；z̄ = z 当且仅当 z 是实数
模 \|z\|	复数有多大？	模是非负实数；复数本身不能比大小
辐角 Arg z	复数指向哪里？	多值；arg 0 无定义（不是等于零）
三角形式	长度与方向怎样写成式子？	要求 z ≠ 0；辐角要说明是否取主值
棣莫弗定理	幂与根怎样算？	指数为整数；n 次方程恰好有 n 个根
复变函数 f(z)	平面怎么映到平面？	需要两张图；求反函数要先挑分支
极限与连续	f(z) 在一点附近怎样？	复数极限要求沿所有方向同一个值
导数与 CR 方程	什么时候可导？	CR 是必要条件；充分性要加「可微」
解析函数	什么样的函数算「好」？	依赖开区域；孤立点可导不算解析
初等函数	指数、对数、三角在复平面上怎样？	指数周期 2kπi；对数与幂多值

符号约定：复数记 z = a + bi（a、b 为实数），共轭记 $\bar z$ ，实部与虚部记 $\operatorname{Re}z$ 、 $\operatorname{Im}z$ 。模记 $|z|$ ，辐角的主值记 $\arg z$ （取值在 (−π, π]），全部辐角记 $\mathrm{Arg}\,z$ 。三角形式里的角度一律按弧度；需要按整圈取模时会写「mod 2π」。复变函数记 w = f(z)，实部与虚部记 u、v。

存在性说明：不是每个式子对所有点都有意义。arg z、1/z、 $\mathrm{Ln}\,z$ 都在原点失效；CR 方程要求偏导数存在；解析要求开区域。写结论时把这些前提一起写出来，比多背一条公式有用得多。

02 / DEFINITION AND ALGEBRA

复数：一对实数，一套乘法

先把「复数是什么」定清楚，后面的几何才有落脚点。

2.1 从「无解」到有序对

方程 x² = −1 在实数里无解。补一个记号 i 并规定 i² = −1 之后，形如 a + bi（a、b 为实数）的表达式就能像实数一样做四则运算。但更干净的写法是把复数直接定义为一对有序实数 (a, b)，并规定

$(a+b\,\mathrm{i})+(c+d\,\mathrm{i})=(a+c)+(b+d)\,\mathrm{i}$

$(a+b\,\mathrm{i})(c+d\,\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm{i}$

把第二个式子写成 a + bi 的形式，就是中学里熟悉的展开规则。这样定义之后，i 不是一个「新实体」，而只是 (0, 1) 这个有序对的记号；而「复数就是平面上的点」也从类比升级成了定义本身。

两个复数相等的条件因此是两条：

$a+b\,\mathrm{i}=c+d\,\mathrm{i}\quad\Longleftrightarrow\quad a=c\ \ \mathrm{and}\ \ b=d$

一个复数携带两条独立的信息，这是本册后面所有讨论的起点。

2.2 四则运算与除法技巧

减法按分量做，乘法按分配律展开。除法的做法是把分母实数化：分子分母同乘分母的共轭，利用 z·z̄ = a² + b² 这一条恒等式。

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z}_2}{z_2\bar{z}_2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\,\mathrm{i}\qquad(z_2\neq0)$

$z\bar{z}=(a+b\,\mathrm{i})(a-b\,\mathrm{i})=a^2+b^2$

只要分母不为零，除法总有定义；这是复数比实数「更好算」的地方之一：在复数域里，非零元总有乘法逆元，没有任何例外。

随堂 1 · 设 z = 2 − 3i。下面哪一句正确？ A. 共轭是 $\bar z$ = −2 + 3i B. 共轭是 $\bar z$ = 2 + 3i，模是 √13 C. 模是 $|z|$ = 2 + 3 = 5 D. 实部是 2，虚部是 3i 文末解析 ↗

2.3 共轭、实部与虚部

共轭只把虚部的符号翻过来。利用它可以干净地取出实部与虚部，也能把分母实数化：

$\overline{a+b\,\mathrm{i}}=a-b\,\mathrm{i}$

$\operatorname{Re}z=\frac{z+\bar z}{2},\qquad\operatorname{Im}z=\frac{z-\bar z}{2\,\mathrm{i}}$

$\overline{z_1\pm z_2}=\bar z_1\pm\bar z_2,\qquad\overline{z_1z_2}=\bar z_1\,\bar z_2,\qquad\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2\ \ (z_2\neq0)$

共轭还有一条几何解释：关于实轴的镜像。这条解释在第 03 课会用到，它也是理解「 $\bar z$ 不解析」的关键。

2.4 复数为什么不能比大小

不能写 z₁ < z₂，不是因为「还没定义」，而是任何定义都做不到与四则运算相容。实数上的顺序有两条基本性质：正数之和为正、正数之积为正。若把这两条照搬到复数，就会出现矛盾——假设 i > 0，则 i·i = −1 应当是正数，与 −1 < 0 冲突；假设 i < 0，则 −i > 0，于是 (−i)(−i) = −1 又应当是正数，同样矛盾。所以复数只能谈模的大小、辐角的顺序，不能谈整个数的大小。这个结论在深度思考第 1 题会再展开。

随堂 2 · 计算 1 / (3 + 4i)，正确结果是？ A. 1/3 + (1/4)i，逐项取倒数即可 B. (3 − 4i)/25 = 0.12 − 0.16i，因为分母乘共轭后等于 25 C. (3 + 4i)/25，分子分母同乘原分母 D. 不存在，因为分母含有虚部文末解析 ↗

03 / COMPLEX PLANE AND POLAR FORM

复平面：长度与方向

同一个复数有两种读法：直角坐标 (a, b) 与极坐标 (r, θ)。两种读法各有各的用处。

3.1 复平面与向量

把复数 z = a + bi 对应到平面上的点 (a, b)，就得到复平面（高斯平面）：横轴叫实轴，纵轴叫虚轴。写法上记住这个对应关系即可：

$z=a+b\,\mathrm{i}\quad\longleftrightarrow\quad (a,\,b)$

$z=a+b\,\mathrm{i},\qquad a,\,b\in\mathbb{R}$

在这个对应下，复数加法与平面向量加法完全一致：首尾相接画出来是一个平行四边形。但乘法没有向量的对应物——它是复平面独有的结构，下一节会看到它的几何含义。

3.2 模与辐角

模是从原点到 z 的距离，辐角是从正实轴逆时针量到 z 的方向的角度：

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\geq0$

$\theta=\arg z\ \iff\ \cos\theta=\frac{a}{r},\ \ \sin\theta=\frac{b}{r}\qquad(z\neq0)$

由于绕原点转一整圈回到同一点，同一个非零复数有无穷多个辐角：

$\mathrm{Arg}\,z=\arg z+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

把所有辐角限制在 (−π, π] 之内，得到唯一的主值：

$-\pi<\mathrm{Arg}\,z\leq\pi$

记号上把「主值」写成 $\arg z$ ，把「全部辐角」写成 $\mathrm{Arg}\,z$ ，两者差 2kπ。混淆它们会在求根时得到错误的根个数。

关于原点的两条边界：第一， $z\neq0$ 是辐角有定义的唯一前提——零向量的长度是 0，没有方向，Arg 0 不是「等于零」而是「不存在」；第二，辐角函数在负实轴上不连续（从上方趋近得到接近 π，从下方趋近得到接近 −π），所以使用主值时要留意割线位置。

随堂 3 · z = −i 的辐角主值是多少？ A. π/2，因为它在虚轴上 B. −π/2，因为它落在负虚轴上，主值在 (−π, π] C. π，因为它与正实轴相反 D. 0，因为它的实部为零文末解析 ↗

3.3 三角形式与共轭的几何

用长度和角度重写同一个数，就得到三角形式：

$a=r\cos\theta,\qquad b=r\sin\theta$

$z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$

反过来从三角形式回到代数形式，就是代入 a = r cos θ、b = r sin θ。共轭在几何上关于实轴做镜像，因此不改变长度、只把角度反号：

$|z|=|\bar z|,\qquad\arg\bar z=-\arg z$

再补一条常用来估界的三角不等式，它说的就是「两点之间直线最短」：

$|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$

最后提醒一个记号升级：后面会引入指数记号 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ ，把三角形式写成 r· $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 。那时「乘法让辐角相加」会自动变成「指数相加」，这就是它在物理里无处不在的原因。

随堂 4 · 关于模，下面哪一句恒成立？ A. 模的乘积性：|z₁z₂| = |z₁||z₂| B. |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| 对任意复数都成立 C. $|z|$ 可以取负值，只要方向相反 D. |z|² = z² 文末解析 ↗

04 / GEOMETRY OF MULTIPLICATION

乘法：一次旋转加一次伸缩

这是复数最有用的性质，也是它区别于平面向量的地方。

4.1 模相乘、辐角相加

把两个因子都写成三角形式再相乘，用两角和的正弦余弦公式合并实部与虚部，得到

$z_1z_2=r_1r_2\big[\cos(\theta_1+\theta_2)+\mathrm{i}\sin(\theta_1+\theta_2)\big]$

于是乘法对两个因子的作用分别是：长度相乘、方向相加。

$|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|$

$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\ \ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$

读法上要小心一件事：辐角相加的等式是对全体辐角成立的；若两边都只取主值，结果可能相差 2π，所以要写「按整圈取模」。这条规则最直观的例子是「乘 i 等于转 90°」，第 01 课已经用过。

4.2 除法与倒数

除法是乘法的逆运算，规则反过来：长度相除、方向相减。

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\big[\cos(\theta_1-\theta_2)+\mathrm{i}\sin(\theta_1-\theta_2)\big]$

$\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2\ \ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\qquad(z_2\neq0)$

特别地，倒数映射 w = 1/z 把 z = r∠θ 变成「长度取倒数、方向反号」。它是理解「直线为什么能映成圆」的关键，典例 6 会算一个具体例子。

4.3 棣莫弗定理与单位根

把乘法重复 n 次，就得到棣莫弗定理：

$z^{n}=r^{n}\big[\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\big]\qquad(n\in\mathbb{Z})$

它的用处是把「求高次幂」从反复展开变成一次乘法：模取 n 次幂，辐角乘以 n。反过来解方程 zⁿ = w 时，把两边都写成极坐标，就得到恰好 n 个根：

$z^{n}=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\quad\Longrightarrow\quadz_k=r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2k\pi)/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1)$

取 w = 1 得到 n 次单位根，它们均匀分布在单位圆上：

$z^{n}=1\quad\Longrightarrow\quadz_k=\mathrm{e}^{2k\pi\mathrm{i}/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1)$

这些根还有一个漂亮的整体性质：它们的和为零（等比数列求和即可看出，见典例 3）。根恰好 n 个这个计数依赖「辐角取主值再按 2π/n 分层」；不加限制就会把同一个点重复数无数次。

随堂 5 · 设 z₁ = 2∠30°、z₂ = 3∠(−60°)。它们的积是多少？ A. 6∠(−30°) B. 5∠(−30°)，模相加、角相加 C. 6∠(−90°)，角相减 D. 6∠90°，角取绝对差文末解析 ↗

随堂 6 · 关于方程 z⁵ = 1 的解，下面哪一句正确？ A. 只有 z = 1 一个解 B. 恰好有 5 个解，均匀分布在单位圆上，且五者之和为零 C. 有无穷多个解，因为辐角可以加任意多个 2π D. 有 5 个解，它们的模各不相同文末解析 ↗

05 / COMPLEX FUNCTIONS AS MAPPINGS

复变函数：一张平面到另一张平面

把 f 理解为「搬动整张平面」的规则，很多结论会变得直观。

5.1 定义

一个定义在区域 $G\subset\mathbb{C}$ 上的复变函数，就是把每个 z 对应到一个 w。把它按实部虚部拆开：

$w=f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}\,v(x,y)$

也就是说，一个复变函数等价于一对二元实函数。注意方向：u 与 v 都依赖同一个 (x, y)，两个分量不能各自独立选取——它们之间的耦合关系正是复分析的内容。

5.2 三个必须看清楚的例子

线性映射。

$f(z)=\alpha z+\beta\qquad(\alpha,\beta\in\mathbb{C})$

。α ≠ 0 时它是「旋转 arg α、伸缩 |α|、平移 β」三步的合成；α = 0 时整个平面塌成一个点。它是唯一把直线映成直线、把圆映成圆的一类映射。

倒数映射。

$w=\frac{1}{z}=\frac{\bar z}{|z|^2}\qquad(z\neq0)$

。它把去掉原点的平面映回自身，并且是对合的：连续做两次回到原样。它把过原点的直线映成过原点的直线，把不过原点的直线映成过原点的圆（见典例 6）。

平方映射 w = z²。写成极坐标立刻看出：模平方、辐角加倍。于是 0 < arg z < π 的上半平面被摊开覆盖整个平面恰好一次；竖直直线映成抛物线，同心圆映成同心圆（半径取平方）。

随堂 7 · w = z² 把单位圆 |z| = 1 映成什么？ A. 还是单位圆，但 z 绕一圈时 w 绕两圈 B. 半径为 2 的圆 C. 一条直线 D. 一条抛物线文末解析 ↗

5.3 单值性与分支

z² 不是一对一的：z 与 −z 映到同一点，所以它没有单值的反函数。要定义「平方根函数」，必须先把定义域切开，例如只取 −π < arg z < π 的那一片；切开处就是分支割线。第 08 课的根式与对数函数都要用到这个技巧。本册只要求理解这个思想，不要求构造黎曼面。

06 / LIMITS AND DERIVATIVES

极限、连续与导数

形式与实函数一模一样，但「趋近」的含义变强了。

6.1 极限与连续

复函数极限的定义，是把实距离换成复数的模：

$\lim_{z\to z_0}f(z)=A\ \iff\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ 0<|z-z_0|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(z)-A|<\varepsilon$

关键差别在于 z → z₀ 是平面上从任意方向趋近，而不是只从左右两侧。因此复极限的存在是一个更强的要求。连续则照常定义：

$\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$

在一点连续，意味着该点附近函数值不会跳变。这一条在判断「什么时候可以先取极限再取实部」时会用到（第 09 节的相量法依赖它）。

6.2 导数与「方向无关」

导数定义与实函数同形，但 Δz 是复增量，可以沿任意方向趋近 0：

$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

$\Delta z=\Delta x+\mathrm{i}\,\Delta y$

如果这个极限存在，并且与 Δz 的趋近方向无关，就说 f 在 z₀ 可导。这句话包含两层要求：极限存在（差商有界）、极限唯一（各方向一致）。第 06 课用两个方向的差商做了演示：对 z² 各方向差商收敛到同一点，对共轭 z 则绕出一个圆。

随堂 8 · 关于 f(z) = 共轭 z，下面哪一句正确？ A. 处处可导，导数为 1 B. 处处不可导：沿实轴与沿虚轴的差商分别是 1 与 −1 C. 只在实轴上可导，因为那里差商恒为 1 D. 只在原点可导，因为原点是唯一的对称点文末解析 ↗

方法进阶「沿实轴方向的差商存在」并不等于「在该点可导」：可导要求所有方向的差商都趋于同一个数。C 选项正是这个误解，而 D 选项错在把「共轭在原点等于自身」误当成可导的证据。

07 / ANALYTICITY AND CR EQUATIONS

解析：区域内处处可导

复可导把实部与虚部绑在一起，写成偏微分方程就是柯西–黎曼方程。

7.1 柯西–黎曼方程

把导数定义沿两个特殊方向展开。沿实轴方向取 Δy = 0：

$f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}=u_x+\mathrm{i}\,v_x$

沿虚轴方向取 Δx = 0（即 Δz = iΔy）：

$f'(z_0)=v_y-\mathrm{i}\,u_y$

两条路必须给出同一个数，于是实部、虚部分别相等：

$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

这就是柯西–黎曼方程。它的地位是必要条件：只要 f 在一点可导，u、v 在该点就必满足 CR 方程（前提是四个偏导数存在）。所以 CR 方程是「筛掉绝大多数函数」的快速工具：不满足就一定不可导。

7.2 充分性与解析的定义

反过来说，如果 u、v 在 z₀ 的某个邻域内可微且满足 CR 方程，那么 f 在 z₀ 可导。这里「可微」这个词不能省：只检验四个偏导数存在是不够的，因为偏导数存在并不能保证函数在该点可微。这条充分性把 CR 方程从「筛子」升级成「判据」。

接下来是解析的定义，它比可导多一个词：

定义。若 f 在 z₀ 的某个开圆盘内处处可导，则称 f 在 z₀ 解析；若 f 在开区域 G 内处处可导，则称 f 在 G 内解析（全纯）。

「开区域」这三个字是全部关键。它带来的第一个结论就是解析函数无穷可导：只要在开区域内解析，f 就有任意阶导数，而且可以展开成幂级数。这与实函数形成鲜明对比——实函数可以一次可导但不二次可导（例如 x|x|），复函数做不到。

7.3 调和函数与物理联系

把 CR 方程再求一次偏导（利用混合偏导可交换），得到

$\nabla^2u=u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad\nabla^2v=v_{xx}+v_{yy}=0$

也就是说，解析函数的实部与虚部都满足二维拉普拉斯方程，都是调和函数。这一条把复分析与物理直接连起来：二维静电场中无电荷区域的电势、稳定温度分布、理想流体的速度势，都满足拉普拉斯方程，于是都能用解析函数来构造。这也是「共形映射解边值问题」这一整套方法的入口。

7.4 判别表：几个常见函数

函数	u、v	是否满足 CR	是否解析
f(z) = z²	u = x² − y²，v = 2xy	处处满足	处处解析，f′(z) = 2z
f(z) = 共轭 z	u = x，v = −y	处处不满足（u_x = 1，v_y = −1）	处处不解析
f(z) = \|z\|²	u = x² + y²，v = 0	只在原点满足	不解析（原点无开邻域）
f(z) = e^z	u = e^x cos y，v = e^x sin y	处处满足	处处解析，f′(z) = e^z
f(z) = 1/z	u = x/(x²+y²)，v = −y/(x²+y²)	在 z ≠ 0 处满足	在 z ≠ 0 处解析

随堂 9 · f = u + iv 在某开区域内解析。下面哪一句必然成立？ A. u 与 v 都满足拉普拉斯方程，都是调和函数 B. u 与 v 可以各自任意选取，只要拼起来满足 CR C. 模函数 |f| 也在该区域内解析 D. 只要 u 是调和函数，f = u + iv 就一定解析文末解析 ↗

前沿窗口由 CR 方程出发还能得到更多：解析函数的实部唯一决定虚部（相差一个常数），这叫「共轭调和函数」；而性质更惊人的是解析延拓——一个解析函数在任意小的区域上的取值就锁定了它在整片连通区域上的取值。深度思考第 3 题会讨论这件事。

08 / ELEMENTARY FUNCTIONS

指数、对数与幂：把周期写进指数

复指数不是「把实数指数硬套过来」，而是唯一保持指数律的推广；代价是它变成周期函数，对数随之多值。

8.1 复指数 e^z

我们当然希望复指数保留实指数最重要的两条性质：在实轴上与 e^x 一致，并且满足指数律 e^{z₁+z₂} = e^{z₁}e^{z₂}。把 z 写成 x + iy，指数律要求

e^z = e^x · e^{iy}。

其中 e^x 是熟悉的实指数，剩下的只有 e^{iy}。要让它满足指数律并保持「单位长度」，唯一的定义方式就是欧拉公式：

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$

把它代回去，就得到复指数的完整定义：

$\mathrm{e}^{z}=\mathrm{e}^{x}(\cos y+\mathrm{i}\sin y)$

$\mathrm{e}^{z_1}\mathrm{e}^{z_2}=\mathrm{e}^{z_1+z_2},\qquad\mathrm{e}^{z}\neq0,\qquad\mathrm{e}^{z+2k\pi\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{z}$

由此读出复指数最重要的一条结构信息：模只由实部决定，辐角只由虚部决定。

$|\mathrm{e}^{z}|=\mathrm{e}^{x},\qquad\arg\mathrm{e}^{z}=y+2k\pi$

于是 e^z 以虚方向为周期：沿竖直方向每走 2π，辐角转满一圈，函数值回到原处。

$\mathrm{e}^{z_1}\mathrm{e}^{z_2}=\mathrm{e}^{z_1+z_2},\qquad\mathrm{e}^{z}\neq0,\qquad\mathrm{e}^{z+2k\pi\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{z}$

中的第三条就是这个意思。取 z = iπ 得到著名的一行式 e^{iπ} + 1 = 0。

复指数永远不会取零值（模恒为正），但它会在「水平方向」上无界增长、在「竖直方向」上周期性绕圈——这正是本册短课 06 的演示内容。

随堂 10 · 关于 e^z 的周期性，下面哪一句正确？ A. e^{z + 2πi} = e^z，周期沿虚轴方向、长度为 2π B. e^{z + 2π} = e^z，周期沿实轴方向 C. e^z 不是周期函数，因为它在水平方向无界 D. e^{z + iπ} = e^z，周期长度为 π 文末解析 ↗

8.2 复对数 Ln z

既然 e^z 是周期的，它就不是一对一的，反函数只能多值。设 z = r e^{iθ}，则满足 e^w = z 的全部 w 是

$\mathrm{Ln}\,z=\ln|z|+\mathrm{i}\,\mathrm{Arg}\,z=\ln r+\mathrm{i}(\theta+2k\pi)\qquad(z\neq0)$

把辐角限制在主值区间，得到主值对数：

$\ln z=\ln r+\mathrm{i}\theta,\qquad\theta\in(-\pi,\pi]$

写 $\mathrm{Ln}\,z$ 时是整族值（多值函数），写 $\ln z$ 时是主值。第一件反直觉的事：负数有对数。例如 −1 的模是 1、辐角是 π，于是

$\mathrm{Ln}(-1)=(2k+1)\pi\,\mathrm{i},\qquad\ln(-1)=\pi\,\mathrm{i}$

第二件事：对数的乘积律要加「按 2πi 取模」的注记，因为辐角相加会跳出主值区间。

$\mathrm{Ln}(z_1z_2)=\mathrm{Ln}\,z_1+\mathrm{Ln}\,z_2\ \ (\mathrm{mod}\ 2\pi\mathrm{i})$

第三件事： $\ln z$ 在原点无定义，也不是「等于负无穷」——原点根本不在定义域里；同时它在负实轴上不连续（因为主值辐角在那里从 π 跳到 −π），这条不连续的射线就是分支割线的常见位置。

随堂 11 · 关于复对数，下面哪一句正确？ A. Ln(−1) 无定义，因为负数不能取对数 B. $\mathrm{Ln}\,z$ 是多值的：值为 ln|z| + i(Arg z)，其中 Arg z = arg z + 2kπ C. 在 z = 0 处 $\mathrm{Ln}\,z$ 等于负无穷 D. 对数律是 Ln(z₁z₂) = (Ln z₁)(Ln z₂) 文末解析 ↗

8.3 复幂、根式与 i 的 i 次幂

有了对数就能定义一般的复幂：

$a^{b}=\mathrm{e}^{b\,\mathrm{Ln}\,a}\qquad(a\neq0,\ b\in\mathbb{C})$

只要指数不是整数，这个幂就是多值的——因为 Ln a 多值。取 a = b = i 会得到一个非常反直觉的结果：i 的 i 次幂全是实数。

$\mathrm{i}^{\mathrm{i}}=\mathrm{e}^{-\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}\qquad(k\in\mathbb{Z})$

根式也是同样一回事： $z^{n}$ = w 的 n 个根就是第 04 课的单位根平移结果，写成

$z^{n}=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\quad\Longrightarrow\quadz_k=r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2k\pi)/n}\qquad(k=0,1,\dots,n-1)$

的形式。使用它们时始终要问一句：这里的根号指的是哪一个分支？

8.4 复三角函数

把欧拉公式反解，就用指数定义出复三角：

$\cos z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2},\qquad \sin z=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z}}{2\,\mathrm{i}}$

这样定义的三角函数在实轴上与实三角完全一致，但性质变了：它们不再有界。

$\cos(\mathrm{i}y)=\cosh y,\qquad\sin(\mathrm{i}y)=\mathrm{i}\sinh y$

因为 cosh y = (e^y + e^{−y})/2 在 y 增大时按指数增长，所以 |cos(iy)| 可以任意大。这说明「三角函数的界」是实轴上的特殊现象，而不是三角函数固有的性质。

09 / COMPLEX NUMBERS IN PHYSICS

物理中的复数：相量与振动

物理里最常用到的，不是复变函数的深定理，而是「用复指数表示振动、最后取实部」这一套操作。它之所以合法，是因为取实部与线性运算可以交换。

9.1 简谐振动的复指数表示

一个简谐振动可以写成振幅与相位都很清楚的复指数形式：

$u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi)\quad\longleftrightarrow\quad\tilde{U}=U_m\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$

$\cos\theta=\operatorname{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)$

这里 $\omega$ 是角频率、 $\varphi$ 是初相。把「取实部」这一步留到最后再做的理由：三角函数之间的加减要背一大堆和差化积公式，而指数相乘只要指数相加。

9.2 同频叠加与相量

两个同频振动相加时，复指数形式的振幅部分可以当作平面上的箭头（相量）直接相加：

$A_1\cos\theta+A_2\cos\theta=\operatorname{Re}\left[(A_1+A_2)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right]$

推广到不同振幅与不同相位，合振幅与合相位就是两个相量之和的模与辐角——这正是把三角恒等式题变成向量加法题的原因，见典例 8 与习题 H11。

什么时候这套做法不成立？取实部只能与线性运算交换。一旦出现非线性的操作（比如把两个信号相乘、取平方、取绝对值），就必须先把复数结果取实部再算，否则会引入虚假的项。这条边界在非线性光学、混频电路里是必须检查的步骤。

9.3 复阻抗（一句话）

同一个思想在交流电路里叫复阻抗：电阻给出实数 R，电感给出 iωL，电容给出 1/(iωC)，三者像电阻一样串联相加，而相位差自动出现在复数的辐角里。这套语言能在后续的交流电路与波动课程里直接使用。

10 / WORKED MODELS

典例工具箱：把表示、运算与判别串起来

每个典例都给出完整题设、关键步骤和自检。先自己写出第一步，再展开分析。

典例 1

复数的四则与两种核对

设 z₁ = 3 + 4i、z₂ = 1 − 2i。求 z₁z₂、z₁/z₂，并给出 z₁ 的模与辐角主值。

展开分析与推导

乘法：按分配律展开再用 i² = −1 化简。

z₁z₂ = (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i。

除法：分子分母同乘分母的共轭 1 + 2i，分母变成 |z₂|² = 1² + 2² = 5。

z₁/z₂ = (3 + 4i)(1 + 2i)/5 = (3 + 6i + 4i + 8i²)/5 = (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i。

模与辐角：|z₁| = √(3² + 4²) = 5。z₁ 落在第一象限，辐角主值 θ = arctan(4/3) ≈ 0.9273 rad ≈ 53.13°。

典例 2

用棣莫弗定理算 (1 + i)¹⁰

计算 (1 + i)¹⁰，并说明为什么这条路径比直接展开更快。

展开分析与推导

方法：先把底数转成极坐标。1 + i 的模是 √2，辐角主值是 π/4。

按棣莫弗定理，模取 10 次幂、辐角乘以 10：

|z|¹⁰ = (√2)¹⁰ = 2⁵ = 32，辐角 = 10 × π/4 = 5π/2 ≡ π/2（按 2π 取模，因为 5π/2 − 2π = π/2）。

所以 (1 + i)¹⁰ = 32∠(π/2) = 32i。

典例 3

三次单位根与它们的和

求 z³ = 1 的全部根，并验证三者之和为零。

展开分析与推导

方法：1 的模是 1、辐角是 0，按 2π/3 的间隔取三个根。

z_k = e^{2kπi/3}，k = 0, 1, 2。展开成代数形式：

z₀ = 1；z₁ = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = −1/2 + (√3/2)i；z₂ = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = −1/2 − (√3/2)i。

求和：实部 1 − 1/2 − 1/2 = 0，虚部 √3/2 − √3/2 = 0，所以 z₀ + z₁ + z₂ = 0。

典例 4

旋转 90° 并放大两倍

把复数 3 + 4i 所对应的箭头逆时针旋转 90°，再把长度放大到 2 倍，得到什么数？

展开分析与推导

方法：「逆时针转 90°」是乘 i，「放大 2 倍」是乘 2，两步合起来就是乘 2i。

2i(3 + 4i) = 6i + 8i² = −8 + 6i。

用长度与方向核对：原来的模是 5、辐角约 53.13°；旋转后辐角变为 53.13° + 90° = 143.13°，放大后模变为 10。于是结果是 10∠143.13° = 10(cos 143.13° + i sin 143.13°) = 10(−0.8 + 0.6i) = −8 + 6i，两条路径一致。

典例 5

w = z² 把水平直线映成抛物线

求 w = z² 把 z 平面上的水平直线 y = 1 映成 w 平面上的什么曲线，并给出它的方程。

展开分析与推导

方法：把直线的参数式代入映射，再把参数消掉。

取 z = x + i（x 取遍实数）。平方并按实部虚部分开：

z² = (x + i)² = (x² − 1) + 2xi，所以 u = x² − 1、v = 2x。

从 v = 2x 解出 x = v/2，代回 u 的表达式：

u = v²/4 − 1。

这是一条开口朝 +u 方向的抛物线，顶点在 (−1, 0)。

典例 6

w = 1/z 把直线 x = 1 映成圆

求 w = 1/z 把 z 平面上的竖直直线 x = 1 映成什么曲线，并给出圆心与半径。

展开分析与推导

方法：写出直线的参数式，求倒数，再用 u、v 表示出关系式。

取 z = 1 + iy（y 取遍实数）。求倒数并把分母实数化：

1/(1 + iy) = (1 − iy)/((1 + iy)(1 − iy)) = (1 − iy)/(1 + y²)。

于是 u = 1/(1 + y²)、v = −y/(1 + y²)。

把两式平方相加：u² + v² = (1 + y²)/(1 + y²)² = 1/(1 + y²) = u。

整理得 (u − 1/2)² + v² = 1/4。

这是一个圆心在 (1/2, 0)、半径为 1/2 的圆。

典例 7

用 CR 方程筛查四个函数

判断下列函数的解析性，并说明依据：f₁(z) = z²，f₂(z) = 共轭 z，f₃(z) = |z|²，f₄(z) = e^z。

展开分析与推导

方法：先把函数拆成 u(x, y) + iv(x, y)，再检验 u_x = v_y 与 u_y = −v_x。

f₁ = z²：u = x² − y²、v = 2xy。u_x = 2x、v_y = 2x；u_y = −2y、−v_x = −2y。两式处处成立，且 u、v 是多项式（处处可微），所以处处解析，f₁′ = 2z。

f₂ = 共轭 z：u = x、v = −y。u_x = 1、v_y = −1，第一条就不成立，所以处处不解析（沿实轴与虚轴的差商分别为 1 与 −1，与第 06 课一致）。

f₃ = |z|²：u = x² + y²、v = 0。第一式要求 2x = 0，第二式要求 2y = 0，所以只在原点 (0, 0) 成立；而原点的任何邻域内都不满足，因此不解析。

f₄ = e^z：u = e^x cos y、v = e^x sin y。u_x = e^x cos y = v_y，u_y = −e^x sin y = −v_x。处处成立且可微，所以处处解析，f₄′ = e^z。

典例 8

复对数与 i 的 i 次幂

求 Ln(−1)、Ln(i) 的全部值，以及 i 的 i 次幂的全部值并给出主值。

展开分析与推导

方法：按 Ln z = ln|z| + i·Arg z，其中 Arg z = arg z + 2kπ。

Ln(−1)：|−1| = 1，辐角主值是 π，所以 Ln(−1) = 0 + i(π + 2kπ) = (2k + 1)πi。主值是 πi。

Ln(i)：|i| = 1，辐角主值是 π/2，所以 Ln(i) = i(π/2 + 2kπ)。主值是 (π/2)i。

i 的 i 次幂：按定义 i^i = e^{i·Ln i}。把上面主值代入：

i^i = e^{i·(π/2)i} = e^{−π/2} ≈ 0.2079。

更一般地，i^i = e^{−(π/2 + 2kπ)}，全部值都是正实数。

11 / DEEP THINKING

深度思考：结论背后的边界

下面六个问题没有唯一的「标准答案」，但每个都有明确的判据。先写下自己的立场，再展开提示对照。

复数为什么不能比大小？有人说「规定 i > 0 不就行了」。请找出这个方法在哪里失败，并说明「把顺序加进复数」需要牺牲哪一条实数运算的常用性质。
判据提示
试两条实数顺序的基本性质：正数之和为正、正数之积为正。若 i > 0，则由「正数之积为正」得 i² = −1 > 0，与 −1 < 0 矛盾；若 i < 0，则 −i > 0，由同一条得 (−i)² = −1 > 0，同样矛盾。所以任何与乘法相容的全序都做不到。能做的是比较模（大小）或比较辐角（先后），这两件事在几何上都有意义。
「i 存在吗」是什么意思？如果数学对象只是形式符号，为什么说复数是和实数一样「真实」的结构？请从「数系就是一套运算规则」的角度给出你的看法。
判据提示
关键区分：不是「世界上有没有一个叫 i 的东西」，而是「这对有序实数配上这套乘法是否自洽、能否支撑推理」。复数域的构造（作为 ℝ² 加上指定乘法）与实数域一样严格，它的存在性等价于这套规则的一致性与有用性。历史上「实在性」的争论（例如 Gauss 早期称虚数为「几何上的点」）正是为了把这种自洽说清楚。
解析函数为什么这么「刚」？实函数可以只在一个点连续、别处任意改变；解析函数却由一小段决定整体。请用 CR 方程或幂级数来说明这种刚性的来源。
判据提示
两条线索：① CR 方程把 u 与 v 绑成一对耦合方程，一个分量处处决定另一个（相差常数），没有自由度；② 解析函数在一点的邻域内可展开成幂级数（泰勒级数），而幂级数的系数由该点的各阶导数唯一确定，因此邻域内的取值被整体锁定。由此得到解析延拓：两片连通区域若有一段重合且取值相同，它们在同一条连通分支上完全一致。
辐角的多值性能不能去掉？我们当然希望 z^{1/2} 是一个普通函数。割掉一条射线（分支割线）就能做到，但割线的位置可以随便选吗？这样做丢掉了什么？
判据提示
可以在任意一条从原点出发的射线上「剪开」平面，得到一个单连通的区域，在其上定义单值的辐角（例如沿负实轴剪开，取 −π < arg z < π）。但要付出代价：剪开以后，被剪掉的那条线上的点没有定义；而且没有一条割线能做到「既不丢点、又保持单值」——这正是黎曼面出现的原因，它是把多值函数「摊平」成单值函数的几何办法。
CR 方程为什么出现在物理里？二维无源静电场、稳定温度场、理想流体的势函数都满足拉普拉斯方程。请说明解析函数的实部为什么能当它们用，以及「无源」在物理上对应数学里的哪一条。
判据提示
由解析推出 u_xx + u_yy = 0，这就是「无源」的数学形式（例如 ∇·E = 0、定常温度场无内部热源、不可压缩无旋流体）。于是解析函数的实部与虚部自动给出一对正交的等值线族，前者是等势线、后者是场线，两者正交来自 CR 方程：梯度 (u_x, u_y) 与 (v_x, v_y) 的点积为 u_x v_x + u_y v_y = u_x(−u_y) + u_y u_x = 0。
量子力学里的 i 能不能消掉？有人说「i 只是计算的中间工具，最后总要取实部」。请判断这句话在量子力学里是否成立，并给出理由。
判据提示
不成立。量子力学里的 i 出现在薛定谔方程本身（iℏ∂ψ/∂t = Hψ），它决定了演化的相位结构，而相位差是可观测的（干涉、Aharonov–Bohm 效应、中子的自旋相位）。可以用两个实函数（实部与虚部）重写整个方程，但会失去形式上的简洁与对称，而且相位的整体结构仍然存在于那对实函数之间的耦合里——换句话说，复数在这里不是「可消掉的记号」，而是描述结构的自然语言。

12 / PRACTICE

课后习题：计算与判别同样重要

12 题，建议先完成 H01–H08；H09–H12 用于方法进阶与应用。以下不展示答案，参考解答统一放在最后。

难度：基础＝巩固定义与运算；综合＝组织推导与判别；进阶＝边界、反例或跨学科思考。除特别说明外，所有辐角均默认主值在 (−π, π]，开方结果要写全部分支或注明主值。开放题按论证质量判断，不设唯一立场。

计算 / 基础 · H01

设 z₁ = 2 + 3i、z₂ = −1 + 5i。求 z₁ + z₂ 与 z₁z₂。

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计算 / 基础 · H02

用「分母乘共轭」的方法计算 (4 − 3i) / (2 + i)，并把结果写成 a + bi 的形式。

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计算 / 基础 · H03

求 z = 3 + 4i 的模、辐角主值（用反正切表示，并给出弧度近似值）以及全部辐角 Arg z。

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计算 / 基础 · H04

把 z₁ = 1 − i 与 z₂ = −√3 + i 写成三角形式 r(cos θ + i sin θ)，θ 取主值。

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计算 / 综合 · H05

用棣莫弗定理计算 (1 − i)⁶。

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计算 / 综合 · H06

求方程 z⁴ = −16 的全部根，它们分布在哪里？

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计算 / 综合 · H07

求方程 z² = i 的两个根，并验证它们的平方确实是 i。

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概念 / 综合 · H08

设 f(z) = x² − y² + 2ixy（其中 z = x + iy）。用柯西–黎曼方程判断它是否解析，并写出 f′(z)。

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综合 / 进阶 · H09

设 f(z) = e^x(cos y + i sin y)。判断它是否解析，求 f′(z)，并说明它与 e^z 的关系。

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综合 / 进阶 · H10

求 Ln(1 + i) 的全部值与主值，并求 i 的平方根（写出全部值）。

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应用 / 进阶 · H11

用相量法把 u(t) = 2cos(ωt) + 3cos(ωt + π/2) 合成一个单独的余弦形式 R cos(ωt + φ)，给出 R 与 φ。

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开放 / 进阶 · H12

能否给复数规定一个「大小顺序」，使得它同时与加法、乘法相容（即正数的和与积仍为正）？给出你的判断和理由；如果不可能，说明必须放弃哪一条性质。

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13 / FURTHER READING

延伸阅读与适用范围

正文为独立组织的教学推导。下列公开资料提供对应概念的进一步阅读，不要求初学者一次读完；各链接均已核验可在国内网络直接访问。

MIT OpenCourseWare 18.04 · Complex Variables with Applications：完整课程讲义，含复变函数的极限、解析性与共形映射，与本册第 05–08 节对应得最紧，可作为下一步系统学习的入口。
3Blue1Brown · Complex number fundamentals：把「乘 i 是旋转」「复数乘法的几何」做成可视化讲解，与短课 01、04 的直觉一致，适合读不动公式时先看一遍。
3Blue1Brown 官方哔哩哔哩账号：上述内容的视频版，配官方中文字幕，国内可直接观看，适合作为短课 01 的课前热身。
中国大学MOOC · 复变函数与积分变换（西北工业大学）：中文系统课程，其第一章「复数及复变函数」与本册第 01–05 节逐节对应、第二章「解析函数」对应第 06–08 节，可作随堂复习。
NIST Digital Library of Mathematical Functions · Chapter 1：工程与物理中常用的复变函数与特殊函数参考手册，记号规范、公式完备，适合作为查阅工具。
纸质教材：梁昆淼《数学物理方法》（高等教育出版社，第一篇「复变函数导论」）与钟玉泉《复变函数论》（高等教育出版社），两书开篇均自复数与复变函数讲起，是物理类专业最常用的配套读物，无需联网，可作为本册推导的纸质对照。

使用说明：链接仅作延伸参考，不构成本册内容的必要前提；本册正文与习题为独立组织，未从上述资料摘录。若要在没有网络的设备上阅读，可只保存本页面。

14 / ANSWERS

统一答案

先自己写完再看。随堂题给的是判断理由与常见误解的定位，课后题给的是完整步骤与自检。

随堂诊断

随堂 1 · 共轭与模

B。共轭只翻虚部的符号，所以共轭 z = 2 + 3i；模是 √(2² + 3²) = √13。A 错在把实部也翻了号，那得到的是 −z；C 错在把模当成实部虚部直接相加，模必须开平方；D 错在把虚部与虚部单位混在一起——z = 2 − 3i 的虚部是实数 −3，写成 −3i 才是它与 i 相乘的那一项。

随堂 2 · 复数除法

B。分子分母同乘分母的共轭 3 − 4i，分母变成 3² + 4² = 25，分子变成 3 − 4i，所以结果是 (3 − 4i)/25 = 0.12 − 0.16i。A 把除法当成「逐项取倒数」，这与代数规则不符；C 同乘原分母不能把分母变成实数，只会让分母变成 (3+4i)²；D 误解了「有虚部」与「无定义」的区别——只要分母不为零，复数除法总有定义。

随堂 3 · 辐角主值

B。−i 落在负虚轴上，从正实轴逆时针量到它是 −π/2（等价地也可以写成 3π/2，但主值区间是 (−π, π]，所以取 −π/2）。A 把方向搞反了：π/2 对应正虚轴（i）。C 对应负实轴（−1）。D 对应正实轴（1）。

随堂 4 · 模的性质

A。模的乘积性来自「模相乘」这条乘法规则。B 是错的：三角不等式 |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| 一般取严格不等号，例如 1 + (−1) = 0，而 |1| + |−1| = 2。C 错在模的定义——它是距离，非负。D 错在把 |z|² 与 z² 混同：|z|² = z·共轭 z 是实数，而 z² 一般还是复数，例如 z = i 时 |z|² = 1 而 z² = −1。

随堂 5 · 乘法的两条规则

A。模是 2 × 3 = 6（相乘），辐角是 30° + (−60°) = −30°（相加）。B 错在把模也当成相加；C 错在把辐角当成相减（那是除法）；D 错在把两个角的绝对差当成结果。

随堂 6 · 单位根的个数

B。z⁵ = 1 的五个根是 e^{2kπi/5}（k = 0, 1, 2, 3, 4），模都是 1，均匀分布在单位圆上，且五者之和为零（等比数列求和或直接看对称性）。C 的「无穷多」是把辐角的多值性当成了不同的点——虽然辐角有无穷多个，但只有相差 2π 的整数倍才给出同一个位置，五个根已经取遍全部位置。D 错在模：五个根的模都是 1。

随堂 7 · 平方映射与圆

A。|z| = 1 时 |w| = |z|² = 1，所以像仍然落在单位圆上；辐角从 θ 变成 2θ，因此 z 绕一圈时 w 绕两圈。B 想的是「模乘以 2」（那是乘 2 而不是平方）；C、D 是直线被平方后的像，不是圆的像。

随堂 8 · 共轭的可导性

B。沿实轴方向 Δz = Δx 为实数，差商恒为 1；沿虚轴方向 Δz = iΔy，共轭把 i 变成 −i，差商恒为 −1。两个方向不一致，所以处处不可导。A 只看到了实轴那一个方向的差商；C 的「实轴上可导」正是「沿某一方向差商存在」这个误解；D 错在把「共轭在原点等于自身」当成可导的证据——原点处同样要沿所有方向检验。

随堂 9 · 解析与调和

A。把 CR 方程再求一次偏导，就得到 u 与 v 都满足拉普拉斯方程（前提是二阶偏导连续，解析函数自动满足）。B 错在「任意选取」：u 与 v 是一对被 CR 方程绑定的函数，不是一个可自由搭配的列表；C 错在模函数一般是实值函数，例如 f(z) = z 时 |f| = |z| 在原点不可导，更谈不上解析；D 错在方向反了——u 调和只保证它可能成为某个解析函数的实部（还需要在单连通区域上求共轭调和函数），并不自动保证 f = u + iv 解析。

随堂 10 · 复指数的周期

A。e^{z+2πi} = e^z·e^{2πi}，而 e^{2πi} = cos 2π + i sin 2π = 1，所以周期沿虚轴方向、长度为 2π。B 错在方向：沿实轴方向 e^z 是单调增长的（模 e^x），不是周期。C 错在把「水平无界」与「无周期」混为一谈——两个方向的行为可以完全不同。D 的周期长度不对：e^{z+iπ} = −e^z，结果差一个符号，不是同一个值。

随堂 11 · 复对数

B。复对数是多值的，值为 ln|z| + i(Arg z)，其中 Arg z 是全体辐角。A 错在把实对数的限制照搬到复数——负数在复平面上有定义良好的对数，例如 Ln(−1) = (2k+1)πi。C 错在把「不在定义域」说成「等于负无穷」：z = 0 处 ln|z| 发散，但 0 根本不属于 Ln 的定义域。D 错在把加法律写成乘法律。

课后习题

H01 · 加法与乘法

加法：逐分量相加，(2 + 3i) + (−1 + 5i) = (2 − 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i。

乘法：展开后把 i² 化为 −1：

(2 + 3i)(−1 + 5i) = −2 + 10i − 3i + 15i² = −2 + 7i − 15 = −17 + 7i。

H02 · 复数除法

分子分母同乘分母的共轭 2 − i。分母变成 2² + 1² = 5。

分子：(4 − 3i)(2 − i) = 8 − 4i − 6i + 3i² = 8 − 10i − 3 = 5 − 10i。

所以 (4 − 3i)/(2 + i) = (5 − 10i)/5 = 1 − 2i。

H03 · 模与辐角

模：|z| = √(3² + 4²) = 5。

点 (3, 4) 在第一象限，辐角主值 θ = arctan(4/3) ≈ 0.9273 rad ≈ 53.13°。

全部辐角：Arg z = arctan(4/3) + 2kπ，k ∈ ℤ。

H04 · 三角形式

z₁ = 1 − i：模 √(1 + 1) = √2；点在第四象限，主值辐角 −π/4。所以 z₁ = √2[cos(−π/4) + i sin(−π/4)]。

z₂ = −√3 + i：模 √(3 + 1) = 2；点在第二象限，参考角 arctan(1/√3) = π/6，所以主值辐角 π − π/6 = 5π/6。于是 z₂ = 2[cos(5π/6) + i sin(5π/6)]。

H05 · 棣莫弗定理

1 − i 的模是 √2，主值辐角是 −π/4。

按棣莫弗定理：(1 − i)⁶ 的模 = (√2)⁶ = 2³ = 8；辐角 = 6 × (−π/4) = −3π/2 ≡ π/2（加 2π）。

所以 (1 − i)⁶ = 8[cos(π/2) + i sin(π/2)] = 8i。

H06 · 四次方根

把 −16 写成极坐标：模 16、辐角 π（主值）。

四个根为 z_k = 2·e^{i(π + 2kπ)/4}，k = 0, 1, 2, 3，即辐角分别为 π/4、3π/4、5π/4、7π/4。

展开：z₀ = √2 + √2 i；z₁ = −√2 + √2 i；z₂ = −√2 − √2 i；z₃ = √2 − √2 i。

四个点均匀分布在半径为 2 的圆上，恰好构成一个正方形的四个顶点。

H07 · 平方根

i 的模是 1、辐角主值是 π/2。两个根为 z_k = e^{i(π/2 + 2kπ)/2}，k = 0, 1，辐角分别为 π/4 与 5π/4。

所以 z₀ = cos(π/4) + i sin(π/4) = (1 + i)/√2，z₁ = −(1 + i)/√2。

H08 · 用 CR 方程判别

先认出这个函数：x² − y² + 2ixy = (x + iy)² = z²。所以它应当处处解析。

按定义逐步核对：u = x² − y²、v = 2xy。

u_x = 2x，v_y = 2x，第一条 CR 成立；u_y = −2y，−v_x = −2y，第二条也成立。

u、v 都是多项式，处处可微，所以 f 处处解析，且 f′(z) = 2z。

H09 · 指数函数的解析性

u = e^x cos y、v = e^x sin y。计算四个偏导：

u_x = e^x cos y，v_y = e^x cos y，第一条成立；u_y = −e^x sin y，−v_x = −e^x sin y，第二条成立。

它们在整平面连续，所以 f 处处解析。导数 f′(z) = u_x + i v_x = e^x cos y + i e^x sin y = e^x(cos y + i sin y) = f(z)。

这正是复指数函数的定义式：f(z) = e^z，而它满足 (e^z)′ = e^z，与实指数的一条重要性质一致。

H10 · 复对数与平方根

Ln(1 + i)：|1 + i| = √2，辐角主值是 π/4。所以

Ln(1 + i) = ln√2 + i(π/4 + 2kπ) = (1/2)ln 2 + i(π/4 + 2kπ)，k ∈ ℤ。

主值：ln(1 + i) = (1/2)ln 2 + iπ/4 ≈ 0.3466 + 0.7854i。

i 的平方根：i^{1/2} = e^{(1/2)Ln i} = e^{(1/2)(iπ/2 + 2kπi)} = e^{i(π/4 + kπ)}。取 k = 0, 1 得到两个不同的值：

i^{1/2} = e^{iπ/4} = (1 + i)/√2，以及 −(1 + i)/√2。

H11 · 相量法合成振动

把两项都写成复指数的实部。cos(ωt + π/2) = Re[e^{i(ωt + π/2)}] = Re[i e^{iωt}]，所以

u(t) = Re[(2 + 3i)e^{iωt}]。

复数振幅 2 + 3i 的模是 √(4 + 9) = √13 ≈ 3.6056，辐角是 arctan(3/2) ≈ 0.9828 rad ≈ 56.31°。

因此 u(t) = √13·cos(ωt + 0.9828)。

H12 · 开放题：能否有顺序

结论：不能。理由在于「与乘法相容」与「与加法相容」这两条要求会互相冲突。

设我们要求：① 对任意两个复数恰有 z₁ < z₂、z₁ = z₂、z₁ > z₂ 之一成立；② 正数之和为正；③ 正数之积为正。

考虑 i 与 0 的关系。若 i > 0，则由 ③ 得 i·i = −1 > 0，即 −1 是正数；但由 ② 从 1 > 0 与 −1 > 0 得 1 + (−1) = 0 > 0，矛盾。若 i < 0，则 −i > 0，由 ③ 得 (−i)(−i) = −1 > 0，同样矛盾。

所以任何试图把 ℝ 的全序搬到 ℂ 上的做法都会失败。可以保留的是模的大小与辐角的先后——它们各自有意义，但不能合成一个全序。