COMPLEX ANALYSIS / LESSON 02

复变函数
把“一点附近”真正看清楚

沿着复平面中的点集，走到任意路径的极限，
再看一阶变化为什么必须共用一个复数乘子。

点集与区域极限与连续导数与微分柯西–黎曼方程

已有基础？先做迁移题 ↗

承接上一课复数、模与共轭 · 需要二元函数的偏导与全微分基础 · 建议分两次学习，每次约 45–60 分钟

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七个小节，一次只跨一座桥

迁移题通过 0 / 7

先尝试判断，再操作图形，随后看推导，最后换一个条件重做。答错会得到针对这项误解的反馈；不要求答对才能继续。进度分别记录阅读步骤与迁移题结果。

01 / 第 2 课 · 小节

复平面点集：从一张圆盘开始

学习目标 · 能区分内点、边界点、聚点与孤立点，并判断一个集合是不是区域。

圆周上的点，算不算边界？

上一课已经把复数看成平面上的点。本课先解决一个更细的问题：当我们说“在某点附近”时，究竟是在检查哪一圈点？考虑开圆盘 E = {z：|z| < 1}，以及 P = 1。

P 不属于 E。它还可能是 E 的边界点吗？A. 不可能；边界点必须属于集合。B. 可能；边界由邻域中有没有内外两类点决定。C. 只有闭圆盘才有边界。

提示 1

先不问 P 是否属于 E，只检查 P 周围。

文末解析 ↗

缩小邻域，比较四种情形

进入左侧实验。依次取 P = 0、1、1.5。再把“开圆盘”切成“闭圆盘”与“开圆盘加孤立点”。

第三问要继续缩小半径。内点只要求存在一个完全包含在 E 中的邻域；不是要求所有半径都行。

把“附近”变成可以检查的定义

$|z-z_0|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

复数的模把平面的几何距离写进定义。

$D(z_0,r)=\{z\in\mathbb C:|z-z_0|<r\}$

以 z₀ 为中心、半径 r > 0 的开圆盘。

$D^*(z_0,r)=\{z\in\mathbb C:0<|z-z_0|<r\}$

去心邻域只移去中心；极限不检查中心的函数值。

内点：存在 r > 0，使 D(z₀,r) ⊆ E。外点：存在一个邻域完全落在补集。
边界点：每个邻域都同时与 E 和补集相交。边界点可以属于 E，也可以不属于 E。
聚点（极限点）：每个去心邻域都含有 E 的点。聚点可能不在 E 中；去掉中心是为了避免中心自己“充数”。
孤立点：z₀ ∈ E，且存在一个去心邻域与 E 不相交。它仍是边界点，但不是聚点。

集合性质	怎样判断	例子
开集	每个属于集合的点都是内点	开圆盘、开圆环
闭集	包含自己的所有聚点；等价于补集是开集	闭圆盘、圆周、有限点集
有界	能装入一个有限半径的圆盘	圆盘有界；上半平面无界
区域	非空、开、连通；不能拆成互不相接的两块开片	圆盘与圆环都是区域；两个分离圆盘的并不是

在复平面的开集中，连通等价于任意两点能用完全留在集合内的折线连接。连通不要求每对点的直线段都留在集合内；后者叫凸性。

$G_1=\{z:|z|<1\},\quad G_2=\{z:1<|z|<2\}$

两者都是区域；圆环的中央有孔。

选读 · 孔洞、闭包与紧集

闭包由集合连同其全部聚点组成。单位开圆盘的闭包是单位闭圆盘，边界都是单位圆周。复平面中的紧集等价于闭且有界。

单连通区域要求每条闭曲线都能在区域内部连续收缩成一点；圆盘单连通，圆环连通但非单连通。不要把“连成一片”直接等同于“没有孔”。空集与整个复平面既开又闭，因此“开”与“闭”也不是所有点集的二选一。

换集合：被挖掉的点有什么身份？

把 E 改成去心圆盘 0 < |z| < 1。中心不再属于集合。

原点相对于这个去心圆盘是什么点？A. 孤立点，因为中心被单独去掉了。B. 外点，因为不属于集合。C. 边界点且聚点，但不是内点或孤立点。

文末解析 ↗

再自行判断：单位圆周这个点集是闭集，但它没有内点，因此不是区域。

用一句话说明为什么“不是集合中的点”不等于“外点”。

复述后查看自评要点

是否写出外点需要一个完全落在补集中的邻域；是否用圆盘边界或挖去的中心举例。

02 / 第 2 课 · 小节

复变函数：两张平面，一条规则

学习目标 · 能写出定义域和 u、v，区分单值函数与一对一映射。

平方映射，会不会“不是函数”？

一个输入只允许一个输出，这叫单值性；两个不同输入能否落到同一个输出，是另一个问题。

z = 1 与 z = −1 都满足 z² = 1。f(z) = z² 还是单值函数吗？A. 不是；两个输入对应一个输出就违反函数定义。B. 是；每个输入的输出唯一，只是不一对一。C. 必须先排除负实数才是函数。

文末解析 ↗

将 u、v 的读数与两张平面对照

左侧实验中先取 z = 1 + i，然后改成 −1 − i，比较平方映射的输出。再切换共轭与模平方。

从代数拆分到映射概念

$f:D\subseteq\mathbb C\longrightarrow\mathbb C,\quad z\longmapsto w=f(z)$

D 是定义域；每个输入只对应一个输出。

$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

u、v 是二元实函数，共同决定一张平面到另一张平面的映射。

$z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$

平方映射的实部 u = x² − y²，虚部 v = 2xy。

u = Re f，v = Im f 都是实值二元函数。函数可以写成只含 z 的形式，也可以涉及共轭、模或 x、y；这些表达式都可以是复变函数，是否复可导则要后面另行检验。

函数	u(x,y)	v(x,y)	自然定义域
z²	x² − y²	2xy	整个复平面
共轭 z	x	−y	整个复平面
\|z\|²	x² + y²	0	整个复平面
1/z	x/(x²+y²)	−y/(x²+y²)	复平面去掉 0

$\frac1z=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\quad(z\ne0)$

分母为零的点必须从定义域排除。

定义域是输入的集合，像集 f(D) 是实际出现的输出的集合。允许的输出空间写成 ℂ，不代表每个复数都一定能被取到。例如模平方的像集只是非负实轴。

回接上一课 · 多值关系如何变成函数？

方程 w² = z 一般给出两个 w，这首先是一个关系。要把平方根作为单值函数，必须明确选取一个分支及其定义域。本课讨论的极限、连续与导数，都针对已明确的单值函数。

换规则：输出仍是复数吗？

f(z) = |z|² 的虚部恒为 0。哪项判断正确？A. 它不是复变函数，因为输出只能是实数。B. 它是复变函数，像集是非负实轴。C. 它的定义域只有实轴。

文末解析 ↗

试把输入限制到单位圆周，再问像集是什么；此时所有输入都被送到数 1。

解释为什么“复变函数”不自动意味着“处处复可导”。

复述后查看自评要点

是否区分函数定义与导数定义；是否能给出一个函数并说明仍需检验差商。

03 / 第 2 课 · 小节

极限：从任意路径靠近

学习目标 · 能用路径否定极限，用模估计证明极限，并读懂 ε–δ 的顺序。

同一个终点，不同的路线SVG 实验

先比较实轴、虚轴与对角线；把步长缩小。再切换“直线都通过”的反例，比较 y = x²。

考察 z → 0。待检验的第一条规则是 g(z) = xy/(x² + y²)，z ≠ 0。

先作判断。进入“看证据”后，实验与读数会出现。

比较的函数趋近路径步长指数 k；t = 10⁻ᵏ 1

左图为输入路径，右图为沿选定路径的函数值随 t 变化。曲线为公式采样；不同路径冲突可以否定极限，有限采样不能证明存在。

静态对照：g 在两条坐标轴为 0，在 y = x 为 1/2。p 在所有过原点直线上趋于 0，在 y = x² 上恒为 1/2。z² 在所有路径上趋于 0。

两条轴的结果相同，证据够了吗？

考虑 g(z) = xy/(x² + y²)，在原点不定义。沿实轴与虚轴趋近原点，函数值都恒等于 0。

能据此断言 lim g(z) = 0 吗？A. 能；实部和虚部两个方向已经检查完了。B. 不能；还可能有路径给出不同结果。C. 不能；函数在原点没定义，所以极限一定不存在。

提示 1

将 x = y = t 代入，但先不要把 t 直接设成 0。

文末解析 ↗

换路线，再缩小步长

先保持 g 不变，对比坐标轴和对角线；注意 t 变小后差别是否消失。然后切换 p，比较对角线与抛物线。

最后选 z²。不同路线给出的有限步长读数可能不同，这不意味着极限不同；要检查误差是否能被共同压到 0。

把路径语言升级为邻域语言

$\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in D}}f(z)=A$

z₀ 必须是 D 的聚点；趋近时始终沿定义域中的点。

$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad z\in D,\ 0<|z-z_0|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(z)-A|<\varepsilon$

先给输出容许误差 ε，再找覆盖所有趋近路径的输入半径 δ。

读定义时先固定 ε > 0：它是输出与候选 A 的容许距离。然后找 δ > 0：无论输入从哪个方向走来，只要属于 D 且距离 z₀ 小于 δ，就都要满足同一个误差要求。δ 可以依赖 ε 与固定的 z₀，不能依赖随后选择的趋近路径。

第一座桥：拆成两个二元实极限

$\lim_{z\to z_0}f(z)=A+iB\ \Longleftrightarrow\ \begin{cases}\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=A,\\\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=B.\end{cases}$

两侧都按同一定义域取极限；A、B 是实数。

$\left|\operatorname{Re}(f-L)\right|\le|f-L|,\quad \left|\operatorname{Im}(f-L)\right|\le|f-L|$

从复极限到分量极限：任一分量误差不超过总误差。

$|f-L|\le|u-A|+|v-B|$

反向证明：把两项各压到 ε/2 以内即可。

第二座桥：两条路足以否定，不能穷举证明

$g(x+iy)=\frac{xy}{x^2+y^2}\quad(z\ne0)$

两条坐标轴上的值都是 0，但这还没有穷尽平面上的趋近方式。

$g(t)=0,\quad g(it)=0,\quad g(t+it)=\frac12\quad(t\ne0)$

只需找到两条极限不同的路径，就能否定复极限。

第三座桥：用一个模估计覆盖所有路径

证明 z² 在 z₀ 的极限是 z₀²。先做因式分解，因为距离 |z − z₀| 已由定义控制；只需把另一个因子压住。要求 |z − z₀| < 1，就有 |z + z₀| ≤ |z − z₀| + 2|z₀| < 1 + 2|z₀|。

$|z^2-z_0^2|=|z-z_0|\,|z+z_0|\le |z-z_0|\,(2|z_0|+1)$

先要求 |z − z₀| < 1，再用三角不等式控制第二个因子。

$\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2|z_0|+1}\right\}$

同一个 δ 适用于所有方向，因而给出真正的极限证明。

进阶反例 · 甚至所有直线都不够

$p(x+iy)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\quad(z\ne0)$

进阶反例：每条过原点的直线都不够，曲线 y = x² 会揭示差别。

$p(x+ikx)=\frac{kx}{x^2+k^2}\to0\ (k\ne0),\qquad p(x+ix^2)=\frac12$

k = 0 和竖直线上的值也为 0；所有直线检验通过仍不能证明极限存在。

对固定 k ≠ 0 的直线 y = kx，极限为 0；水平线和竖直线也是 0。但弯曲路径 y = x² 给出 1/2。关键是所有直线只是一族特殊路径，仍没有覆盖任意的二元趋近。

基本运算法则与序列观点

两个有限复极限存在时，可逐分量或用模估计证明和、差、积的极限法则；商法则还要求分母的极限不为 0。

等价的序列判据是：对每个定义域中、异于 z₀ 且趋于 z₀ 的序列 zₙ，f(zₙ) 都趋于同一个 A。拿两组序列得到不同结果也可否定极限。

换表达式：不再逐条追路径

现在考察 z²/共轭 z，z ≠ 0，令 z → 0。

哪一种判断与证明有效？A. 极限不存在，因为分母趋于 0。B. 极限为 0，因为商的模等于 |z|，对所有方向都趋零。C. 极限为 0，因为沿实轴取值趋零；不需要再证明。

文末解析 ↗

$\left|\frac{z^2}{\overline z}\right|=|z|\to0\quad(z\ne0)$

可用模估计证明极限，而不必逐条枚举路径。

用自己的话说出“否定极限”与“证明极限”分别需要什么证据。

复述后查看自评要点

是否写出一组冲突路径足以否定；是否说明证明存在要用统一估计或等价的全称条件。

04 / 第 2 课 · 小节

连续性：附近趋势接上中心

学习目标 · 能判别可去间断点，并区分“极限存在”“点值存在”“二者相等”。

函数有极限，中心可以随便填吗？

$F_c(z)=\begin{cases}\dfrac{z^2-1}{z-1},&z\ne1,\\c,&z=1.\end{cases}$

比较“附近的趋势”与“中心的取值”。c 是复数，实验取实数便于画图。

令 c = 0。F 在 z = 1 连续吗？A. 连续；附近可以约分成 z + 1。B. 不连续；附近趋于 2，而点值是 0。C. 不连续；只要公式曾经出现 0/0，任何补值都无效。

文末解析 ↗

只移动中心点，不改变附近规则

左图把以 1 为中心的小圆周送到右图。把 c 从 0 调到 2，再减小 ρ。

c 只改一个点，因此不改变去心极限；它可以改变连续性。

按三个问题逐项检查

$\lim_{z\to1}F_c(z)=\lim_{z\to1}(z+1)=2,\quad F_c(1)=c$

只有 c = 2 时，极限值与点值接合。

$f\text{ is continuous at }z_0\ \Longleftrightarrow\ \lim_{\substack{z\to z_0\\z\in D}}f(z)=f(z_0)$

此式针对定义域的聚点；连续还要求 z₀ ∈ D。

$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad z\in D,\ |z-z_0|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(z)-f(z_0)|<\varepsilon$

这一定义也适用于孤立点；孤立点处的函数自动相对连续。

有没有点值？连续点必须属于定义域。
附近有没有有限极限？在聚点处，用完整的复极限判断。
极限是否等于点值？相等才能连续；有限极限存在但不相等，可通过补值修复。

实部与虚部均作为二元实函数连续，等价于复变函数连续。连续函数的和、积仍连续；商只在分母不为 0 处连续，复合则要求两层在相应位置连续。因此复多项式处处连续，有理函数在分母非零处连续。

$|\overline z-\overline {z_0}|=|z-z_0|$

共轭映射处处连续，δ = ε 即可；连续并不保证复可导。

定义域边界和孤立点如何处理？

连续性可以相对于任意定义域讨论：只检查 D 内的点，所以在闭圆盘边界也可以相对连续。在孤立点，取足够小的邻域只剩中心，就自动满足连续的 ε–δ 定义。

通常的复导数与解析性则在开定义域内讨论，保证能从所有方向取小增量。不要把沿一条曲线定义的导数直接当成复导数。

换反例：连补值也救不了

把 g(z) = xy/(x² + y²) 在原点补成任意常数 c。

能否选择一个 c，使 g 在原点连续？A. 能，补成 0，因为两条坐标轴都给 0。B. 能，补成 1/2，因为对角线给 1/2。C. 不能，去心极限本身不存在。

文末解析 ↗

说明“补一个值能修复”需要什么前提，并给出能修复与不能修复的各一个例子。

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是否要求去心极限唯一且有限；是否将补值设为该极限；是否指出路径冲突不能通过补值修复。

05 / 第 2 课 · 小节

导数：差商也必须方向无关

学习目标 · 能比较平方、共轭和模平方的差商，区分一点可导与邻域解析。

差商落点会汇到一起吗？SVG 实验

先固定 z₀ = 1 + i，选平方并减小 |h|；再切换共轭，保持半径不变只转方向。最后把 z₀ 改成 0，观察模平方。

以 z₀ 为基点，沿 h = r(cos θ + i sin θ) 取复增量。待考察的是差商 Q = [f(z₀ + h) − f(z₀)]/h。

先作判断。进入“看证据”后，实验与读数会出现。

函数基点 z₀增量方向 θ / 度 0半径指数 k；|h| = 10⁻ᵏ 1

灰色曲线为固定 |h| 时全部方向的差商轨迹；橙点是当前 θ 的差商。右图坐标轴表示差商的实部与虚部，不是 f 的实部与虚部。

静态对照：平方的差商是 2z₀ + h；共轭的差商是 exp(−2iθ)，始终绕单位圆；模平方在 z₀ = 0 的差商模为 |h|，趋于 0。

复导数与实导数，形式相同够了吗？

对共轭函数，沿实方向 h = t 的差商是 1。它似乎非常像导数恒为 1。

据此能说共轭函数的复导数是 1 吗？A. 能；共轭只是把虚部取反，不影响求导。B. 不能；还必须使所有复增量方向的差商同趋一个数。C. 只有基点在实轴上才能成立。

文末解析 ↗

让差商在一张新平面里移动

实验中的右图画的是 Q 的落点。先将 θ 从 0° 改为 90°，再缩小 |h|；区分“固定半径时存在差别”与“半径趋零后差别仍存在”。

平方的落点会向同一中心聚集；共轭的落点不会随着半径变小而收缩。模平方需要分别试 z₀ = 0 与 1 + i。

直接从定义计算三个典型函数

$f\prime(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}h,\quad h\in\mathbb C\setminus\{0\}$

可导点在开定义域内；h 是任意复增量。

$\frac{(z_0+h)^2-z_0^2}h=2z_0+h\ \longrightarrow\ 2z_0$

误差就是 h，其模随 |h| 一起趋于零，与方向无关。

$\frac{\overline{z_0+h}-\overline {z_0}}h=\frac{\overline h}h=e^{-2i\theta},\quad h=re^{i\theta}$

沿实轴 θ = 0 得 1；沿虚轴 θ = π/2 得 −1。

因此平方处处可导，共轭处处不可导。两条不同路径足以否定导数；两条相同路径仍不足以证明导数，原则和上一节的极限一样。

模平方：确实能只在一个点可导

$\left|\frac{|h|^2-0}h\right|=|h|\longrightarrow0$

模平方在原点可导，导数为 0。

$\frac{|z_0+h|^2-|z_0|^2}h=\overline {z_0}+z_0\frac{\overline h}h+\overline h$

非零点处出现随方向变化的一阶项。

在非零 z₀ = x₀ + iy₀，实方向的差商极限为 2x₀，虚方向为 −2iy₀。二者相同只能发生在 x₀ = y₀ = 0。所以 |z|² 恰好只在原点可导，导数为 0。

可导为什么一定连续？

$f(z_0+h)-f(z_0)=h\left(\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}h\right)\longrightarrow0$

有限导数使括号内有界，再乘趋零的 h，得到连续。

熟悉的求导法则仍成立

$(af+bg)\prime=af\prime+bg\prime,\quad(fg)\prime=f\prime g+fg\prime$

a、b 是常数；f、g 在讨论点复可导。

$\left(\frac fg\right)\prime=\frac{f\prime g-fg\prime}{g^2}\ (g\ne0),\quad(f\circ g)\prime(z)=f\prime(g(z))g\prime(z)$

商法则须分母非零；链式法则须内外函数在相应点复可导。

复分析中全纯与局部幂级数意义的解析等价，这个定理留到后课。此处只用“开邻域内处处可导”判断，避免从孤立点外推。

把可导点与解析点分开回答

f(z) = |z|² 在原点可导且导数为 0。它在原点解析吗？A. 解析；在原点有导数就是解析。B. 不解析；原点附近不存在处处可导的开邻域。C. 解析；它的 u、v 都是多项式。

文末解析 ↗

用平方、共轭或模平方解释为什么“连续”“一点可导”“解析”是不同层次。

复述后查看自评要点

是否给出连续但不可导的共轭；是否指出模平方只在原点可导；是否说明解析需要邻域。

06 / 第 2 课 · 小节

微分：把局部变化装进一个乘子

学习目标 · 能写出复微分与余项，证明复可导等价于复可微，并区分实全微分。

真增量与线性主部相差多少？SVG 实验

固定 z₀ = 1 + i，用不同方向、不同大小的 h 比较 Δw 与候选 Ah。看归一化余项是否一起趋零。

给定 f，比较真实增量 Δw 与候选的一阶变化 Ah。判断标准是 |Δw − Ah| / |h| → 0。

先作判断。进入“看证据”后，实验与读数会出现。

函数与候选乘子增量方向 θ / 度 45半径指数 k；|h| = 10⁻ᵏ 1

图中两条增量箭头同时除以 |h|，使一阶变化仍清晰可见。实线为 Δw/|h|，虚线为 Ah/|h|，连接线为归一化余项。

静态对照：平方：余项 h²，相对误差 |h| → 0。共轭取 A = 1：实方向误差为 0，虚方向的归一化误差为 2，不随 |h| 变小。

绝对误差变小，能否叫“微分”？

设 Δw 与某个候选 Ah 的距离越来越小。但输入 |h| 也越来越小。只看绝对误差，可能掩盖一阶近似根本不对的问题。

一个有效的复微分，余项应满足哪种要求？A. 只要 R(h) → 0 就够了。B. R(h) 必须恒等于 0。C. |R(h)|/|h| → 0，而且同一个 A 要适用于所有方向。

文末解析 ↗

把误差也按输入尺度放大

实验将两条输出增量都除以 |h|。先观察平方并降低 |h|，再选共轭，分别取 θ = 0°、90°。

定义、微分表达式与双向证明

$\Delta w=f(z_0+h)-f(z_0)=Ah+R(h),\quad\lim_{h\to0}\frac{|R(h)|}{|h|}=0$

复可微：有同一个复数 A，把所有方向的一阶变化一起描述。

复数 A 必须是固定的，只能依赖基点，不能依赖 h 的方向。o(|h|) 是一个余项记号：它的模除以 |h| 后趋于零。

$dw=f\prime(z_0)\,dz,\quad dz=h,\quad \Delta w=dw+o(|dz|)$

dw 是线性主部；它通常不等于真实增量 Δw。

$\Delta w=2z_0h+h^2,\quad dw=2z_0h,\quad\frac{|\Delta w-dw|}{|h|}=|h|\to0$

余项 h² 比一阶尺度 |h| 更小。

证明：复可导 ⇔ 复可微

从可导到可微：既然差商趋于 A，就用“真增量减去 Ah”定义 R。除以 |h| 后，剩下的模正是差商与 A 的距离。

$A=f\prime(z_0),\quad R(h)=h\left(\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}h-A\right)$

可导 ⇒ 可微：把差商的误差乘回 h，构造余项。

从可微到可导：把增量式两边除以 h。复数 h 的模是 |h|，所以 R(h)/h 的模恰好是 |R(h)|/|h|，由定义趋于零。

$\frac{\Delta w}h=A+\frac{R(h)}h\longrightarrow A$

可微 ⇒ 可导：余项除以 h 后的模趋于 0。

为何实全微分不够？

$\begin{pmatrix}\Delta u\\\Delta v\end{pmatrix}=J\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}+o\!\left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right)$

实可微允许一般的 2 × 2 实矩阵 J；复可微要求它具有特殊结构。

$J=\begin{pmatrix}u_x&u_y\\v_x&v_y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix},\quad A=a+ib$

同一复数相乘，对应“统一伸缩与旋转”，A = 0 时是一阶塌缩。

若 A = a + ib，展开 Ah：实部是 aΔx − bΔy，虚部是 bΔx + aΔy。因此复微分要求两个输入方向共用一套旋转和伸缩；一般实矩阵还能剪切、把两方向缩放不同倍数或反射。

当 A ≠ 0，微分在一阶上是乘以 A，即伸缩 |A| 并旋转 arg A；当 A = 0，只说明一阶主部为零，不能据此认为整个函数局部恒为常数。

候选主部会随着方向改变吗？

共轭映射作为二元实函数处处实可微。为什么仍处处不可复微？A. 因为实可微的函数一定都没有复导数。B. 因为反射 (Δx, −Δy) 无法由同一个复数 A 乘所有 h 表示。C. 因为它在非实输入处不连续。

文末解析 ↗

自己试一遍：f(z) = z² 在 z₀ = 0 的微分 dw = 0，但真增量为 h²。二者不冲突。

解释为何 Δw 通常不等于 dw；写出一个具体余项并检查归一化误差。

复述后查看自评要点

是否区分真实增量与线性主部；是否给出平方的 h²；是否正确计算 |h²|/|h| = |h|。

07 / 第 2 课 · 小节

柯西–黎曼方程：条件必须成套使用

学习目标 · 能从两条差商推出 CR，用实可微 + CR 作精确判据，并识别“只查偏导”的漏洞。

同样通过轴向检查，真的一样吗？SVG 实验

依次比较平方、共轭、模平方与 H。先看四个偏导的数值，再旋转趋近方向并减小半径。

固定基点原点。待比较的四个函数都有可计算的轴向偏导；需要判断这些信息能否保证复可导。

先作判断。进入“看证据”后，实验与读数会出现。

待检查函数趋近方向 θ / 度 45半径指数 k；|h| = 10⁻ᵏ 1

全部在原点讨论。小格列出轴向偏导；图中画当前方向的差商及固定半径下各方向轨迹。数值结果是证据，结论还须核查实可微前提。

静态对照：H 在原点的 uₓ = vᵧ = 1，uᵧ = −vₓ = 0；CR 成立。实轴差商为 1，对角线为 1/2，原点仍不可复导。平方与模平方在原点的导数都是 0。

四个偏导存在且满足 CR，够不够？

在某点测到 uₓ = vᵧ、uᵧ = −vₓ，并且四个偏导都存在。现在还没有关于实全微分的其它信息。

能否直接宣布这个函数在该点复可导？A. 能；CR 方程就是无附加条件的充要条件。B. 不能；还需要 u、v 在该点实可微等足够前提。C. 不能；必须要求函数在整个复平面满足 CR。

文末解析 ↗

用 H 寻找轴向检查的盲区

左侧实验的偏导读数由函数定义直接计算。选择 H，令 θ = 0°、45°、90°；再缩小半径。

H 的具体分段定义在下一步展开。先关注“同样通过轴向检查”却有不同的全方向行为。

先推必要性，再补足充分性

① 必要性：同一个导数的两种表达

若 f 在内点 z₀ 复可导，沿 h = t 与 h = it 的差商必须给同一个数。取实部、虚部后，四个轴向偏导会自动存在，无须把它们另作先验假设。

$f\prime(z_0)=u_x(x_0,y_0)+i\,v_x(x_0,y_0)$

沿实方向 h = t，取分量极限得到第一个表达式。

$f\prime(z_0)=\frac{u_y+i\,v_y}{i}=v_y-i\,u_y$

沿虚方向 h = it；1/i = −i 是这里的关键。

$\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x}$

柯西–黎曼方程：四个偏导数在同一点比较。

② 充分性：需要整张平面的线性展开

假设 u、v 在 (x₀,y₀) 实可微，而不只是偏导存在，才能写出下面的全方向余项式。所有偏导都在该点取值。

$\Delta u=u_x\Delta x+u_y\Delta y+o(|h|),\quad\Delta v=v_x\Delta x+v_y\Delta y+o(|h|)$

充分性从实全微分展开开始，不能只列出偏导数。

将 uᵧ = −vₓ、vᵧ = uₓ 代入，收集 Δx 与 Δy 的系数，正好拼成一个复数乘 h。

$\Delta w=(u_x+i\,v_x)(\Delta x+i\Delta y)+o(|h|)$

将 CR 代入后，两个实方向的线性项合并成同一复数乘子。

$f\text{ is }\mathbb C\text{-differentiable at }z_0\ \Longleftrightarrow\ \begin{cases}u,v\text{ are }\mathbb R\text{-differentiable at }(x_0,y_0),\\u_x=v_y,\quad u_y=-v_x.\end{cases}$

精确充要条件：实全微分存在，加上 CR 在该点成立。

③ 反例：连续 + CR 仍可能失败

$H(z)=\begin{cases}\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+i\dfrac{y^3}{x^2+y^2},&z\ne0,\\0,&z=0.\end{cases}$

H 连续，且原点满足 CR；仍须检查真正的余项。

$u_x(0)=v_y(0)=1,\quad u_y(0)=v_x(0)=0$

偏导数只探测坐标轴；这四个数不保证实全微分存在。

$|H(z)|^2=\frac{x^6+y^6}{(x^2+y^2)^2}\le x^2+y^2=|z|^2$

H → 0：连续成立；不可导的原因是缺失正确的一阶近似。

$\frac{H(t)}t=1,\qquad\frac{H(t+it)}{t+it}=\frac12\quad(t\ne0)$

轴向与对角方向的差商不同，故原点不可复导。

$\frac{|H(t+it)-(t+it)|}{|t+it|}=\frac12$

CR 候选导数为 1，但这一方向的相对余项不趋于 0。

H 连续也满足 CR；若实可微，其矩阵只能是单位矩阵，候选导数必须为 1。可是对角方向的相对余项恒为 1/2，说明实全微分不存在。漏洞因此被定位在“实可微”这一条，而不只是笼统地说条件不够。

选读 · 极坐标形式

$u_r=\frac1r v_\theta,\quad v_r=-\frac1r u_\theta\quad(r>0)$

选读：极坐标 CR；原点须回到直角坐标，不能除以 r = 0。

由 x = r cos θ、y = r sin θ，对 u、v 用实链式法则即可把直角坐标 CR 转成这一组等式。条件仍是先有足够的实可微性，且 r > 0。

改成参数族，完整走一遍判据

设 a、b 为实常数，u = x² − y² + ax，v = 2xy + by。它们是二元多项式，处处实可微。

在哪种参数条件下，f = u + iv 在整个复平面解析？A. 任意 a、b 都行，因为 u、v 都是多项式。B. a = −b，因为 CR 有一个负号。C. a = b；此时 f(z) = z² + az，导数为 2z + a。

文末解析 ↗

$u=x^2-y^2+ax,\quad v=2xy+by;\qquad\mathrm{CR}\Longleftrightarrow a=b$

a、b 为实常数；相等时 f(z) = z² + az，处处解析。

给同学解释“CR 是必要条件”和“实可微 + CR 是充要条件”，指出 H 缺失哪一条。

复述后查看自评要点

是否从两条轴向差商推必要性；是否强调实全微分；是否用对角线的归一化余项解释 H 的失败。

WORKED EXAMPLES

把判断流程完整走一遍

先选对象与条件，再算；最后用另一种表示核对。

典例 01

从不等式读出一片区域

判断 E = {z：|z − (1 + i)| < 2，Im z > 0} 是不是区域，并描述边界。

展开分析、计算与自检

先把模不等式转成以 (1,1) 为中心、半径 2 的开圆盘；虚部条件是上半平面。二者的交非空且开。二者都凸，交集也凸，所以任意两点间的线段在 E 内，从而连通，是区域。

边界是该圆的 y ≥ 0 圆弧，加上实轴上 1 − √3 ≤ x ≤ 1 + √3 的线段。端点来自 (x − 1)² + 1 = 4。边界都不在 E 内。

典例 02

从定义求平方的导数与微分

f(z) = z²，在 z₀ = 1 + i 处求导数、复微分，并核对 h = 0.1 的真增量。

展开分析、计算与自检

$\frac{(z_0+h)^2-z_0^2}h=2z_0+h\ \longrightarrow\ 2z_0$

误差就是 h，其模随 |h| 一起趋于零，与方向无关。

导数为 2 + 2i，dw = (2 + 2i)dz。取 dz = h = 0.1，dw = 0.2 + 0.2i；真实增量为 0.21 + 0.2i，多出的 0.01 是 h²。

$\Delta w=2z_0h+h^2,\quad dw=2z_0h,\quad\frac{|\Delta w-dw|}{|h|}=|h|\to0$

余项 h² 比一阶尺度 |h| 更小。

归一化余项为 0.01/0.1 = 0.1。把 h 缩小十倍，该比值也缩小十倍。

典例 03

用 CR 找出可导点集合

f(z) = |z|²。不要只说“不解析”，还要回答它在哪些点可导。

展开分析、计算与自检

u = x² + y²、v = 0，二者处处实可微，因此 CR 在这里可以作为可导点的精确筛选。

$u_x=2x,\ u_y=2y,\ v_x=v_y=0\quad\Longrightarrow\quad x=y=0$

模平方只在原点满足 CR，也只在原点复可导。

仅原点通过 CR，导数为 0。可导点集只有 {0}，没有任何开圆盘包含在其中，因此没有解析点。

$\left|\frac{|h|^2-0}h\right|=|h|\longrightarrow0$

模平方在原点可导，导数为 0。

典例 04

一阶变化中的反射项

α、β 为复常数，f(z) = αz + β共轭 z。在哪些点可导？

展开分析、计算与自检

增量除以 h 为 α + β共轭 h/h。沿实方向为 α + β，沿虚方向为 α − β。要相同，必须 β = 0。若 β = 0，函数是线性映射，处处可导，导数 α。若 β ≠ 0，无一可导点。

$f(z)=\alpha z+\beta\overline z,\qquad f\prime\text{ exists }\Longleftrightarrow\beta=0$

α、β 是复常数；反射项会引入方向依赖。

REFERENCE / 主动展开查阅

定义与判据，放在同一张地图上

展开概念链与常见函数判别表

解析 ⇒ 开邻域内处处可导；在一点复可导 ⇔ 在一点复可微 ⇒ 在一点连续。连续不能反推可导，一点可导不能反推解析。

$f\text{ is }\mathbb C\text{-differentiable at }z_0\ \Longleftrightarrow\ \begin{cases}u,v\text{ are }\mathbb R\text{-differentiable at }(x_0,y_0),\\u_x=v_y,\quad u_y=-v_x.\end{cases}$

精确充要条件：实全微分存在，加上 CR 在该点成立。

$\boxed{u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x}$

柯西–黎曼方程：四个偏导数在同一点比较。

$dw=f\prime(z_0)\,dz,\quad dz=h,\quad \Delta w=dw+o(|dz|)$

dw 是线性主部；它通常不等于真实增量 Δw。

函数	连续点	复可导点 / 导数	解析性
z²	整个平面	整个平面 / 2z	整函数
共轭 z	整个平面	没有	没有解析点
\|z\|²	整个平面	只有 0 / 0	没有解析点
1/z	z ≠ 0	z ≠ 0 / −1/z²	在 ℂ 去掉 0 上全纯
eᶻ	整个平面	整个平面 / eᶻ	整函数
H（本课反例）	整个平面	原点不可导；其它点须另查	原点不解析

“整函数”指在整个复平面全纯。H 行只用于原点反例，不把原点结论外推到其它点。

遇到题目，按这个顺序：

先写定义域，确定讨论点是不是内点。
问极限时：有冲突路径就否定；要证明存在，用统一估计。
问连续时：比较去心极限与实际点值。
问可导时：直接算差商，或先验证实可微，再检查 CR。
问微分时：写 dw = f′(z₀)dz，保留余项意义。
问解析时：找一片开邻域，要求那里每一点都可导。

PRACTICE / 撤去部分提示

课后练习：把方法带到新情境

答案统一放在文末。先留下自己的理由，再去比较解析。

H01

点的身份

E = {z：0 < |z| ≤ 1} ∪ {2}。写出内点集、边界、聚点集，以及孤立点。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H02

连通不等于单连通

分别判断：开圆环 1 < |z| < 2；两个分离开圆盘的并；单位圆周 |z| = 1。哪些是区域？哪些是闭集？

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H03

路径与估计

求 z → 0 时 xy/(x²+y²) 与 z²/共轭 z 的极限；说明两题为何应采用不同证据。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H04

补值连续

$F_c(z)=\begin{cases}\dfrac{z^2-1}{z-1},&z\ne1,\\c,&z=1.\end{cases}$

比较“附近的趋势”与“中心的取值”。c 是复数，实验取实数便于画图。

求使 F 在 1 连续的复数 c；若把中心改成 0，极限是否跟着改变？

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H05

连续却不可导

令 f(z) = z²/共轭 z（z ≠ 0），f(0) = 0。判断原点的连续性和可导性。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H06

微分与近似

求 f(z) = 1/z 在 z₀ = i 处的微分，并用 dz = 0.01 近似 f(i + 0.01)。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H07

别把偏导表当成全微分

$H(z)=\begin{cases}\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+i\dfrac{y^3}{x^2+y^2},&z\ne0,\\0,&z=0.\end{cases}$

H 连续，且原点满足 CR；仍须检查真正的余项。

算原点四个偏导，证明连续，再证明不可导，并指出精确判据缺少哪一条。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H08

参数判据

u = x² − y² + ax，v = 2xy + by，a、b 是实常数。确定所有可导点及其导数。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H09

指数的分量检查

f(x + iy) = eˣ(cos y + i sin y)。用四个偏导证明其解析性，并写出导数。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

H10

真正的理解检查

解释以下推理哪里出错：“实部、虚部都是光滑函数，所以拼成的复变函数一定解析。”至少给出两种不同机制的反例。

我的计算与依据去文末核对解析 ↗

SOURCES / NEXT STEP

与前后课程接起来

上一课提供了模、共轭与复数乘法的几何。本课把这些工具放进极限与一阶近似；下一课可以继续学解析函数的初等例子与复积分。

打开上一课《复数与复变函数》 ↗

核查资料与对应主题

Princeton MAT330 讲义：第 3 节核查点集、极限与连续；第 4 节核查实线性与复线性微分、CR 的精确判据。本讲义的例题与图形独立编写。

Open University · Introduction to differentiation：可继续阅读差商与 Cauchy–Riemann 定理的推导。

外部链接仅作可选阅读，不参与公式显示或实验运行。实验依据本文公式计算；采样用于观察，证明仍以全称估计和严格余项条件为准。

ANSWERS / 最后统一解析

先做，再对照自己的依据

预测与迁移题

小节 1 · 预测 · P 不属于 E。它还可能是 E 的边界点吗？

选择 B。 对。开圆盘不包含圆周，但圆周上任意点的任意邻域都同时遇到集合和补集。

A：你把“属于集合”与“附近有两类点”混在了一起。试给 P 套一个很小的圆盘，检查圆内与圆外是否都能找到点。

C：开闭描述的是是否包含边界；边界本身由几何接触关系决定。开圆盘同样有圆周边界。

小节 1 · 迁移 · 原点相对于这个去心圆盘是什么点？

选择 C。 对。任意邻域含 E 的点，也含补集中的原点；任意去心邻域仍遇到 E。

A：孤立点首先必须属于集合。被去掉的原点不属于 E；检查任意去心邻域，里面仍有大量 E 的点。

B：外点要求某个整圆盘完全在补集。这里再小的圆盘也含有非零且模小于 1 的点，所以不是外点。

小节 2 · 预测 · z = 1 与 z = −1 都满足 z² = 1。f(z) = z² 还是单值函数吗？

选择 B。 对。平方映射是多对一的单值函数。反过来解平方根时，才需要选取分支。

A：你把单值与一对一混淆了。单值检查的是固定一个输入后是否出现多个输出；此处每个输入的平方都唯一。

C：负实数的平方有唯一结果，平方映射不需要排除它们。求平方根的单值分支才涉及限制定义域。

小节 2 · 迁移 · f(z) = |z|² 的虚部恒为 0。哪项判断正确？

选择 B。 对。每个复数输入都有唯一的非负实数输出。像集可以只是复平面的一部分。

A：实数是复数中虚部为 0 的子集；输入变量是复数，输出也可视作复数，因此符合定义。

C：你把像集误当成定义域。任何 x + iy 都能计算 x² + y²。

小节 3 · 预测 · 能据此断言 lim g(z) = 0 吗？

选择 B。 对。两条路径相同只提供候选值。只要再找到一条冲突路径，就能推翻这个候选。

A：你把平面的两个坐标方向当成了全部路径。分量极限也必须按二元极限计算；下一步试 y = x。

C：极限使用去心邻域，不要求中心有定义。问题在于不同路径是否同趋一个数，而非中心有没有点值。

小节 3 · 迁移 · 哪一种判断与证明有效？

选择 B。 对。|z²/共轭 z| = |z|；取 δ = ε 就能覆盖全部路径。

A：分母趋零不自动意味着商无极限。应同时检查分子与分母的量级；这里商的模恰等于 |z|。

C：数值结论虽然对，但证据不充分。补上模估计，就能将单条路径升级成完整证明。

小节 4 · 预测 · 令 c = 0。F 在 z = 1 连续吗？

选择 B。 对。极限存在，但与点值不相等。把中心补成 2 才能接上。

A：约分只能用于 z ≠ 1 的附近点。连续还要比较实际定义的 F(1)；不要把约分后的值偷偷当成补值。

C： 0/0 提醒你不能直接代入原分式；约分后能求附近极限，再用合适补值修复间断。

小节 4 · 迁移 · 能否选择一个 c，使 g 在原点连续？

选择 C。 对。可去间断要求已有唯一有限极限；这里的冲突来自附近，无法靠改中心一点消除。

A：对角线始终给 1/2；一个点值不能同时接上两个不同的路径极限。

B：坐标轴始终给 0；修复点值不会修复附近路径之间的冲突。

小节 5 · 预测 · 据此能说共轭函数的复导数是 1 吗？

选择 B。 对。沿实方向只是必要的一条路径；沿虚方向的差商会给出另一结果。

A：虚部取反改变了不同方向的一阶变化。下一步取 h = it，直接比较差商。

C：差商中的基点共轭会相消，方向冲突与基点在哪儿无关。要检查的是增量，不是基点是否为实数。

小节 5 · 迁移 · f(z) = |z|² 在原点可导且导数为 0。它在原点解析吗？

选择 B。 对。可导是一点的条件，解析是邻域条件。这里没有任何解析点。

A：解析要求某个开邻域内每个点都可导。原点旁边任意非零点都不可导。

C：二元实多项式处处实可微，但不自动复可微。模平方的一阶变化没有满足复数乘法的结构。

小节 6 · 预测 · 一个有效的复微分，余项应满足哪种要求？

选择 C。 对。这说明一阶变化全由 A 描述，剩下的误差比 |h| 更小。

A：这只说绝对误差趋零。任何连续函数甚至取 A = 0 也会如此；微分需要误差比输入的一阶尺度更小。

B：这把一般可微函数限定为线性函数。平方就有非零余项 h²，但它除以 |h| 后仍趋于 0。

小节 6 · 迁移 · 共轭映射作为二元实函数处处实可微。为什么仍处处不可复微？

选择 B。 对。实方向要求 A = 1，虚方向要求 A = −1；无法选一个共同乘子。

A：实可微是复可微的必要部分；平方同时实可微和复可微。缺的不是实全微分，而是复线性结构。

C：共轭保持距离，处处连续。这里讨论的是一阶变化能否由复线性主部描述。

小节 7 · 预测 · 能否直接宣布这个函数在该点复可导？

选择 B。 对。精确判据是实可微加 CR。偏导在邻域连续是保证实可微的常用充分条件。

A： CR 只比较轴向的线性候选。偏导存在不保证实全微分；下一步用 H 比较轴向与对角方向。

C：一点可导是局部条件，不需要整平面成立。要补的是该点实可微；解析才需要一片开邻域处处可导。

小节 7 · 迁移 · 在哪种参数条件下，f = u + iv 在整个复平面解析？

选择 C。 对。两条 CR 处处成立，实可微也已核查，因此可导且解析；复数表达式提供第二条自检途径。

A：二元实多项式只保证实可微；第一条 CR 还要求 2x + a = 2x + b。

B：负号位于 uᵧ = −vₓ，这条这里已自动成立。常数参数出现在 uₓ = vᵧ，应逐条计算而不是凭负号记忆。

课后练习

H01 · 点的身份

内点集为 0 < |z| < 1；边界是 {0} ∪ {|z| = 1} ∪ {2}；聚点集为 |z| ≤ 1；唯一孤立点为 2。

原点虽然被去掉，仍是聚点。2 属于集合且能被一个去心邻域隔离，所以是孤立点、边界点，但非聚点。E 不是开集，也不是闭集，因为遗漏了聚点 0。

H02 · 连通不等于单连通

开圆环是区域，连通但非单连通，不是闭集。两个分离开圆盘的并开但不连通，所以不是区域，也不是闭集。单位圆周闭且有界，没有内点，故不是区域。

H03 · 路径与估计

$g(t)=0,\quad g(it)=0,\quad g(t+it)=\frac12\quad(t\ne0)$

只需找到两条极限不同的路径，就能否定复极限。

$\left|\frac{z^2}{\overline z}\right|=|z|\to0\quad(z\ne0)$

可用模估计证明极限，而不必逐条枚举路径。

前者沿轴为 0、沿对角线为 1/2，极限不存在。后者模为 |z|，用统一估计得到极限 0。

H04 · 补值连续

$\lim_{z\to1}F_c(z)=\lim_{z\to1}(z+1)=2,\quad F_c(1)=c$

只有 c = 2 时，极限值与点值接合。

唯一补值是 c = 2。把中心改成 0 不改变去心极限 2，但会使其不连续。

H05 · 连续却不可导

$\left|\frac{z^2}{\overline z}\right|=|z|\to0\quad(z\ne0)$

可用模估计证明极限，而不必逐条枚举路径。

模估计给出原点连续。但导数要再除以 z：

$\frac{z^2/\overline z}{z}=\frac z{\overline z}=e^{2i\theta}$

把该函数在原点补成 0 后连续，但原点不可导。

沿实轴差商为 1，沿虚轴为 −1，所以原点不可复导。不要把函数值的极限直接当成差商的极限。

H06 · 微分与近似

$f(z)=\frac1z,\quad f\prime(z_0)=-\frac1{z_0^2},\quad dw=-\frac{dz}{z_0^2}\quad(z_0\ne0)$

求微分前先检查定义域与可导条件。

z₀² = −1，所以 f′(i) = 1，dw = dz。于是 f(i + 0.01) ≈ f(i) + 0.01 = 0.01 − i。真实值为 (0.01 − i)/1.0001 ≈ 0.009999 − 0.999900i，差别为二阶小量。

H07 · 别把偏导表当成全微分

$u_x(0)=v_y(0)=1,\quad u_y(0)=v_x(0)=0$

偏导数只探测坐标轴；这四个数不保证实全微分存在。

$|H(z)|^2=\frac{x^6+y^6}{(x^2+y^2)^2}\le x^2+y^2=|z|^2$

H → 0：连续成立；不可导的原因是缺失正确的一阶近似。

$\frac{H(t)}t=1,\qquad\frac{H(t+it)}{t+it}=\frac12\quad(t\ne0)$

轴向与对角方向的差商不同，故原点不可复导。

$\frac{|H(t+it)-(t+it)|}{|t+it|}=\frac12$

CR 候选导数为 1，但这一方向的相对余项不趋于 0。

CR 成立且连续，但实全微分不存在，因此不能使用“实可微 + CR”的充分方向。

H08 · 参数判据

$u=x^2-y^2+ax,\quad v=2xy+by;\qquad\mathrm{CR}\Longleftrightarrow a=b$

a、b 为实常数；相等时 f(z) = z² + az，处处解析。

若 a = b，整平面可导且解析，f′ = 2z + a。若 a ≠ b，第一条 CR 在任何点都不成立，所以无可导点。

H09 · 指数的分量检查

$u=e^x\cos y,\quad v=e^x\sin y,\quad u_x=v_y,\quad u_y=-v_x$

四个偏导数连续，CR 处处成立，故 eᶻ 在整个平面解析。

uₓ = eˣ cos y，uᵧ = −eˣ sin y，vₓ = eˣ sin y，vᵧ = eˣ cos y。全部连续并满足 CR，所以整平面解析，f′ = uₓ + ivₓ = f = eᶻ。

H10 · 真正的理解检查

光滑仅保证实可微，还须 CR。例如共轭的 u = x、v = −y 光滑，但 uₓ ≠ vᵧ，处处不可导。模平方的 u = x² + y²、v = 0 光滑，只在原点满足 CR；原点虽可导，仍没有处处可导的开邻域，所以不解析。

两种漏洞分别是复线性结构失败，以及从一点错误外推到邻域。