把随机变成可计算
随机变量与分布

同一个数，会不会来自不同结果？

独立抛一枚公平硬币两次。先完整记录先后顺序，再用 X 表示正面出现的次数。此时随机的是试验结果；记数规则已经选好。

只换数值规则，原试验会怎样？

实验表格的每一行是一种完整结果。先切换规则，观察箭头终点；再改变 p，观察行概率。不要同时改变两件事。

把“随机”放回正确的位置

1. ① 先定义对象。样本空间 Ω 收集所有可能结果。实值随机变量 X 是把每个结果映成一个实数的函数；规则应在试验前确定。
2. ② 检查能否谈概率。严格定义要求，对任意实数 x，集合 {ω:X(ω)≤x} 是可赋概率的事件，即 X 可测。有限样本空间中这里无需额外技巧。
3. ③ 按原像汇总。先找出使 X 等于或小于某值的所有结果，再按原试验模型求这些事件的概率。

ω 是一次试验结果，X 是事先确定的数值规则；小写 x 是一个取值或阈值。

随机变量的条件要先翻译为样本空间中的事件，才能计算概率。

两次抛掷独立，且每次正面概率均为 p；中间一项合并了 HT、TH。

大写 X 表示随机变量，小写 x 表示它可能取到的数。例如 X=1 是一个事件，1 本身是一个数。“X 和 Y 定义在同一次试验上”也不自动意味着它们独立。

换成一个判断规则

掷一次公平六面骰子，令 Y=1 表示点数至少为 5，否则 Y=0。试验仍有六个结果，但 Y 只保留是否达标。

看起来合理的三项，够了吗？

缺哪一项条件，就会出什么问题？

交互区从合法的 0.2、0.3、0.5 开始。总和太大意味着分配了超过 100% 的概率；出现负数则不再是概率。

分布律是完整的概率账本

1. ① 把全部可能值列齐。有限或可数个取值就是离散型；例如 {1,1/2,1/3,…} 仍是可数集合。
2. ② 两项检验都通过。每项非负，全部加起来为 1。无限表中的求和是级数。
3. ③ 事件先选格子，再相加。如表 (0.2,0.3,0.5) 中，P(X≥1)=0.3+0.5=0.8，不能把数值 1、2 相加。

离散型的可能取值有限或可数；下标 k 只是编号，取值 xₖ 不必为整数。

只把事件 A 里的取值对应的概率相加。

分布律（PMF，概率质量函数）给的是点概率，柱子的高度可直接读作 P(X=xₖ)。这里的柱宽只用于显示；概率不是柱的几何面积。

不是整数，也能离散吗？

定义 X 的可能取值为 1、1/2、1/3、…，并规定 P(X=1/k)=2⁻ᵏ，k=1,2,…。

成功次数，还是成功位置？

每次独立试验成功概率为 0.4。规则 A：固定做 5 次，X 计成功次数。规则 B：第一次成功立即停止，T 计总共做了几次。

换停止规则，支持集也跟着变

二项只可能取 0,…,n；几何从 1 开始且没有预设的最大值。泊松则描述固定时间或空间区间中的事件数。

从一句话找到公式的结构

1. ① 一次成功 → 伯努利。指标变量只取 0、1，p 是成功事件概率。
2. ② 固定 n 次 → 二项。一条具体顺序的概率是 pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ；再乘成功位置的组合数。
3. ③ 等到首次成功 → 几何。前 k−1 次必须失败，第 k 次必须成功，只有这一类顺序；注意计数起点。
4. ④ 固定区间计事件数 → 泊松。常用于满足适当独立增量、恒定发生率等假设的计数模型。不能仅由“平均数已知”推出分布必为泊松。

一次试验的成功指标；0≤p≤1。端点 p=0、1 按退化分布理解。

固定 n 次、相互独立、每次成功概率相同，X 计成功次数。

这里 T 计“第一次成功所在的试验序号”，0<p≤1；有的教材计失败次数，支持集会从 0 开始。

λ>0 是固定观察区间内的平均事件数；选用泊松模型需要额外建模依据。

例如不放回抽球：每次成功概率会改变，各次一般不独立，不能直接套 B(n,p)。大 n、小 p 时的泊松近似是另一命题，本课不把近似当等式。

先验前提，比算式更早

袋中 3 红 7 蓝，不放回抽 4 个，令 X 计红球数。

曲线高于 1，模型就错了吗？

有人提出密度 f(x)=2x（0<x<1），其他地方为 0。在 x=0.8 处，曲线高度为 1.6。

同样宽的窗口，为什么概率不同？

拖动两个端点，填色区域就是该区间的积分。若端点超过有效取值范围，先与支持集相交；本实验在 0 到 1 内变化。

连续型的概率装在区间里

1. ① 先说课程采用的含义。本讲义把能用一个概率密度描述的随机变量称为连续型，也称绝对连续型。它的概率通过面积计算。
2. ② 让面积总量等于 1。对 c x，积分为 c/2，所以 c 必须为 2。归一化是在全支持集上做，不只看所求区间。
3. ③ 求区间，做积分。P(0.2<X≤0.6)=0.6²−0.2²=0.32。不要用终点高度 1.2 代替面积。
4. ④ 收缩成一个点。宽度趋于零时概率趋于零。这不等于“X 不会取到任何值”，而是没有哪个预先指定的单点占有正概率。

非负与总面积为 1 是密度的条件。密度值可以大于 1。

对于有密度的随机变量，区间端点的单点概率为零。

面积由积分得到；线性增长的密度下，区间长度相同不保证概率相同。

近似只在小区间且密度在 x₀ 附近连续时使用；点概率不是密度值。

若 X 单位为秒，f 的单位是 1/秒；积分乘 dx 后才得到无量纲的概率。密度在有限个点上改值不改变分布，只要仍满足密度条件。更广的理论中，还存在无点质量但没有普通密度的奇异连续分布，这里仅作边界提示。

用一个窄区间检验你的解释

令 X 在 [0,0.2] 上均匀分布，因此这段区间内密度为 5。

“不超过”，包含等号的那一格吗？

定义 F(x)=P(X≤x)。请从事件含义判断，而不是先背阶梯图。

CDF 是一个统一的接口

离散模型的 CDF 是阶梯；均匀模型是斜坡；混合模型既有跳跃又有连续增长。它们都在回答同一句话：累计到 x 的概率是多少？

从定义推出端点规则

1. ① 累计事件随 x 增大只会扩张。所以 F 单调不减，并有 0、1 两个端部极限；右连续来自概率测度对递减事件序列的连续性。
2. ② 两个累计相减。{X≤b} 去掉 {X≤a} 后，剩下 {a<X≤b}，所以左端开、右端闭。
3. ③ 左端要闭，就改减严格小于 a 的部分。这用 F(a⁻) 表示。一个点的质量，就是右值与左极限的差。
4. ④ 有密度时，用面积累计。在可导处，累计曲线的斜率返回密度；但离散 CDF 在大多数地方斜率为 0，这样求导不能找回跳跃质量。

所有实值随机变量都有分布函数；每个实数 x 是一个累计阈值。

F 单调不减、右连续，左右无穷处极限为 0、1；不是“处处可导”的要求。

F(a⁻) 表示从左侧逼近 a 的极限，等于 P(X<a)；端点有质量时必须区别。

这是两次公平抛硬币的正面次数的 CDF；跳跃高度等于相应点概率。

有密度时第一式成立；第二式在密度连续处成立，更一般地几乎处处成立。

在上表中，P(0<X≤1)=3/4−1/4=1/2，而 P(0≤X≤1)=3/4−0=3/4。只差一个端点，答案却不同。混合模型仍有 CDF，但其原子部分无法用普通密度积分表达。

一次跳跃，暴露了什么？

某分布函数满足 F(0⁻)=0、F(0)=0.3；在 0 右侧还会连续增加。

区间的一半越界，怎么算？

理想化到达时刻 X 在 0 到 2 分钟之间均匀分布。考虑事件 −1<X<1。

总面积不变，宽度与高度相互补偿

填色只覆盖查询区间和支持集相交的部分。把 L 缩小到 0.2，再查看高度和总面积；这会再次验证“密度可以大于 1”。

一个矩形就能推导全部公式

1. ① 均匀意味着等长区间等概率。因此支持集上的密度为常数 h。总面积 h(β−α)=1，得到 h=1/(β−α)。
2. ② 累计到 x。x 在区间左侧累计为 0，内部按长度增加，右侧累计为 1。
3. ③ 处理越界。对任意查询区间，先与支持集相交。没有交集时概率为 0，覆盖整个支持集时为 1。

所有等长度子区间等概率；端点处密度值的选取不影响分布。

CDF 必须写全三段，特别是支持集外的 0 和 1。

先求区间与支持集的交集长度，再除以总长度；自动处理区间落在支持集外的情形。

均匀不等于“每个点都有同一个正概率”。每个单点概率都是 0；具有可比较长度的区间才是有效的面积对象。

离开支持集，也要把分布写完整

令 X∼U(2,6)。

已经等过一段，还需要怎样的分母？

理想等待时间 X∼Exp(0.5)，单位为分钟。已知 X>2，询问再等超过 3 分钟，即 X>5。

改变 s，看看哪些读数改变

无条件尾面积随着总阈值 s+t 改变；但条件分母也随着 s 改变。实验同时显示这两者与它们的比值。

指数尾部为什么可以约掉过去？

1. ① 从归一化检查密度。∫₀∞λe⁻λx dx=1；x<0 不可能，所以密度为 0。
2. ② 累计与尾部互补。F(t)=1−e⁻λt，P(X>t)=e⁻λt。λ 越大，平均等待 1/λ 越短。
3. ③ 把已知信息放进分母。用尾概率相除，指数相减，只剩额外等待 t。
4. ④ 检查模型前提。这是一种特定分布的性质，并不意味着所有等待都没有记忆。真实寿命是否服从指数分布需要数据与机制支持。

本讲义采用发生率参数 λ，单位是 1/时间；平均等待时间为 1/λ。

生存函数 P(X>t) 是右侧尾面积，不是 CDF。

无记忆性只针对指数模型；不能无条件用于真实设备寿命。

有的教材采用尺度 θ=1/λ；同样的指数分布会写成 (1/θ)e⁻ˣ⁄θ。看到参数符号时先检查定义。若来自发生率恒定的泊松过程，事件间等待可建模为指数分布。

无记忆性可不可以随便借用？

某理想元件的寿命固定为 10 小时。已知它工作超过 8 小时；现在问还能工作超过 3 小时的概率。

N(10,4) 中的“4”是什么？

设 X∼N(10,4)。希望计算 8<X≤12 的概率。先把区间换成标准正态的尺度。

形状变化，面积怎样保持？

μ 改变曲线位置；σ 增大使曲线变宽、峰值降低。实际区间若保持不变，概率一般改变；若跟着 μ、σ 变成同一个标准区间，概率则保持。

标准化把所有正态归到一张表

1. ① 识别参数。N(μ,σ²) 用 σ² 表示方差；密度表达式和标准化要用 σ。
2. ② 保持事件等价。因 σ>0，两端减 μ、除 σ 不改变不等号方向。
3. ③ 用累计相减。先算右端 Φ，再减左端 Φ。对称性 Φ(−z)=1−Φ(z) 可帮助查表和自检。
4. ④ 反查阈值。若给 P(X≤c)=q，则 c=μ+σΦ⁻¹(q)。页面通过二分搜索数值反查；不是把密度方程设成 q。

μ 是中心（均值），σ 是标准差，N 的第二参数是方差 σ²。

先减中心，再按标准差缩放；Φ 是标准正态的 CDF。

Φ 的值是累计面积；密度 φ 的高度不能代替 Φ。

Φ 没有初等函数表达式，通常查表或数值计算；页面使用数值近似。

约 68.27%、95.45%、99.73% 分别落在 μ±σ、μ±2σ、μ±3σ 内。这些是正态模型的面积结果，不适用于所有分布。正态的支持集是整条实数轴；用于非负时长等情境时要检查模型是否合适。

离开对称区间，还会算吗？

设 X∼N(2,9)，求 P(2<X≤5)。

新值为 1，来自哪两条路？

令 Y=X²。

多条箭头汇到同一个新值

同一个 X 分布换不同 g。线性一一变换保留每项概率，但位置改变；平方、绝对值会合并；常数函数会合并全部概率。

把变换写成原像事件

1. ① 先找支持集。把 X 的可能值逐个代入 g，然后删除重复的新值。
2. ② 对每个新值找全原像。解 g(x)=y。不要只保留一个看起来方便的分支。
3. ③ 概率只迁移，不凭空出现。合并所有对应 X 事件的概率；最后检查新概率非负、总和为 1。

先找 Y 的不同取值，再合并所有映到同一个值的 X 原像。

分布函数法的统一起点；后续必须解不等式并与 X 的支持集相交。

例中 Y=X² 的表为：0→0.2，1→0.5，4→0.3。若 g(x)=2x+1，则 X 的五个值映到 −3、−1、1、3、5，各自保留原来的概率。

绝对值与平方有何共同点？

还是同一个 X 分布，这次令 Y=|X|。

只改横轴，概率还守恒吗？

X∼U(0,1)，密度为 1。设 Y=2X+1，那么 Y 落在 1 到 3 之间。

负的伸缩系数，怎样处理方向？

把 a 从正数改为负数，Y≤y 对应的 X 条件会反向。图同时画出原区间与新区间；当 a=0 时，整个区间压到一个点，不再画普通密度。

两条路径：先累计，或直接变密度

1. ① 先确定值域。Y 的支持集是 g 作用于 X 支持集的结果。CDF 在值域外先补全 0、1。
2. ② 用 CDF 处理方向。递增时 g(X)≤y 等价于 X≤g⁻¹(y)；递减时等价于 X≥g⁻¹(y)，因此要用右尾。
3. ③ 求导得到密度。链式法则给出逆函数导数；取绝对值保证概率密度非负。直观上 fY dy=fX dx，概率守恒。
4. ④ 条件不符时退回 CDF 法。常数区间、非单调、多原像或不可微处不应机械套一个分支的公式。

分布函数法的统一起点；后续必须解不等式并与 X 的支持集相交。

只在 g 的值域内部使用；值域两侧应补为 0 或 1。

递减变换中事件方向反转；连续 X 可将左极限替换为 Fₓ 本身。

适用于支持集上严格单调、可微且逆变换可微的常规情形；在对应值域外密度为零。

伸缩横轴后，密度按倒数补偿；a=0 时 Y 是常量，不适用密度变换式。

递减变换：−ln X≤y ⇔ X≥e⁻ʸ；因此 Y∼Exp(1)。

例如 −ln X 为递减函数，取值 y≥0。其 CDF 是 P(X≥e⁻ʸ)=1−e⁻ʸ，而不是 e⁻ʸ。这也给出用均匀数生成指数等待的一种逆变换思路。

换成递减函数，别漏掉尾部

X∼U(0,1)，令 Y=−ln X，取 y>0。

一个平方值，可能从两边来

X∼U(−1,1)，令 Y=X²。现在计算 P(Y≤0.25)。

原像是区间，还要与支持集相交

实验用两根之间的区间解释概率。切换支持集后，不要沿用旧公式；先检查 −√y、√y 是否还在新支持集内。

从事件到 CDF，再到密度

1. ① 先写负阈值。Y=X²≥0，所以 y<0 时 Fᵧ(y)=0。
2. ② 解不等式，找全部原像。y≥0 时，x²≤y 等价于 −√y≤x≤√y。
3. ③ 与支持集相交。U(−1,1) 在 0≤y<1 内的有效长度是 2√y，除以总长度 2。y≥1 累计为 1。
4. ④ 在内部求导。得到 1/(2√y)。0 附近密度很高，但总面积有限；CDF 在 0 没有跳跃，因此不是点质量。
5. ⑤ 支持集改变就重做分段。U(−1,2) 在 y=1 处左原像先撞边界，在 y=4 处右原像撞边界。

不要只保留正根；还要与 X 的支持集相交。

区间 [−√y,√y] 的长度为 2√y，总长度为 2。

密度在 0 附近无界，但积分有限；P(Y=0)=0，不存在点质量。

分支求和公式：在有限个规则分支、导数非零的区域内使用，并只累计支持集中的根。

当 y>1，负根区间越过支持集左端 −1；有效长度不再是 2√y。

平方变换在 x=0 处导数为零，不能直接将 y=0 塞进分支密度公式；密度在该单点可以指定任意非负值，不影响分布。更一般的变换可能产生原子，此时 CDF 法仍适用。

撤去对称性，自己重做分段

改成 X∼U(−1,2)，仍令 Y=X²。现在求 P(Y≤2.25)。