从一对数看懂随机
随机向量及其分布

一个事件会占几个格子？

一次试验记录两项指标，X 和 Y 分别为是否达标，取 0 或 1。联合表如下；行标是 X，列标是 Y。

概率住在数对上

试着只换事件，观察高亮格子如何变化；然后只改参数 t。每格概率仍非负，四格总和保持 1。

从试验到一张完整账本

1. ① 在同一试验中定义两个数值规则。一次结果 ω 同时决定 X(ω) 与 Y(ω)，得到平面上的一对坐标。
2. ② 将所有可能数对及其点概率列齐；同一数对可能来自多个试验结果，应合并原像概率。
3. ③ 非负、总和 1 是分布表的两项检验。求事件时，先把文字翻译成平面集合 D。

一次试验同时记录两个数；分量的顺序有意义，两个分量必须定义在同一概率空间上。

逗号表示“同时发生”；取值可有限或可数，不必为整数。

先选出满足事件条件的格子，再相加；没有独立前提时不能把边缘概率相乘。

例如 X=Y 是对角线上的格子；X≤a 且 Y≤b 是左下方的格子。单独知道 X 与 Y 各取 0、1，并不知道它们是否常常一起取 1。

取值标签变了，选格规则还一样吗？

保持表内概率不变，但把第二行的 X=1 改为 X=2，Y 仍取 0、1。

左下累计，能直接相减吗？

仍用上一课的联合表。F(1,1) 覆盖四格，F(0,0) 只覆盖左下数对 (0,0)。

让容斥看得见

四个角值来自同一个分布。移动矩形边界，关注“交集”的实际区域；如果输入边界倒序，实验会按大小排序并明确提示。

为什么有四项？

1. ① F(b,d) 是大左下区域。去掉 X≤a 的部分用 F(a,d)，去掉 Y≤c 的部分用 F(b,c)。
2. ② 两条被减区域重叠于 X≤a,Y≤c，那里被减了两次，要补回 F(a,c)。
3. ③ 对离散型尤其检查端点：CDF 的 ≤ 自动留下上边和右边，排除下边和左边。要求闭矩形时，用左极限或另加边界点。

CDF 对所有实数阈值 x、y 定义；同时满足两项条件，是交集而非并集。

矩形取左开右闭、下开上闭；先减两块重叠条带，再补回被减两次的左下角。

无穷阈值表示极限；固定一个阈值时，另一阈值趋向正无穷不一定得到 1。

CDF 的联合定义总可用；不能把每个变量都“连续”当作存在联合密度的充分条件。边缘 CDF 是联合 CDF 的极限。

开闭边界有概率吗？

仍用这张离散表，改问 P(0≤X≤1,0<Y≤1)。

密度高于 1，是不是不合法？

候选联合密度在三角形 0<y<x<1 内等于 2，外部等于 0。

填的是事件交集，算的是密度积分

浅填色给出支持集，深填色给出支持集内的事件 X+Y≤s。实验会同时显示总质量；非归一化时只报告候选积分，不称为概率。

积分限先由几何给出

1. ① 画出 y=0、y=x、x=1，交集是直角三角形。固定 x∈(0,1)，竖直截线内的 y∈(0,x)。
2. ② 先全区域归一化，再算事件。事件区域必须与支持区域相交；区域外密度为零。
3. ③ 存在联合密度时，任何零面积集合都没有概率：点、直线、光滑曲线均为零。密度点值不是点概率。

三角形的几何面积为 1/2，因此均匀联合密度为 2；边界处怎样定义不改变分布。

固定 x 后，y 从 0 到 x；积分限来自支持区域，不来自“变量名字”。

联合密度的点值是单位面积的概率强度；概率是区域上密度的二重积分。

存在联合密度时可这样累计；F 的混合偏导在适当光滑点恢复 f，一般按几乎处处理解。

这里“二维连续型”指对平面面积绝对连续、存在普通联合密度。若 X~U(0,1)，Y=X，两个边缘都是连续型，但全部概率集中在零面积直线上，不存在普通二维密度。

两条连续边缘，够不够？

X~U(0,1)，令 Y=X。分别看 X、Y，它们都有均匀密度。

只问 X，哪些 Y 都算数？

删掉搭配信息以后

浅色的两条边缘柱图保持相同；联合表的对角项随 t 改变。请比较两个极端，然后再看中间点。

边缘来自互斥事件分解

1. ① {X=xᵢ} 分解成所有 {X=xᵢ,Y=yⱼ}。这些事件按 j 互斥，所以概率相加。
2. ② 求 X 的边缘时消去 Y；求 Y 的边缘时消去 X。表方向不是定理，变量标签才决定求和方向。
3. ③ 非负与总和 1 仍成立。边缘相同却联合不同的参数族，是“不能反推”的直接证据。

本讲义固定行=X、列=Y：X 的边缘沿行求和，Y 的边缘沿列求和；换表方向时先看标签。

整个分布族都具有 Bernoulli(1/2) 的两条边缘；t 控制搭配关系。

两张一模一样的边缘表

A：P(0,0)=P(1,1)=1/2；B：四个数对概率均为 1/4。

均匀支持区域，会有均匀边缘吗？

联合密度在 0<y<x<1 内恒为 2。比较 x=0.2 与 x=0.8 附近两个等宽的窄竖条。

“忘掉”不是把另一个变量设为零

切换保留的变量，观察竖截线变为横截线。实验显示对应积分限、边缘值和整条边缘密度曲线。

两种方向分别重画范围

1. ① 求 f_X：固定 x 后 y∈(0,x)，不是 (0,1)；当 x 不在 (0,1)，整条截线没有质量。
2. ② 求 f_Y：固定 y 后 x∈(y,1)，这是相同三角形从另一个方向切出的区间。
3. ③ 分别积分应为 1。均匀三角形的边缘一个上升、一个下降，正好反映截线长度。

求 X 的边缘：固定 x，积掉 y；实际积分限由支持区域决定。

均匀的二维三角形，投影后边缘并不均匀：截线长度随位置改变。

非均匀例：竖截线内高度固定为 3x，横截线上高度随 x 变化，必须积分。

完整答案必须写“支持区间内的表达式，其他地方为 0”。二维联合密度的投影会得到边缘密度；反过来，两条边缘密度并不保证联合密度存在。

高度也随位置变

改为 f(x,y)=3x，0<y<x<1，其他地方为 0。

已经知道 Y=1

条件换了，分母换了

比较两列的归一化结果。注意 t=0.25 时条件分布恰好等于边缘；这是独立性要解释的现象。

一列变成一张新的概率表

1. ① 条件 Y=yⱼ 保留该列，把其他列排除。分子仍是数对 (xᵢ,yⱼ) 的联合概率。
2. ② 除以整列之和，让留下的概率总量重新变为 1。逐项非负且和为 1，所以得到条件分布。
3. ③ 反向条件固定的是另一变量，需要另一个分母。原表对称时两者偶然相等，不能当成一般规则。

条件已给定 Y=yⱼ，因此分母是这一列的总概率；归一化后该列之和为 1。

条件分布与对应边缘相乘，可以重建联合；条件概率必须先有正分母。

贝叶斯是同一联合概率的两种分解；分母为 P(X=xᵢ)>0。

对称被打破了

现在联合表换了，两个边缘不再相同。

一个零概率条件，怎样处理？

联合密度为 2，0<y<x<1。希望知道给定 X=0.25 时 Y 的分布。连续 X 满足 P(X=0.25)=0。

变窄的是范围，变高的是归一化密度

先只改给定 x，观察条件支持区间 (0,x) 缩放。区间越短，单位长度上的密度越高，总积分仍为 1。

为什么除边缘密度？

1. ① 给定 X 在一个很窄的带里，Y 的相对分布由该带内联合密度贡献决定。光滑处把带宽约掉，得到联合密度/边缘密度。
2. ② 固定 x 后，分母不随 y 改变；沿 y 积分得到 f_X(x)/f_X(x)=1。保留的支持范围仍由原联合支持集决定。
3. ③ 给定另一变量时，重新计算另一条边缘。密度值可大于 1，条件概率仍要对区间积分。

固定允许的 x，对 y 是一个归一化密度。该表达式给出条件分布的一种版本，边缘零密度位置不由比值确定。

在均匀三角形内，2/(2x)=1/x：给定 x 后，Y 在 (0,x) 上均匀。

非均匀模型 f=3x；分母 f_Y(y)=3(1−y²)/2，横截线上仍保留 x 权重。

先按不同 x 分组，再由 X 的边缘密度加权合成；是连续型全概率公式。

一般情况下，条件分布用正则条件分布解释；本章的密度比在 f_X(x)>0 的位置给出标准版本，等式与性质按几乎处处理解。

密度不均匀以后，还能只看长度吗？

改为 f(x,y)=3x，0<y<x<1，给定 Y=0.5。

只看边缘相同，够吗？

全局相等与一个反例

离散实验检查全部四格；连续三角形实验显示一个禁止数对附近的区域。在那里两条边缘都为正，联合密度却为零。

三个表示，同一个定义

1. ① 定义要求任意分量事件都满足 P(X∈A,Y∈B)=P(X∈A)P(Y∈B)。CDF 的左下区域足以刻画它。
2. ② 离散型逐格相乘；绝对连续型比较全平面的密度乘积。支持限制必须纳入函数，不能只比较区域内部的代数式。
3. ③ 若 X、Y 独立，分别作可测函数 g(X)、h(Y) 后仍独立，因为新事件的原像仍各自只涉及一个变量。若两个新变量都混用 X、Y，则不能直接推出独立。

CDF 判据不要求有密度；等价地，任意 Borel 集 A、B 的分量事件概率相乘。

离散判据检查全部格；有联合密度时按整个平面上几乎处处的乘积判断，区域外的零值也是定义的一部分。

独立意味着得知 X 不会改变 Y 的分布；离散型有对应的条件 PMF 判据。

只在某一给定 x 下条件分布不变，仍不够推出整体独立。常数随机变量与任何变量独立；不能据此把“有函数关系”作为永远不独立的判据。

两个因子，却有三角形门槛

f(x,y)=2，0<y<x<1，其他地方为 0。有人将内部式子写成 2×1，就说 X、Y 独立。

一条弯曲关系，可能线性不相关吗？

X 在 (−1,1) 上均匀，Y=X²。负 x 和正 x 对 XY=X³ 的平均贡献相互抵消。

椭圆与曲线，描述的是不同模型

正态图中参数 ρ 控制椭圆倾斜与压扁，条件分布参数来自同一个解析模型。反例切换则改变整个分布族。

先看联合模型，再用特殊定理

1. ① 非退化二维正态的两条边缘分别是 N(μ_X,σ_X²)、N(μ_Y,σ_Y²)。这是对联合密度积分得到的结果。
2. ② 标准化后配平方，把关于固定 x 的常数提出，剩余部分是均值 ρx、方差 1−ρ² 的正态核。
3. ③ ρ=0 时指数没有交叉项，分母也分成两个正态归一化常数，因此联合密度=两条边缘乘积；反向独立且二阶矩有限必然协方差为零。

非退化二维正态联合密度；ρ 是相关系数，σ 是标准差。|ρ|=1 时退化到直线，不再有普通二维密度。

标准化后配平方；固定 x，右边第二项给出 Y|X=x 的正态形状。

N 的第二参数采用方差；条件均值随 x 变化，条件方差小于等于边缘方差。

反例：奇函数在对称区间上积分为零；Y 仍完全由 X 决定，所以不独立。

拓展：令 X~N(0,1)，S 为独立的公平 ±1 符号，Y=SX。X、Y 各自都是标准正态且协方差为 0，但 |Y|=|X|，所以不独立，也不是联合正态。

分别正态，能替代联合正态吗？

X~N(0,1)，S 独立且等概率取 ±1，Y=SX。两个边缘都标准正态，相关系数为 0。

三个和，需要三等分吗？

令 Z=X+Y，可取 0、1、2。

函数改变，概率账本重新归组

每个原数对的概率不变，只改变归到哪个 Z 值。观察重复函数值如何被合并；柱高总和应为 1。

三步得到一张新分布表

1. ① 列出所有正概率的 (xᵢ,yⱼ)，逐行计算 g(xᵢ,yⱼ)，这一步确定新支持集。
2. ② 相同 z 的数对归为一组，把对应联合概率相加。单调性不是离散映射的要求。
3. ③ 检查组不重不漏、概率非负且总和为 1。常数函数把全部数对归到同一个值，产生退化分布。

找全同一个 z 的所有数对原像，把其互斥概率合并；不能默认原数对等概率。

对表族直接映射：和为 1 的两格必须合并；t=1/4 才是独立的公平 Bernoulli 和。

和换成积，哪些格子合并？

仍用原表，改令 Z=XY。

范围翻倍，密度会保持均匀吗？

X、Y 相互独立，均为 U(0,1)，令 Z=X+Y。其可能值在 (0,2)。

累计面积与截线长度各回答什么？

平面深填色给出 F_Z(z) 的原像；下方密度曲线给出累计面积的变化率。请比较 z 穿过短边、长边时积分限的改变。

为什么积分限分段？

1. ① CDF 法始终先解 x+y≤z。独立均匀时正方形内密度为 1，因此小三角形面积直接给累计概率。
2. ② 密度法用 y=z−x；只有 0<x<1 且 0<z−x<1 的 x 才贡献，所以下限 max(0,z−1)，上限 min(1,z)。
3. ③ 当 z 经过 1，上下限的表达式改变，得到上升和下降两段。再积密度检查总概率为 1。

分布函数法先取原像再与支持区域相交；若没有联合密度，仍用事件概率定义，不能硬套二重积分。

有联合密度时的和分布一般式；积分沿 x+y=z，来自坐标变换 (x,y)→(x,z=x+y)。

独立时才能把联合密度替换为边缘乘积；离散型有对应求和卷积。

和的范围是 (0,2)；密度的两段来自允许的 x 区间长度，并非直线的概率。

独立正态和仍为正态，均值相加、方差相加；独立泊松和仍为泊松，参数相加。这些是带前提的分布性质；“两个变量相加”本身不提供独立。

保持边缘，改掉联合

现在 X~U(0,1)，令 Y=X，所以 Y 的边缘仍为 U(0,1)。Z=X+Y。

两个小于 1 的数，商也小于 1 吗？

X、Y 相互独立且均为 U(0,1)，令 R=X/Y。

同一个阈值，四种原像

最大值事件是两者都在阈值内，最小值事件是至少一个在阈值内；积由双曲线分界，商由射线分界。

由事件决定方法

1. ① 积：xy≤z。在正方形内固定 x，y 的上限是 min(1,z/x)；它在 x=z 时换规则，CDF 要拆两段积分。
2. ② 商：x/y≤r。因为本模型 y>0，可改写为 x≤ry；r=1 时射线开始撞到正方形另一条边，CDF 分段。若分母可能为负，必须按符号分别处理。
3. ③ 极值：最大值≤z 是交集，最小值≤z 是并集。先用联合 CDF 或容斥，再决定能否使用独立乘积。

x<z 时整条竖截线都满足；x>z 时只取 0<y≤z/x，必须在 x=z 分段。

乘积的双曲线原像；z ln z 在 z→0+ 时趋零，密度在零点附近无界但可积。

独立 U(0,1) 的商；Y>0 几乎必然，商可超过 1。r=1 点的密度取值不影响分布。

最大值≤z 要两者都≤z；最小值≤z 要至少一者≤z。这两式不要求独立。

独立时才将联合或生存概率拆成乘积；同分布再分别简写为 F² 与 1−(1−F)²。

有普通联合密度时的乘积、商一般公式；商要求 Y≠0 几乎必然，积分范围由支持集截断。f_{XY} 此处表示积 Z=XY 的一维密度。

若函数把一个正概率区域压成常数，可产生点质量。此时不能只求普通密度，应该用 CDF 同时描述跳跃与连续部分。

把“都小”换成“有一个小”

独立 X、Y~U(0,1)，令 M=min(X,Y)。

区域扩大了，概率会翻倍吗？

X、Y 独立且均为 U(0,1)，定义 U=X+Y、V=X−Y。单位正方形映成面积为 2 的菱形。

从坐标变化看到概率守恒

两个图共享原像与像的四个顶点编号。和差模式先追踪四角，尺度模式再看面积倍率；这样可以把抽象行列式和实际几何对应起来。

逆函数、区域、倍率，缺一不可

1. ① 解出 x(u,v)、y(u,v)，确认在考虑的区域中一一。代回原支持条件 0<x<1、0<y<1，得到菱形而非外接矩形。
2. ② 由小区域概率守恒：f_{U,V} du dv = f_{X,Y} dx dy。dx dy=|逆雅可比| du dv，故乘的是逆行列式的绝对值。
3. ③ 积分新密度为 1，再检查像外为 0。多逆分支要全部累加；若某方向压成常数，不能继续使用普通二维密度公式。

先解逆变换，再代入原密度与支持限制；不能只变公式而忘了区域。

这是逆雅可比的绝对值；正向面积扩大 2 倍，密度就降低为原来的一半。

在一一、可微且雅可比非零的分支上使用；新支持集是原支持集的像，像外密度为 0。

新支持是顶点 (0,0)、(1,1)、(2,0)、(1,−1) 的菱形；面积 2，密度 1/2，总概率 1。

独立均匀正方形经尺度变换后，区域面积乘 |ab|，密度除 |ab|；零尺度会降维。

若存在有限个规则逆分支，只对落在原支持集内的分支求和；非一一、奇点与降维需另行检查。

面积倍率改了，或一维消失了

先定义 U=2X、V=3Y；再考虑 U=0、V=Y。原 X、Y 仍独立均匀。