整体概览
为什么电磁学课程要从数学预备知识开始。
电磁学研究的是 场：在 空间中每一点都有取值的量。电势\(V(x,y,z)\)在每一点都是一个数，因此是 标量场。电场\(\vE(x,y,z)\)在每一点都是一个箭头，因此是 矢量场.
要用场来表述物理定律，就需要描述它们如何 随空间位置变化。在一维中可以使用\(d/dx\)。在三维中，场有三种基本的变化方式，每种都对应一个算子：
| 算子 | 输入 | 输出 | 衡量的量… | 电磁学示例 |
|---|---|---|---|---|
| 梯度 \(\nabla f\) | 标量 | 矢量 | 增长最快的方向与变化率 | \(\vE=-\nabla V\) |
| 散度 \(\nabla\cdot\vA\) | 矢量 | 标量 | 单位体积的净流出量（“源强度”） | \(\nabla\cdot\vD=\rho_v\) |
| 旋度 \(\nabla\times\vA\) | 矢量 | 矢量 | 单位面积的环量（“局部旋转”） | \(\nabla\times\vH=\vJ\) |
梯度 = 哪个方向上升最快？ 散度 = 这里是否有东西向外涌出？ 旋度 = 放在这里的小叶轮会转动吗？
如何使用本页
- 先理解直观意义，再读严格定义。公式只是把直觉表达得更精确。
- 动手探索实验。 每个算子都有交互画布——拖动观察，直到你能理解数值的变化。
- 展开例题前，先在纸上尝试解答。 “先试一试”是认真的：独立思考两分钟，正是学习发生的过程。
- 完成随堂测验。 侧栏会记录你的成绩。
- 参加考试 （22 道题，自动评分并分析各知识点），然后使用 无限练习生成器 强化薄弱环节。
矢量代数热身
点积和叉积就是\(\nabla\cdot\)与\(\nabla\times\)中的“·”和“×”。请熟练掌握它们。
在直角坐标系中，矢量用单位矢量\(\xh,\yh,\zh\)表示（教材也可能写作\(\mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z\)，含义相同）：
“\(\vB\)沿\(\vA\)方向的投影”，再乘以\(|\vA|\)。结果为零 ⇔ 两者垂直。
大小\(|\vA||\vB|\sin\theta\)= 平行四边形的面积；方向垂直于两个矢量，由右手定则确定。
\(\xh\times\yh=\zh,\quad \yh\times\zh=\xh,\quad \zh\times\xh=\yh\)（循环顺序为\(x\to y\to z\to x\)）。反向计算要加负号：\(\yh\times\xh=-\zh\)。此外，\(\vA\times\vA=\mathbf 0\)且\(\vA\times\vB=-\vB\times\vA\)。
若\(\vA=(1,2,3)\)且\(\vB=(4,-5,6)\)，则\(\vA\cdot\vB=\)
\(\xh\times(\yh+\zh)=\;?\)
偏导数与 ∇ 算子
需要掌握的新工具，以及将所有内容联系起来的符号。
偏导数 是对一个变量求导，同时将其他变量视为常数。对于\(f(x,y,z)=x^2y+3yz\)：
可以这样理解：“只沿\(x\)方向移动一小步，\(f\)变化得有多快？”
\(\nabla\)是一个 由求导指令组成的矢量。单独写它没有具体结果，必须指定作用对象。它有三种作用方式：
| 作用对象… | 运算形式… | 结果 | 名称 |
|---|---|---|---|
| 标量\(f\) | 标量 × 矢量 | \(\nabla f\) — a 矢量 | 梯度 |
| 矢量\(\vA\)，配合“·” | 点积 | \(\nabla\cdot\vA\) — a 标量 | 散度 |
| 矢量\(\vA\)，配合“×” | 叉积 | \(\nabla\times\vA\) — a 矢量 | 旋度 |
\(\nabla\)是算子，不是普通矢量，因此 不能 随意交换顺序：\(\nabla\cdot\vA\)在每一点给出一个数，而\(\vA\cdot\nabla = A_x\pd{}{x}+A_y\pd{}{y}+A_z\pd{}{z}\)是一个 新算子 ，仍需指定作用对象。
下列哪个是 标量 场？
梯度 \(\nabla f\)
你站在雾中的山坡上。哪个方向上升最快？坡度有多大？
设\(f(x,y)\)表示地形的高度。在每一点，总有一个方向使高度增长最快。 梯度 就是指向该方向的箭头，其长度等于该方向的坡度。
输入：标量场。输出：矢量场。
为什么这个公式指向上坡方向？——方向导数
移动一个微小位移\(\dl = dx\,\xh+dy\,\yh+dz\,\zh\)。根据链式法则，\(f\)的变化量为
若沿单位方向\(\vu\)移动长度\(dl\)，即\(\dl=\vu\,dl\)，则\(f\)在该方向的变化率—— 方向导数 ——为
其中\(\theta\)为\(\nabla f\)与所选方向\(\vu\)之间的夹角。梯度的性质都可以由这一式子推出：
- \(\theta=0\)：\(\cos\theta=1\)达到最大值，因此 \(\nabla f\)指向增长最快的方向.
- 在该方向上，变化率为\(|\nabla f|\)，因此 \(\nabla f\)的长度就是最大坡度.
- \(\theta=90^\circ\)：\(df/dl=0\)，因此\(f\)不变。沿等高线（等值面 ）移动，就是沿垂直于\(\nabla f\)的方向移动。因此 \(\nabla f\)始终垂直于等值面.
- \(\theta=180^\circ\)：最快 下降，变化率为\(-|\nabla f|\)。
交互实验 梯度探索器
悬停鼠标（或触摸拖动）以移动探针。亮线为等高线；虚线表示局部等高线方向。
- 旋转\(\vu\)并观察\(D_{\vu}f\)。当\(\vu\)与\(\nabla f\)同向时，它达到最大值；当\(\vu\)沿虚线等高线方向时，它为零。
- 等高线密集处，\(|\nabla f|\)较大（坡度陡）；等高线稀疏处，它较小。
- 在山顶（或碗底），\(\nabla f=\mathbf 0\)。平坦点处的梯度为零。
- 选择 偶极子电势 ，并勾选 −∇f。这些箭头就是一对正、负电荷的电场线，与每条等势线都成 90° 相交。
例题 3.1 梯度、大小与方向导数 先试一试
设\(f=x^2y+3yz\)。在\(P(1,2,-1)\)处，求 (a)\(\nabla f\)，(b) 最大增长率，(c) 沿\(\vA = 2\xh-\yh+2\zh\)方向的变化率。
(a) 使用第 02 节的偏导数结果：
$$\nabla f = 2xy\,\xh + (x^2+3z)\,\yh + 3y\,\zh \;\xrightarrow{\;P\;}\; \nabla f\big|_P = 4\,\xh - 2\,\yh + 6\,\zh$$(b) 最大变化率就是梯度的大小：\(|\nabla f| = \sqrt{16+4+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\approx 7.48\)。
(c) 先将方向矢量化为 单位 矢量（这是常见的失分点）：\(|\vA|=\sqrt{4+1+4}=3\)，因此\(\vu=\tfrac13(2,-1,2)\)。
$$\frac{df}{dl} = \nabla f\cdot\vu = \tfrac13\big(4\cdot2+(-2)(-1)+6\cdot2\big)=\tfrac{22}{3}\approx7.33$$检查：\(7.33\lt 7.48\)，符合预期。任何方向的变化率都不会超过梯度方向。
例题 3.2 曲面的单位法向量 先试一试
求球面\(x^2+y^2+z^2=9\)在\((2,2,1)\)处的单位法向量。
球面是\(f=x^2+y^2+z^2\)的等值面，梯度垂直于等值面：
$$\nabla f=(2x,2y,2z)\big|_{(2,2,1)}=(4,4,2),\qquad \nh=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}=\frac{(4,4,2)}{6}=\tfrac13(2,2,1)$$这正是径向方向\(\rh\)，符合球面的几何特征。这一方法适用于 任意 曲面\(f=\text{const}\)。
例题 3.3 从电势推导库仑定律（电磁学应用！） 先试一试
证明\(\nabla\!\left(\dfrac1r\right) = -\dfrac{\rh}{r^2}\)，其中\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)，再求电势\(V=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\)对应的\(\vE\)。
使用链式法则，\(\pd{}{x}\big(r^{-1}\big) = -r^{-2}\pd{r}{x} = -r^{-2}\cdot\dfrac{x}{r}=-\dfrac{x}{r^3}\)。对\(y\)和\(z\)求导同理，因此
$$\nabla\!\left(\frac1r\right) = -\frac{x\,\xh+y\,\yh+z\,\zh}{r^3} = -\frac{\vr}{r^3}=-\frac{\rh}{r^2}$$ $$\vE=-\nabla V = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\nabla\!\left(\frac1r\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\rh$$这就是库仑定律。\(\vE=-\nabla V\)中的负号使电场指向电势降低的方向，远离正电荷。
在静电场中，\(\vE=-\nabla V\)。因此 电场线垂直于等势面 ，并从高电势指向低电势。将电荷从\(A\)移到\(B\)所需的功为\(q\,[V(B)-V(A)]\)，与路径无关。这种路径无关性来自梯度（见第 07 节）。
对于\(f=xy\)，在\((3,2)\)处的\(|\nabla f|\)是多少？
你沿垂直于\(\nabla f\)的方向行走。\(f\)沿路径的变化率为…
散度 \(\nabla\cdot\vA\)
把矢量场想象成流体的速度场。这一点是在产生流体（源）、吸收流体（汇），还是只有流体经过？
先认识通量
所谓 通量 ，就是\(\vA\)“穿过”曲面\(S\)的量：
只计算\(\vA\) 垂直 于曲面的分量（这就是点积的作用）。对于 闭合 曲面，记作\(\oint_S\)，并始终取\(\nh\)指向 外侧，所以正通量表示净流出。
散度 = 单位体积的净向外通量 ，由包围该点的无限小闭合曲面测得。
从微小长方体推导直角坐标公式
考察垂直于\(x\)的两个面，每个面的面积为\(\Delta y\,\Delta z\)。右面的向外通量为\(+A_x(x+\Delta x)\,\Delta y\Delta z\)。左面的外法向量为\(-\xh\)，因此其通量为\(-A_x(x)\,\Delta y\Delta z\)。两者合计：
对\(y\)方向和\(z\)方向的面同样计算，求和后除以\(\Delta v=\Delta x\Delta y\Delta z\)，得到：
形式上就是“\(\nabla\)点乘\(\vA\)”：\(\big(\pd{}{x},\pd{}{y},\pd{}{z}\big)\cdot(A_x,A_y,A_z)\)。每个分量都对 对应的 变量求导。
交互实验 通量盒——亲自测量散度
点击或拖动以移动方框。橙色边表示场流出，蓝色边表示场流入。
- 源：通量 ÷ 面积恰好为 2，在 所有位置都如此，即使远离原点。散度是 局部 性质，而不是“距离箭头起点有多远”。
- 鞍形场 \((x,-y)\)：看起来变化剧烈，但处处流入 = 流出，因此\(\nabla\cdot\vF=0\)。一个方向上的压缩被另一个方向上的拉伸抵消。
- 加速流：流动始终向右，但\(\nabla\cdot\vF=x/2\)。左侧流体减速并积聚（汇）；右侧流体加速并变稀（源）。
- 线电荷：箭头向外散开，但离开原点后\(\nabla\cdot\vF=0\)，因为场的减弱恰好抵消了扩散。把方框拖到电荷处，通量就跃变为\(2\pi\)， 与方框大小无关。这就是高斯定律。
例题 4.1 计算散度 先试一试
对于\(\vA = x^2y\,\xh + yz\,\yh + xz\,\zh\)，求\((1,2,3)\)处的\(\nabla\cdot\vA\)。
$$\nabla\cdot\vA = \pd{}{x}(x^2y)+\pd{}{y}(yz)+\pd{}{z}(xz) = 2xy + z + x$$ $$\nabla\cdot\vA\big|_{(1,2,3)} = 2(1)(2)+3+1 = 8$$结果为正，说明该点是净源。记住： 先求导，后代入。
例题 4.2 点电荷悖论（非常重要） 先试一试
考虑\(\vA = \dfrac{\rh}{r^2}\)，它与点电荷电场的形式相同。使用第 06 节的球坐标公式，在\(r\neq 0\)时有\(\nabla\cdot\vA=\dfrac{1}{r^2}\pd{}{r}\left(r^2\cdot\dfrac1{r^2}\right)=\dfrac{1}{r^2}\pd{}{r}(1) = 0\)。
再计算穿过半径为\(a\)的球面的通量：球面上\(\vA\cdot\nh = 1/a^2\)，面积为\(4\pi a^2\)，因此\(\oint\vA\cdot \dS = 4\pi\)。这并不为零！
解释： 散度处处为零， 唯独原点除外，因为场在原点发散。全部通量都来自这一点：
$$\nabla\cdot\left(\frac{\rh}{r^2}\right) = 4\pi\,\delta^3(\vr)$$这正对应点电荷：\(\rho_v\)除一个点外处处为零。线电荷实验展示了它的二维版本。
散度定理（高斯定理）
为什么成立： 将体积分成许多微小长方体。对每个长方体，净流出量 = 散度 × 体积。将它们相加。在两个长方体的公共面上，一个的流出就是另一个的流入，彼此抵消。最后只剩外表面。 内部总源强度 = 穿过边界的总向外通量。
例题 4.3 验证散度定理 先试一试
设\(\vA=\vr=x\,\xh+y\,\yh+z\,\zh\)，且\(S\)为半径为\(a\)的球面。
体积分一侧： \(\nabla\cdot\vr=1+1+1=3\)，因此\(\int_V 3\,dv = 3\cdot\tfrac43\pi a^3=4\pi a^3\)。
曲面积分一侧： 球面上\(\vr = a\,\rh\)，因此\(\vA\cdot\nh=a\)且\(\oint = a\cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^3\)。✓
积分形式：\(\oint_S\vD\cdot \dS = Q_{\text{enc}} = \int_V\rho_v\,dv\)。对左侧使用散度定理：\(\int_V(\nabla\cdot\vD)\,dv=\int_V\rho_v\,dv\)。这对 任意 体积都成立，所以被积函数必相等：
$$\nabla\cdot\vD=\rho_v$$电场线起于正电荷，终止于负电荷。同样，\(\nabla\cdot\vB=0\)说明磁场线没有起点或终点： 不存在磁单极子。电荷守恒\(\nabla\cdot\vJ=-\pd{\rho_v}{t}\)也是一个关于散度的关系。
\(\vA=3x\,\xh - y\,\yh - 2z\,\zh\)。则\(\nabla\cdot\vA=\)
剪切流\(\vF=(y,0)\)的流线都是水平的。它的散度为…
\(\nabla\cdot\vB=0\)的物理意义是…
旋度 \(\nabla\times\vA\)
将一个小叶轮放入流体中。它会转动吗？往哪个方向？转得多快？
先认识环量
所谓 环量 ，就是将\(\vA\)沿闭合回路\(C\)的各段分量相加；取\(\vA\) 沿 路径的分量：
若场始终沿回路推动，环量就大。若一侧向前、另一侧向后推动，且大小相同，环量就为零。
旋度沿\(\nh\)的分量等于 单位面积的环量 ，由垂直于\(\nh\)的微小回路测得。回路方向遵循 右手定则：四指沿\(C\)弯曲，拇指指向\(\nh\)。旋度矢量沿着使环量最大的轴指向。
从微小回路推导直角坐标公式
将四条边相加，并把对边配对：
除以面积\(\Delta x\Delta y\)，得到旋度的\(z\)分量。\(yz\)平面和\(zx\)平面内的回路给出其余两个分量。
将\(x\)分量写成\(\partial_y A_z-\partial_z A_y\)。再把每个字母沿\(x\to y\to z\to x\)循环移动一步，得到下一分量：\(\partial_z A_x-\partial_x A_z\)，再下一项为\(\partial_x A_y-\partial_y A_x\)。这样就不必单独记住行列式中间项的负号。
交互实验 叶轮——亲自测量旋度
点击或拖动以放置叶轮。绿色轮缘表示场沿逆时针推动，粉色表示顺时针推动。
- 剪切流 \((y,0)\)：每条流线都是 直线，但叶轮仍会 顺时针旋转 （旋度为\(=-1\)）。叶轮上方的流速比下方更快。
- 载流导线 \(\phih/r\)：流线呈圆形，但远离导线时，叶轮 不会转动 （旋度为\(=0\)）。内侧流速更快，但外侧弧长更长，两种效应恰好抵消。把叶轮放在原点周围，环量就是\(2\pi\)，与半径无关。这就是安培定律。
- 结论： 流线弯曲 ≠ 旋度非零，而且 流线笔直 ≠ 无旋。旋度衡量局部旋转，而不是路径的形状。
例题 5.1 计算旋度 先试一试
对于\(\vA = x^2y\,\xh + yz\,\yh + xz\,\zh\)（与例题 4.1 的场相同），求\((1,2,3)\)处的\(\nabla\times\vA\)。
$$\begin{aligned} (\nabla\times\vA)_x &= \pd{(xz)}{y}-\pd{(yz)}{z} = 0 - y = -y\\ (\nabla\times\vA)_y &= \pd{(x^2y)}{z}-\pd{(xz)}{x} = 0 - z = -z\\ (\nabla\times\vA)_z &= \pd{(yz)}{x}-\pd{(x^2y)}{y} = 0 - x^2 = -x^2 \end{aligned}$$ $$\nabla\times\vA = -y\,\xh - z\,\yh - x^2\,\zh \;\xrightarrow{(1,2,3)}\; -2\,\xh-3\,\yh-\zh$$例题 5.2 刚体旋转：旋度 = 2 × 角速度 先试一试
一个绕\(z\)以角速度\(\omega\)旋转的轮子，其速度场为\(\mathbf v=\omega(-y\,\xh+x\,\yh)\)。
$$(\nabla\times\mathbf v)_z = \pd{(\omega x)}{x}-\pd{(-\omega y)}{y}=\omega+\omega=2\omega$$\(x\)和\(y\)分量都为零，因此\(\nabla\times\mathbf v=2\omega\,\zh\)。旋度沿旋转轴（遵循右手定则），大小为角速度的 两倍 。所以实验中的叶轮以\(\omega=\tfrac12|\nabla\times\vF|\)的角速度旋转。
斯托克斯定理
为什么成立： 用许多方向一致的微小回路铺满曲面\(S\)。每个微小回路的环量为（旋度·n̂）× 面积。相邻回路在公共边上沿相反方向绕行，因此贡献抵消。最后只剩外边界\(C\)。\(C\)和\(\dS\)的方向由右手定则联系起来。
例题 5.3 验证斯托克斯定理 先试一试
\(\vA=-y\,\xh+x\,\yh\)，且\(C\)为\(xy\)平面内半径为\(a\)的圆，沿逆时针方向。
线积分一侧： 参数化为\(x=a\cos\phi,\ y=a\sin\phi\)。于是\(\dl=(-a\sin\phi,\,a\cos\phi)\,d\phi\)且\(\vA=(-a\sin\phi,\,a\cos\phi)\)，因此
$$\oint\vA\cdot \dl=\int_0^{2\pi}a^2(\sin^2\phi+\cos^2\phi)\,d\phi=2\pi a^2$$曲面积分一侧： \(\nabla\times\vA=2\zh\)且\(\dS=\zh\,dS\)，因此\(\iint 2\,dS = 2\pi a^2\)。✓
安培定律的积分形式为\(\oint_C\vH\cdot \dl = I_{\text{enc}}=\iint_S\vJ\cdot \dS\)。对左侧应用斯托克斯定理；由于这对任意曲面都成立，得到\(\nabla\times\vH=\vJ\)。麦克斯韦加入了位移电流项：\(\nabla\times\vH=\vJ+\pd{\vD}{t}\)。
法拉第定律：\(\nabla\times\vE=-\pd{\vB}{t}\)。在 静电场中 ，右侧为零，因此\(\nabla\times\vE=0\)。这正是可以写成\(\vE=-\nabla V\)的原因（第 07 节）。
\(\nabla\times(y\,\xh) =\;?\)
哪个场是 无旋场 （旋度为零）？
柱坐标与球坐标
实际电磁学问题常具有对称性：导线和同轴电缆具有柱对称性，点电荷和球体具有球对称性。
| 柱坐标\((\rho,\phi,z)\) | 球坐标\((r,\theta,\phi)\) | |
|---|---|---|
| 转为直角坐标 | \(x=\rho\cos\phi,\ y=\rho\sin\phi,\ z=z\) | \(x=r\sin\theta\cos\phi,\ y=r\sin\theta\sin\phi,\ z=r\cos\theta\) |
| 线元\(\dl\) | \(d\rho\,\rhoh+\rho\,d\phi\,\phih+dz\,\zh\) | \(dr\,\rh+r\,d\theta\,\thh+r\sin\theta\,d\phi\,\phih\) |
| 尺度因子 | \(h_\rho=1,\ h_\phi=\rho,\ h_z=1\) | \(h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\phi=r\sin\theta\) |
| 体积元\(dv\) | \(\rho\,d\rho\,d\phi\,dz\) | \(r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\) |
\(\phi\)改变\(d\phi\)时，实际移动的 距离 为\(\rho\,d\phi\)（弧长），而不是\(d\phi\)。因此沿\(\phi\)方向的单位距离变化率为\(\frac{1}{\rho}\pd{f}{\phi}\)。这就是梯度中\(1/\rho\)的来源。在散度和旋度中，通量面的面积和回路边长也随\(\rho\)或\(r\)变化，因此公式中出现\(\frac{1}{\rho}\pd{}{\rho}(\rho A_\rho)\)，而不只是\(\pd{A_\rho}{\rho}\)。
不必紧张：无需背诵这些公式（考试通常会提供）。你需要正确 使用 它们。注意这个规律：若只有一个分量且只依赖一个坐标，几乎所有其他项都会消失。
例题 6.1 线电荷与载流导线——实验的解析计算 先试一试
线电荷： \(\vE=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\rho}\rhoh\)。只有\(E_\rho\)非零：
$$\nabla\cdot\vE=\frac1\rho\pd{}{\rho}\left(\rho\cdot\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\rho}\right)=\frac1\rho\pd{}{\rho}\left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\right)=0\quad(\rho\ne0)$$载流导线： \(\vH=\dfrac{I}{2\pi\rho}\phih\)。只有\(H_\phi\)非零：
$$(\nabla\times\vH)_z=\frac1\rho\pd{}{\rho}\left(\rho\cdot\frac{I}{2\pi\rho}\right)=0\quad(\rho\ne0)$$两者在轴线之外都为零，正如通量盒和叶轮实验所示。所有“源”都集中在轴线上。
例题 6.2 球坐标中的梯度 先试一试
对于\(f=r^2\sin\theta\cos\phi\)，求\(\nabla f\)。
$$\pd{f}{r}=2r\sin\theta\cos\phi,\qquad \frac1r\pd{f}{\theta}=r\cos\theta\cos\phi,\qquad \frac1{r\sin\theta}\pd{f}{\phi}=-r\sin\phi$$ $$\nabla f = 2r\sin\theta\cos\phi\,\rh + r\cos\theta\cos\phi\,\thh - r\sin\phi\,\phih$$注意最后一项中的\(\sin\theta\)被约掉了。记得化简。
对于\(\vA=r\,\rh\)（球坐标），\(\nabla\cdot\vA=\)
拉普拉斯算子与两个著名的零恒等式
组合算子——以及势函数存在的深层原因。
拉普拉斯算子
先求梯度，再求散度：
它衡量某点的\(f\)与邻域平均值之间的差异。静电学归结为 泊松方程 \(\nabla^2V=-\rho_v/\varepsilon\)。在无电荷区域，它变为 拉普拉斯方程 \(\nabla^2V=0\)。电磁学课程的许多内容都在求解这些方程。
运算链：梯度 → 旋度 → 散度
\(x\)分量为\(\pd{}{y}\pd{f}{z}-\pd{}{z}\pd{f}{y}=0\)，因为混合偏导数相等（\(f_{zy}=f_{yz}\)）。\(y\)和\(z\)分量同理。
含义： 梯度场不会产生局部旋转。反过来，若\(\nabla\times\vE=0\)，则存在某个\(V\)，使\(\vE=-\nabla V\)成立。 这就是静电势存在的原因。
展开：\(\partial_x(\partial_yA_z-\partial_zA_y)+\partial_y(\partial_zA_x-\partial_xA_z)+\partial_z(\partial_xA_y-\partial_yA_x)\)。六项两两抵消。
含义： 旋度场没有源。反过来，由于\(\nabla\cdot\vB=0\)，可以写成\(\vB=\nabla\times\vA\)。 这就是磁矢势。
其他常用恒等式
| \(\nabla(fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f\) | 梯度的乘积法则 |
| \(\nabla\cdot(f\vA)=f\,\nabla\cdot\vA+\vA\cdot\nabla f\) | 散度的乘积法则 |
| \(\nabla\times(f\vA)=f\,\nabla\times\vA+\nabla f\times\vA\) | 旋度的乘积法则 |
| \(\nabla\cdot(\vA\times\vB)=\vB\cdot(\nabla\times\vA)-\vA\cdot(\nabla\times\vB)\) | 用于坡印廷定理 |
| \(\nabla\times(\nabla\times\vA)=\nabla(\nabla\cdot\vA)-\nabla^2\vA\) | “旋度的旋度”，用于推导波动方程 |
场的分类
| \(\nabla\times\vA=0\)（无旋场 ) | \(\nabla\times\vA\ne0\) | |
|---|---|---|
| \(\nabla\cdot\vA=0\) （无散场 无散/管形) | 均匀场；无电荷区域的电场 E | 磁场\(\vB\)；刚体旋转 |
| \(\nabla\cdot\vA\ne0\) | 有电荷区域的静电场\(\vE\) | 一般场；存在电荷且\(\vB\)变化时的\(\vE\) |
一个在无穷远处消失的矢量场，其 散度和旋度可以完全确定这个场。回看麦克斯韦方程组：它们给出了\(\nabla\cdot\vD\)、\(\nabla\times\vE\)、\(\nabla\cdot\vB\)和\(\nabla\times\vH\)。每个场的散度加旋度，提供了 恰好足够的信息。这并非巧合，也是学习这两个算子的原因。
哪个表达式 没有意义?
\(\nabla^2(x^2+y^2+z^2)=\)
常见误区
这些是每年考试中常见的错误。现在读一遍，考前再读一遍。
类型错误
矢量的梯度、标量的散度、标量的旋度：在本课程范围内都没有意义。计算前先检查类型。
过早代入
应在求导 之后 再代入点坐标。若先代入\(x=1\)，常数的\(\partial/\partial x\)为 0，就会得到错误结果。
忘记单位化
方向导数需要 单位 方向矢量\(\vu\)。先归一化。
旋度中间项的符号
\(\yh\)分量为\(\partial_zA_x-\partial_xA_z\)。使用循环规律，避免记错行列式中的负号。
直接套用曲线坐标导数
\(\nabla\cdot\vA\ne\pd{A_r}{r}+\pd{A_\theta}{\theta}+\dots\)请使用包含尺度因子的完整公式。
\(\nabla\cdot\vA\)与\(\vA\cdot\nabla\)
前者是标量场，后者是算子，两者不同。
“向外扩散就有散度”
线电荷场向外扩散，但轴线之外散度为零。鞍形场有汇聚也有发散，但处处散度为零。
“流线弯曲就有旋度”
导线周围的场沿圆周分布，但导线之外无旋。流线笔直的剪切流却有非零旋度。
方向约定
对闭合曲面，\(\dS\)指向 外侧。对斯托克斯定理，回路方向与\(\dS\)遵循右手定则。
忽略奇点
\(\nabla\cdot(\rh/r^2)=0\)仅在\(r\ne0\)时成立。在原点，它为\(4\pi\delta^3(\vr)\)，而高斯定律的源正位于此处。
公式速查
一屏掌握全部要点。使用侧栏的“打印笔记”获取纸质版。
梯度——标量 → 矢量
$$\nabla f=\pd{f}{x}\xh+\pd{f}{y}\yh+\pd{f}{z}\zh$$ $$\frac{df}{dl}=\nabla f\cdot\vu=|\nabla f|\cos\theta$$指向增长最快的方向；垂直于等值面。\(\vE=-\nabla V\)。
散度——矢量 → 标量
$$\nabla\cdot\vA=\pd{A_x}{x}+\pd{A_y}{y}+\pd{A_z}{z}$$ $$\oint_S\vA\cdot \dS=\int_V\nabla\cdot\vA\,dv$$单位体积的净流出量。\(\nabla\cdot\vD=\rho_v,\ \nabla\cdot\vB=0\)。
旋度——矢量 → 矢量
$$\nabla\times\vA=\begin{vmatrix}\xh&\yh&\zh\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ A_x&A_y&A_z\end{vmatrix}$$ $$\oint_C\vA\cdot \dl=\iint_S(\nabla\times\vA)\cdot \dS$$单位面积的环量；局部旋转\(=2\omega\)。\(\nabla\times\vH=\vJ+\partial_t\vD\)。
恒等式
$$\nabla\times\nabla f=\mathbf0,\qquad \nabla\cdot(\nabla\times\vA)=0$$ $$\nabla^2f=\nabla\cdot\nabla f$$ $$\nabla\times\nabla\times\vA=\nabla(\nabla\cdot\vA)-\nabla^2\vA$$\(\nabla(1/r)=-\rh/r^2,\quad \nabla\cdot(\rh/r^2)=4\pi\delta^3(\vr)\)
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